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【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第四篇 平面向量、复数 第4节 Word版含解析






数系的扩充与复数的引入

【选题明细表】 知识点、方法 复数的相关概念 复数的代数运算 复数的几何意义 复数相等的应用 复数的综合 一、选择题 1.(2012 年高考辽宁卷)复数 等于( A ) (A) - i (C)1- i 解析: = (B) + i (D)1+ i = = - i.故选 A. 题号 2、7 1、3、6、9 8、10 4、5 11

2.设 a 是实数,i 为虚数单位,且 + 是实数,则 a 等于( A ) (A)1 (B) (C) (D)+ =

解析:由题意得 + = ,

由于该复数为实数,故-a+1=0, 即 a=1,故选 A. 3.(2013 合肥模拟)复数 z= (i 为虚数单位)的共轭复数 是( D ) (A)1-i (C)- + I 解析:由 z= = 故选 D. 4.(2012 哈尔滨市第六中学上学期期末考试)复数 z= -ai,a∈R,且 z2= - i,则 a 的值为( C ) (A)1 (B)2 (C) (D) (B)1+i (D) - i = 得, = - i,

解析:∵z= -ai,∴z2= -a2- ai= - i, ∴ ∴a= ,故选 C. 5.(2012 安徽皖南八校三联)若(x-i)i=y+2i,x、 y∈R,则复数 x+yi 等于 ( B ) (A)-2+i (B)2+i (C)1-2i (D)1+2i

解析:∵(x-i)i=xi+1.

又∵(x-i)i=y+2i.由复数相等可知 所以 x+yi=2+i.故选 B. 6.已知 a 为正实数,i 是虚数单位, (A)1 (B) (C) (D)2 ︱=|1-2ai|= = ,

,

= ,则|a-i|等于( B )

解析:由︱ 得 a2=1,

又 a 为正实数, 故 a=1,|a-i|=|1-i|= , 故选 B. 二、填空题 7. 若定义 的实部为 解析:由定义可得 答案:3 8.(2012 潍坊质检)复数 z= (i 是虚数单位)的共轭复数在复平面上对 应的点位于第 象限. = - i,所以其共轭复数 = + i,在复平面上对 =ad-bc(a,b,c,d 为复数),则 . =2i·i(3-2i)-3i·3i=3+4i.故其实部为 3. (i 为虚数单位)

解析:由题意得 z= = 应的点位于第一象限.

答案:一 9.(2013 长沙名校模拟)复数 z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i 在复平面内对 应 的 点 分 别 为 A 、 B 、 C, 若 ∠ BAC 是 钝 角 , 则 实 数 c 的 取 值 范 围 为 .

解析:在复平面内三点坐标分别为 A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6), 由∠BAC 是钝角得 · <0, 且 B、A、C 不共线, 即(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0, 解得 c> ,

其中当 c=9 时, =(6,8)=-2 ,三点共线,故 c≠9. 答案:{c︱c> 且 c≠9} 三、解答题 10.已知 i 是虚数单位,若实数 x、y 满足(1+i)(x+yi)=(1-i)(2+3i),试 判断点 P(x,y)所在的象限是第几象限. 解:已知等式可化为(x-y)+(x+y)i=5+i, 根据两复数相等的条件得, 解得 x=3,y=-2, 所以点 P 在第四象限. 11.(2012 安徽蚌埠质检)设复数 z=-3cos θ+2isin θ.

(1)当θ= 时,求|z|的值; (2)若复数 z 所对应的点在直线 x+3y=0 上, 求 的值.

解:(1)∵θ= , ∴z=-3cos ∴|z|= +2isin = - i,

= .

(2)由条件得,-3cos θ+6sin θ=0, ∵cos θ≠0, ∴tan θ= , 原式= = =.


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