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2.1.2指数函数及其性质教案[1]


2.1.2-1 指数函数的概念教案

【教学目标】 1. 理解指数函数的概念,能画出具体指数函数的图像; 2. 在理解指数函数概念、性质的基础上,能应用所学知识解决简单的数学问题; 3. 通过类比,回顾归纳从图象和解析式两个角度研究函数性质的方法; 4. 感受数学思想方法之美,体会数学思想方法只重要 【教学重难点】 教学重点:指数函数概念、图象和性质 教学难点

:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 【教学过程】 1、创设情境、提出问题 师:如果让 1 号同学准备 2 粒米,2 号同学准备 4 粒米,3 号同学准备 6 粒米,4 号同 学准备 8 粒米,??,按这样的规律,50 号同学该准备多少粒米? 学生:回答粒数 师:如果改成 1 号同学准备 2 粒米,2 号同学准备 4 粒米,3 号同学准备 8 粒米,4 号同学 准备 16 粒米,??,按这样的规律,51 号同学该准备多少粒米? 师:大家能否估计一下 50 好同学准备的米有多重吗? 教师公布事先估算的数据:51 号同学准备的大米约有 1.2 亿吨 师:1.2 亿吨是什么概念?相当于 2007~2008 年度我国全年的大米产量! 以上两个问题中,每位同学所需准备的米粒数用 y 表示,每位同学的座号数用 x 表示,y 与 x 之间的关系分别是什么? 学生很容易得出 y=2x 和 y = 2 ( x ? N )学生可能漏掉 x 的范围,教师要引导学生思考具
x

*

体问题中 x 的取值范围。 2、新知探究 (1)指数函数的定义 师:在本章开头的问题中,也有一个与 y = 2 类似的关系式 y ? 1.073 ( x ? N 且 x
x

x

*

? 20 )
x * * x 请思考以下问题①y = 2 ( x ? N )和 y ? 1.073 ( x ? N 且 x ? 20 )这两个解析式有

什么共同特征?②他们能否构成函数?③是我们学过的哪个函数?如果不是, 你能否根据该 函数的特征给它起个恰当的名字?引导学生观察,两个函数中底数是常数,指数是自变量. 师:把这两个函数归为一般形式就是我们今天要学习的函数,我们把它称作指数函数. (2)让学生讨论并给出指数函数的的定义。对底数得分类,可将问题分解为: ①若 a<0,会有什么问题? ②若 a=0,会有什么问题? ③若 a=1,又会怎样? 学生讨论教师适时点拨形成对问题的严谨认识 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定 a>0 且 a≠1 接下来教师可以让学生写几个指数函数,同时教师在黑板写一些解析式让学生判断,如

y ? 2 ? 3x , y ? 32 x , y ? ?2x .
3、 指数函数的性质 (1) 提出两个问题 ① 目前研究函数一般可以包括哪些方面? ② 研究函数可以怎么研究?用什么方法、从什么角度研究? 目的: ①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法, 由此引导学生从图象和解析式两个角 度对函数进行研究;②对学生进行数学思想方法的有机渗透。 (2) 分组活动,合作学习 师:下面我们就从图象和解析式这两个角度对指数函数进行研究. 让学生分成两大组,每组再分小组,最后汇集结论写下来以便讨论 (3) 交流总结形成共识

0 ? a ?1

a ?1

图象

图象略 图象略

定义域

R

值域

(0, ?? ) 过定点(0,1) 非奇非偶 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数

性质

4、典例示范、巩固练习 例 1、 已知指数函数 (3, ) 求 f (0), f (1) , f ( x) = a x ( a ? 0, a ? 1 )的图像经过点 ? ,

f (?3) 的值.
解: 因为
1

(3, , 即 f ( x) = a x ( a ? 0, a ? 1 )的图像经过点 ? ) 所以 f (3) ? ? , a3 ? ?
x

解得 a ? ? 3 ,于是 f ( x) ? ? 3 ,所以

f (0) ? 1, f (1) ? 3 ? , f (?3) ?

