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2014创新设计(苏教版)第二章 第1讲 函数及其表示


第1讲 函数及其表示

抓住6个考点

突破4个考向

揭秘3年高考

考点梳理
1.函数的概念 非空 一般地,设A,B是两个_____数集,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都

唯一 有_____确定的数f(x)与之对应;那么就

称:f:A→B为从 集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A. 2.函数的定义域
(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.

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(2)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组). ②解不等式(组).

③写出函数的定义域(注意用区间或集合的形式写出).
(3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零.

②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.
R ③一次函数、二次函数的定义域为___.

R ④y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为___.

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⑤y=tan x

? ? π ?x|x∈R且x≠kx+ ,k∈Z? 2 ? ? 的定义域为___________________________.
0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

x|x∈R且x≠0 ⑥函数 f(x)=x 的定义域为_______________.

3.函数的值域 (1)在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数 值,函数值的集合叫函数的值域. (2)基本初等函数的值域 R ①y=kx+b(k≠0)的值域是____.
②y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当 a>0 时,值域为
? ?4ac-b2 ? 4ac-b2? ? ? ? ? -∞, ,+∞? ? ? 4a ? 4a ? ? ? ? _________________; a<0 时, 当 值域为__________________.

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k {y|y∈R且y≠0} ③y=x(k≠0)的值域是__________________. (0,+∞) ④y=ax(a>0且a≠1)的值域是_________

R ⑤y=logax(a>0且a≠1)的值域是____. [-1,1] ⑥y=sin x,y=cos x的值域是_______. R ⑦y=tan x的值域是_____. 4.函数的表示法 列表 (1)用_____来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表 法. 等式 (2)用_____来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析

法.这个等式通常叫做函数的解析表达式,简称解析式.
图象 (3)用_____表示两个变量之间函数关系的方法称为图象 法.
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5.分段函数 在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,像这样的

分段函数 函数通常叫做_________.
6.映射的概念 设A,B是两个非空集合,如果按某种对应法则f,对于A

中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么
映射 这样的单值对应叫做集合A到集合B的_____,记作f: A→B.

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【助学· 微博】 函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合A与集合B只能 是非空数集,即函数是非空数集A到非空数集B的映射. (2)映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A、B若不是

数集,则这个映射不是函数.
一个命题规律 在高考中,主要考查函数的定义域、分段函数的解析式和 求函数值,属容易题.其中求解析式和定义域具有综合 性,有时渗透在解答题中,近几年对函数概念的理解的考 查也在加强,以填空题考查基本技能.
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考点自测
1.(2012· 南通二模)函数 f(x)= x-4+ 15-3x的定义域 为________. ?x-4≥0, ? 解析 由? 解得 4≤x≤5. ?15-3x≥0, ?
所以 f(x)的定义域为[4,5].

答案

[4,5]

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2.(2012· 泰州二模)已知M={1,2,3,4},设f(x),g(x)都是从
M到M的函数,其对应法则如下表: x 1 2 3 4

f(x)
x g(x)

3
1 4

4
2 3

2
3 1

1
4 2

则f(g(1))=________. 解析 答案 因为g(1)=4,所以f(g(1))=f(4)=1. 1
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3.(2012· 盐城检测)已知函数f(x)=loga(x+1)的定义域和值域
都是[0,1],则实数a的值是________. 解析 由0≤x≤1,得1≤x+1≤2,0≤loga(x+1)≤loga2,所 以loga2=1,a=2.

答案 2 ?2x+1,x<1, ? 4.(2010· 陕西卷改编)已知函数 f(x)=? 2 若 ?x +ax,x≥1, ?
f(f(0))=4a,则实数 a=________.
解析
?2x+1,x<1, ? f(x)=? 2 ?x +ax,x≥1. ?

由 0<1,得 f(0)=20+1=

2.又 f(0)=2≥1,所以 f[f(0)]=22+2a=4a,故 a=2.

答案

2
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5.(2012· 南通一模)为了保证信息安全传输,有一种称为秘 密密钥的密码系统,其加密、解密原理如下:
加密密钥码 发送 解密密钥码 明文――――――→密文―――→密文――――――→明文 现在加密密钥码为y=loga(x+2),如上所示,明文“6”通

过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥码 解密得到明文“6”.若接受方接到密文为“4”,则解密后得 到明文为________. 解析 答案 由题意,loga(6+2)=3,所以a=2,密文为“4”, 14
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令y=4,得log2(x+2)=4,得x=14,即明文为14.

考向一

函数与映射的概念

【例1】 (1)(2012· 临沂调研)已知a,b为两个不相等的实 数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2}, f:x―→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x, 则a+b等于________.

(2)已知映射f:A―→B.其中A=B=R,对应关系f:
x―→y=-x2+2x,对于实数k∈B,在集合A中不存在 元素与之对应,则k的取值范围是________.

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解析

(1)由已知可得

?a2-4a=-2, ? M=N,故? 2 ?b -4b+1=-1 ?

?

?a2-4a+2=0, ? ? 2 ?b -4b+2=0, ?

所以 a, 是方程 x2-4x+2=0 的两根, b

故 a+b=4.

(2)由题意知,方程-x2+2x=k无实数根,即x2-2x+k= 0无实数根.∴Δ=4(1-k)<0,∴k>1时满足题意. 答案 (1)4 (2)(1,+∞)

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[方法总结] 函数是一种特殊的对应,要检验给定的两个变 量之间是否具有函数关系,只需要检验:①定义域和对应 关系是否给出;②根据给出的对应关系,自变量在其定义

域中的每一个值,是否都有唯一确定的函数值.

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【训练1】 下列对应关系是集合P上的函数的是________(填序
号). ①P=Z,Q=N*,对应关系f:对集合P中的元素取绝对值 与集合Q中的元素相对应; ②P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系f:x―→y= x2,x∈P,y∈Q; ③P={三角形},Q={x|x>0},对应关系f:对P中三角形求

面积与集合Q中元素对应.
解析 由于①中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素, 并且③中集合P不是数集,所以①和③都不是集合P上的 函数.由题意知,②正确. 答案 ②
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考向二

求函数定义域的方法

1 【例 2】 (1)函数 y= 的定义域为________. log0.5?4x-3? x-4 (2)若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 m mx +4mx+3 的取值范围是________.
解析 (1)要使函数有意义,则 log0.5(4x-3)>0,
?3 ? 3 即 0<4x-3<1,所以 <x<1.故函数定义域为?4,1?. 4 ? ?

(2)f(x)的定义域为 R,即 mx2+4mx+3≠0 恒成立. ①当 m=0 时,符合条件.
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②当 m≠0 时,Δ=(4m)2-4×m×3<0, 3 即 m(4m-3)<0,∴0<m< . 4 ? 3? 综上所述,m 的取值范围是?0,4?. ? ? ?3 ? ? 3? 答案 (1)?4,1? (2)?0,4? ? ? ? ?

[方法总结] 求函数的定义域,其实质就是使函数解析式有 意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解

集,其准则一般是:①分式中,分母不为零;②偶次根
式,被开方数非负;③对于y=x0,要求x≠0;④对数式 中,真数大于0,底数大于0且不等于1;⑤由实际问题确

定的函数,其定义域要受实际问题的约束.
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1 【训练 2】 (1)(2013· 南京模拟)函数 f(x)= +log2(2x-1)的 1-x 定义域是________. ln?x+1? (2)(2012· 城 模 拟 ) 函 数 y = 聊 的定义域为 2 -x -3x+4 ________.
解析 所以
?1-x>0, ? (1)因为? ?2x-1>0, ? ?1 ? f(x)的定义域为?2,1?. ? ?

1 解得 <x<1, 2

?x+1>0, ? (2)由? ?-x2-3x+4>0 ?

得-1<x<1.

答案

?1 ? (1)?2,1? ? ?

(2)(-1,1)
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考向三

求函数的值域

【例3】 求下列函数的值域. (1)y=x2+2x(x∈[0,3]); x-3 (2)y= ; x+1 (3)y=x- 1-2x; (4)y=log3x+logx3-1. 解 (1)(配方法) y=x2+2x=(x+1)2-1, y=(x+1)2-1在[0,3]上为增函数,∴0≤y≤15,

即函数y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15].

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(2)(分离常数法) x-3 x+1-4 4 y= = =1- . x+1 x+1 x+1 4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. (3)法一 (换元法) 1-t2 令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= , 2 1-t2 1 于是 y= -t=- (t+1)2+1, 2 2 ? 1? 1 由于 t≥0,所以 y≤ ,故函数的值域是?y|y≤2?. 2 ? ?
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法二 (单调性法) 容易判断函数 y=f(x)为增函数,而其定义域应满足 1- ?1? 1 1 2x≥0,即 x≤ ,所以 y≤f?2?= , 2 ? ? 2 ? 1? 即函数的值域是?y|y≤2?. ? ? (4)(基本不等式法) 函数定义域为{x|x∈R,x>0,且 x≠1}. 当 x>1 时,log3x>0, 1 1 于是 y=log3x+ -1≥2 log3x· -1=1; log3x log3x 当 0<x<1 时,log3x<0,于是 ? ? 1 ?? 1 ? ? ?? y=log3x+ -1=-??-log3x?+?-log x??-1 log3x ? ? 3 ?? ≤-2-1=-3. 故函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞).
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[方法总结] (1)当所给函数是分式的形式,且分子、分母是
同次的,可考虑用分离常数法;(2)若与二次函数有关, 可用配方法;(3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换 元法或单调性法;(4)当函数解析式结构与基本不等式有 关,可考虑用基本不等式求解;(5)分段函数宜分段求

解;(6)当函数的图象易画出时,还可借助于图象求解.