1

?

变式: (1)在同一直角坐标系中画出 y ? 3x 和 y ? ( ) 的大致图象,并说出这两个函
x

1 3

数的性质; (2)求下列函数的定义域:① y ? 2
x ?2

;② y ? ( ) x

1 2

1

5、课堂小结 师:通过本节课的学习,你对指数函数有什么认识?你有什么收获? 生:总结指数函数的性质,教师要引导学生谈谈对函数研究的学习,即怎么研究一个函数 【板书设计】 一、对数函数概念 二、例题 例1 变式 1 【作业布置】课本练习 2.1A 组 5.

2.1.2

指数函数的图像与性质

【教学目标】 (1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系; (2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函 数的单调性和特殊点; (3) 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法, 如具体到一般的过程、 数形结合的方法等. 【教学重难点】 教学重点:指数函数的的概念和性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1. (合作讨论) 人口问题是全球性问题, 由于全球人口迅猛增加, 已引起全世界关注. 世 界人口 2000 年大约是 60 亿,而且以每年 1.3%的增长率增长,按照这种增长速度,到 2050 年世界人口将达到 100 多亿,大有“人口爆炸”的趋势.为此,全球范围内敲起了人口警钟, 并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” ,呼吁各国要控制人口增长.为了控制人口过快增 长,许多国家都实行了计划生育. 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人 口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本 国策. 1 ○ 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的 多少倍? 2 ○ 到 2050 年我国的人口将达到多少?

3 ○ 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响? 2. 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x(x∈N*,x≤20)能 否构成函数? 3. 一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么 以时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么?

上面的几个函数有什么共同特征? ㈡检查预习、交流展示 1.根据预习说以下你是怎么理解指数函数的定义? 2.指数函数的性质有哪些? ㈢合作探究、精讲精练 探究点一:指数函数的概念 一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自 变量,函数的定义域为 R 1 注意:○ 指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析; 2 注意指数函数的底数的取值范围,引导学生分析底数为什么不能是负数、零 ○ 和 1. 例1:指出下列函数那些是指数函数: (1) y ? (6) y ? 4

4
2

x

(2) y ?

x (3) y ? ? 4
4 x

x

(4) y ? (
x

?4) (5) y ??
x

x

x

(7) y ?

x

(8) y ? (

2a ?1) (a ? 2 , a ? 1)
1

解析:利用指数函数的定义解决这类问题。 解: (1)(5)(8)为指数函数 , , (2) 是幂函数 (3) 是-1与指数函数的乘积 (4) 中底数-4<0, 不是指数函数 (6) 中指数不是自变量x,而是

x

2

的函数(7)中底数不是常数

点评:准确理解指数函数的定义是解好本题的关键. 变式训练一:1.函数 y ? (

a

2

? 3a ? 3) ? a 是指数函数,则有(
x



A.a=1或a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0且 a ? 1 答案:C 探究点二:指数函数的图象和性质 问题: 你能类比前面讨论函数性质时的思路, 提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:

1 x 3 1 x (2) y ? ( ) 2
(1) y ? ( )

(3) y ? 2 x (4) y ? 3x (5) y ? 5 x 2. 从画出的图象中你能发现函数 y ? 2 x 的图象和函数 y ? ( ) 的图象有什么关系?可
x

1 2

否利用 y ? 2 x 的图象画出 y ? ( ) 的图象?
x

1 2

3.从画出的图象( y ? 2 x 、 y ? 3x 和 y ? 5 x )中,你能发现函数的图象与其底数之间 有什么样的规律? 4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗? 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越 来越陡 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越 来越缓

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

a0 ? 1
增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢;

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

(4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f (x 2 ) ; 例2:求下列函数的定义域 (1) y ?