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【训练3】 求下列函数的值域: x2-x (1)y= 2 ;(2)y=2x-1- 13-4x. x -x+1
解 (1)法一 (配方法)

? 1?2 3 3 1 2 ∵y=1- 2 ,又 x -x+1=?x-2? + ≥ , 4 4 ? ? x -x+1

1 4 1 ∴0< 2 ≤ ,∴- ≤y<1. 3 x -x+1 3
? 1 ? ∴函数的值域为?-3,1?. ? ?

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法二

(判别式法) x2-x 由 y= 2 ,x∈R. x -x+1 得(y-1)x2+(1-y)x+y=0. ∵y=1 时,x∈?,∴y≠1. 1 又∵x∈R,∴Δ=(1-y) -4y(y-1)≥0,解得- ≤y≤1. 3 ? 1 ? 1 综上得- ≤y<1.∴函数的值域为?-3,1?. 3 ? ?
2

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(2)法一

(换元法)

13-t2 设 13-4x=t,则 t≥0,x= , 4 13-t2 于是 f(x)=g(t)=2· -1-t 4 12 11 1 =- t -t+ =- (t+1)2+6, 2 2 2 显然函数 g(t)在[0,+∞)上是单调递减函数, 11 所以 g(t)≤g(0)= , 2 ? 11? 因此原函数的值域是?-∞, 2 ?. ? ?

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法二

(单调性法)

? 13? 函数定义域是?x|x≤ 4 ?, ? ?

当自变量 x 增大时,2x-1 增大, 13-4x减小, 所以 2x-1- 13-4x增大, 因此函数 f(x)=2x-1- 13-4x在其定义域上是一个单调递
?13? 11 13 增函数,所以当 x= 时,函数取得最大值 f? 4 ?= ,故原 4 2 ? ? ? 11? ?-∞, ?. 函数的值域是 2? ?

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考向四

求函数的解析式

【例4】 (1)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=

f(x)+x+1,试求f(x)的解析式. ?1? 2 (2)已知 3f(x)+5f?x?=x+1,求函数 f(x)的解析式. ? ?
(3)已知 (4)已知
? 1? 1 ?x+ ?=x2+ 2,求 f x? x ? ?2 ? f?x+1?=lg ? ?

f(x)的解析式.

x,求 f(x)的解析式.

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(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

∵f(0)=0,∴c=0, 又f(x+1)=f(x)+x+1,

∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1.
即2ax+a+b=x+1,
1 ? ?2a=1, ?a=2, ? ∴? ∴? ?a+b=1, ? ?b=1, ? 2 1 2 1 ∴f(x)= x + x. 2 2

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?1? 1 (2)以x替换原等式中的 x,则 3f?x?+5f(x)=2x+1. ? ? ?1? 2 ? ?3f?x?+5f?x?=x+1, ? ? 故? ? ? 两式相减整理, ?3f?1?+5f?x?=2x+1, ? ?x? 5 3 1 得 f(x)= x- + (x≠0). 8 8x 8 1 1 2 2 (3)令 x+x=t,则 t =x + 2+2≥4. x 1 2 2 ∴t≥2 或 t≤-2 且 x + 2=t -2. x ∴f(t)=t2-2.即 f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2). 2 2 (4)令x+1=t,由于 x>0,∴t>1 且 x= , t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,即 f(x)=lg (x>1). t-1 x-1
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[方法总结] 函数解析式的求法 (1)凑配法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关 于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便 得f(x)的解析式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函

数),可用待定系数法;
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法, 此时要注意新元的取值范围;
(4)方程思想:已知关于 f(x)与
?1? f?x?或 ? ?

f(-x)的表达式,可

根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组, 通过解 方程组求出 f(x).

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【训练4】 (2013· 宿迁联考)如图放置的边
长为1的正三角形PAB沿x轴滚动,设 顶点A(x,y)的纵坐标与横坐标的函数 关系式是y=f(x),则f(x)在区间[-2,1] 上的解析式是________.