2

1 x?4

(2) y ? 5

x ?1

解析:求定义域注意分母不为零,偶次根式里面为非负数。

解(1) :令x-4 ? 0,得x ? 4, 故定义域为(- ? ,4) ? (4,+ ? ) (2) :

? x ? 1 ? 0,? x ? 1,

所以 y ? 5

x ?1

的定义域为 {x x ? 1}

点评:求函数的定义域是解决函数问题的基础。

变式训练二: y ?

1 2?( ) 2

x

的定义域

答案: [-1,+ ? ] ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高

【板书设计】 一、指数函数 1.定义 2. 图像 3. 性质 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】 导学案课后练习与提高

2.1.2

指数函数的性质的应用

【教学目标】 (1)能熟练说出指数函数的性质。 (2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。 (3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点:指数函数的性质的应用。

教学难点:指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义,特点是什么? 2.请两位同学画出指数函数的图象(分两种情况画 a>1 与 0<a<1) ,并对自己所画的图 象说明这类函数的性质有哪些? ㈡检查预习、交流展示 1.函数 y ? 2.函数 y ?

a a

x

(a ? 0, a ? 1) 的定义域是 (a ? 0, a ? 1) .

,值域



x

当a>1时,若x>0时,y 1, 若x<0时,y 1;若x=1时,y 当0<a<1时,若x>0时,y 1, 若x<0时,y 1;若x=1时,y 3.函数 y ?

1; 1.

a

x

(a ? 0, a ? 1) 是

函数(就奇偶性填) .

㈢合作探究、精讲精练 探究点一:平移指数函数的图像 例1:画出函数 y ?

2

x ?1

的图像,并根据图像指出它的单调区间.

解析:由函数的解析式可得:
x ?1 ? 1 , ( x ? ?1) ?( ) ? x ?1 y ? 2 =? 2 ? x ?1 ?2 , ( x ? ?1) ?

1 其图像分成两部分,一部分是将 y ? ( ) (x<-1)的图像作出,而它的图 2 1 像可以看作 y ? ( ) 的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到的,另一部分是将 2 y ? 2 ( x ? 1) 的图像作出,而它的图像可以看作将 y ? 2 的图像沿x轴的负方向
1 x
x ?1

x ?1

x

2

平移一个单位而得到的. 解:图像由老师们自己画出 单调递减区间[- ? ,-1] ,单调递增区间[-1,+ ? ] . 点评:此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图,单调性由图像易知。

1 变式训练一:已知函数 y ? ( ) 2
(1)作出其图像; (2)由图像指出其单调区间;

x ?1

解: (1)

1 y?( ) 2

x?2

的图像如下图:

(2)函数的增区间是(-∞,-2],减区间是[-2,+∞).

探究点二:复合函数的性质 例 2:已知函数 y ? (

1

2

x

1 3 ? )x ?1 2

(1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; 解析:求定义域注意分母的范围,判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。 解: (1)要使函数有意义,须 0) ? (0,+ ? ) . (2) y ? (

2

x

-1 ? 0 ,即x ? 1,所以,

定义域为(- ? ,

1

2

x

1 3 ? )x ?1 2
?1 ?1 ? (? x) ? (? x ) ? 2 ?x ? 1) 2(1 ? 2 ) 2(2 ? 1)
x x 3 3 x x

则f(-x)= 2 2(2

?x

?x

1? 2

3

=(

1

2

x

1 3 ? )x ?1 2

所以,f(-x)=f(x) ,所以f(x)是偶函数. 点评:此问题难度不是太大,但是很多同学不敢尝试去化简,只要按照常规的方式去推 理,此函数的奇偶性很容易判断出来。

a x ?1 (a ? 1) ,试判断函数的奇偶性; 变式训练二:已知函数 f ( x) ? x a ?1

简析: ∵定义域为 x ? R ,且 f (? x) ?

a? x ?1 1 ? a x ? ? ? f ( x),? f ( x) 是奇函数; a? x ? 1 1 ? a x

㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高

【板书设计】 一、指数函数性质 1. 图像 2. 性质 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】 导学案课后练习与提高


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