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1 解析 当- <x≤1 时,点 A(x,y)到原点距离为 1,所以 2 x2+y2=1(y≥0),所以 y= 1-x2; 1 当-2≤x≤- 时,点 A(x,y)到点(-1,0)的距离为 1,所以 2 (x+1)2+y2=1(y≥0),所以 y= 1-?x+1?2.
? 1? ? 2 ? 1-?x+1? ,x∈?-2,-2?, ? ? y=? ? ? ? 1-x2,x∈?-1,1? ? ? 2 ?

答案

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热点突破4

求函数值域的常见方法

近几年高考对值域的考查难度大大降低,值域的考查
常与单调性、最值相结合. 【示例】 (2009· 湖南改编)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定 ?f?x?,f?x?≤K, ? 义, 对于给定的正数 K, 定义函数 fK(x)=? ?K,f?x?>K. ? 取函数 f(x)=2-x-e-x,若对任意的 x∈(-∞,+∞),恒 有 fK(x)=f(x),则 K 的最小值为________.

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[审题与转化] 第一步:由fK(x)=f(x)恒成立可得K≥f(x)恒

成立.
第二步:根据f(x)=2-x-e-x的形式,可用导数法求 f(x)的最大值. [规范解答] 第三步:依题意K≥f(x)恒成立.f′(x)=-1 +e-x,当x>0时,f′(x)<0;当x<0时,f′(x)>0,即f(x)在(-

∞,0)上是增函数,(0,+∞)上是减函数,当x=0时,f(x)
取得最大值f(0)=2-0-1=1,故K≥1,即K的最小值为1.

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[反思与回顾] 第四步:求函数值域的常见方法:
1 (1)观察法:如 y= 2 的值域可以从 x2 入手去求,由 2x +1 x2≥0 得 2x2+1≥1,函数的值域为(0,1].

(2)图象法:基本初等函数,或由其经简单变换所得的函数,或用
导数研究极值点及单调区间后,可通过画示意图观察得值域. (3)利用函数的有界性:形如sin α=f(y),x2=g(y),由|sin α|≤1, x2≥0可解出f(y)、g(y)的范围,从而求出其值域或最值. (4)换元法化归为基本函数的值域

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①代数换元:形如 y=ax+b± cx+d(a,b,c,d 为常数, ac≠0),可设 cx+d=t(t≥0),转化为二次函数求值域. ②三角换元:如 y=x+ 1-x2,可令 x=cos θ,θ∈[0,π], 则 y=cos θ+sin θ=
? π? 2sin?θ+4 ?,θ∈[0,π]. ? ?

(5)均值不等式法:利用均值不等式 a+b≥ 2ab(a,b>0). cx-d (6)分离常数法:形如 y= (a≠0)的函数的值域,可用 ax-b “分离常数法”求解. (7)导数法:如求 y=x3+3x2-5x x∈[0,1]的值域.

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高考经典题组训练
1.(2012· 江苏卷)函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为 ________.

解析

因为 1-2log6x≥0,

1 所以 log6x≤ ,解得 0<x≤ 6, 2 故函数 f(x)的定义域为(0, 答案 (0, 6] 6].

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?1,x>0, ? 2.(2012· 福建卷改编)设 f(x)=?0,x=0, ?-1,x<0, ?
?1,x为有理数, ? g(x)=? ?0,x为无理数, ?

则 f(g(π))的值为________.

解析

π是无理数,g(π)=0,所以f(g(π))=f(0)=0.

答案

0

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1 ln x 3.(2012· 江西卷改编)下列函数:①y= ;②y= x ;③y sin x sin x 1 =xe ;④y= x 中,与函数 y= 定义域相同的函数序 3 x
x

号是________. 1 sin x 解析 y= 定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞), 所以 y= x 3 x 1 的定义域与 y= 定义域相同. 3 x

答案



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4.(2012· 安徽卷改编)下列函数:①f(x)=|x|;②f(x)=x- |x|;③f(x)=x+1;④f(x)=-x,其中满足f(2x)=2f(x)的 函数序号是________. 解析 ①f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);②f(2x)=2x-|2x|=2(x

-|x|)=2f(x);③f(2x)=2x+1≠2x+2=f(2x);

④f(2x)=-2x=2f(x).
答案 ①②④

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?2x+a,x<1, ? 5. (2011· 江苏卷)已知实数 a≠0, 函数 f(x)=? ?-x-2a,x≥1, ?

若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为________.

解析

当 1-a<1,即 a>0 时,a+1>1,由 f(1-a)=f(1 3 +a),得 2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得 a=- (舍去). 2 当 1-a>1,即 a<0 时,a+1<1,由 f(1-a)=f(1+a), 3 得 2(1+a)+a=-(1-a)-2a,解得 a=- . 4 3 答案 - 4

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