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【精编word版】广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学文试题 Word版含答案


汕头市金山中学 2014 届高三摸底考试

文 数 试 题 (2013 年 8 月)
一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) ⒈ 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? x | ? 2≤ x≤ 3 , B ? ? x | x ? ?1或x ? 4? , 那

么 集 合

?

?

A ? (CU B) 等于( )
A

[?1,3]
2

B

? x | x ≤ 3或x ≥ 4?
w_w w. k#s5_u.c o*m

C. [?2,?1)

D. [?2,4)

⒉抛物线 y ? 8 x 的焦点到准线的距离是 A. 1 ⒊若 z ? B. 2

C.4

D.8

3 ( i 表示虚数单位) ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( ) 1 ? 2i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限

? ? ? ? ⒋已知向量 a ? ( x,1) , b ? (3, 6) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为 (
A.

1 2

B. 2

C. ? 2

D. ?

1 2

?x ? y ? 1 ? ⒌已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 . 则 z=x+2y 的最小值为 ?x ?1 ? 0 ?
A.3 B.1 C.-5 D.-6 ⒍在区间 ? 0,1? 上随机取一个数 x,则事件“ cos

1 ”发生的概率为( ) 2 2 2 1 1 2 A. B. C. D. 3 2 3 ? 7.如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、 C1 截去两个角后所得的几何体,则 ?
该几何体的主视图(或称正视图)为( )
C1 N M B1

?x


A B C D
A

D B

C

⒏执行如图 2 所示的程序图,若输入 n 的值为 6, 则输出 s 的值为 A.105 B.16 C.15 D.1

⒐定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (? x) ? f (2 ? x) , 且在 [?1,0] 上单调递增, a ? f (3) , 设

1 b ? f ( ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是( 2
A. a ? b ? c B. a ? c ? b

)k$s#5u D. c ? b ? a

C. b ? c ? a

⒑集合 S ? {0,1,2,3,4,5} , A 是 S 的一个子集,当 x ? A 时,若有 x ?1? A ,且 x ?1? A ,则 称 x 为 A 的一个“孤立元素”,那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素的子集 A 的个数是 A.5 B. 6 C.7 D.8

二.填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 0.05 (一)必做题(11-13 题) ⒒共有 400 辆汽车通过某一段公路时的速度如右图所示, 0.04 则速度在 [50,70 ) 的汽车大约有 _____辆. 0.03 0.02 0.01 ⒓已知等比数列{ an }中,各项都是正数,且 3a1 , 成等差数列,则

频率 组距

速度 40 50 60 70 80 (km/h)

1 a 3 , 2a 2 2

a7 ? a5
x 2 ? ax ? a ? lg( x ? 1) 的定义域为 (1, ??) ,则实数 a 的取值范围为

⒔已知函数 f ( x) ?

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕(几何证明选讲选做题)

AB 是圆 O 的直径, EF 切圆 O 于 C , AD ? EF 于 D ,

AD ? 2 , AB ? 6 ,则 AC 的长为
⒖(坐标系与参数方程选做题)



极坐标方程分别是 ? ? cos ? 和 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距是



三﹑解答题(本大题共6小题,共80分) ⒗(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (0) 的值; (2)设 ? ? ?0, 值. ⒘(本小题满分 12 分)已知 m ? 0 , p : ? x ? 1?? x ? 5 ? ? 0 , q : 1 ? m ? x ? 1 ? m . ⑴ 若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; ⑵若 m ? 5 , p 或 q ”为真命题, p 且 q ”为假命题,求实数 x 的取值范围. “ “ ⒙(本小题满分 14 分)已知数列

1 3

?
6

) , x? R .

? 10 6 ? ?? ? ? ? ?, ? ? ?? 2 ,0? , f (3? ? 2 ) ? 13 , f (3? ? 2? ) ? 5 ,求 cos?? ? ? ? 的 ? 2? ? ?

?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

an (n ? N ? ) . 2an ? 1

(1)求证:数列 {

1 } 为等差数列;k$s#5u an

(2)设

2 1 3 ? ? 1 ,数列 {bn bn ? 2 } 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? . bn an 4

⒚(本小题满分 14 分)如图,已知 DE⊥平面 ACD , DE / / AB , △ ACD 是正三角形, AD = DE ? 2 AB=2 ,且 F 是 CD 的中点. ⑴求证:AF //平面 BCE ; ⑵求证:平面 BCE ⊥平面 CDE . ⑶求 VC ? ABF : VC ? ABED 的值.

⒛(本小题满分 14 分)如图,设点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 分别是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) a2

的左、右焦点, P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的任意一点,且 ?PF1 F2 的面积最大值为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l1 : y ? kx ? m, l2 : y ? kx ? n ,若 l1 、 l 2 均与椭圆 C 相切,证明: m ? n ? 0 ;

C1 N

(3)在(2)的条件下,试探究在 x 轴上是否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l2 的距离之积恒为 1? 若存在,请求出点 B 坐标;若不存在,请说明理由.
y

x F1 o F2

图(5)

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, ( x ? 1) 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ? 的图象过点 (?1,2) , ?a ln x, ( x ? 1)
且在点 (?1, f (?1)) 处的切线与直线 x ? 5 y ? 1 ? 0 垂直. ⑴求实数 b, c 的值; ⑵求 f (x) 在 [?1, e](e 为自然对数的底数)上的最大值; ⑶对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f (x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为直 角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

高三摸底考文科数学答题卷
高三( )班 姓名 学号 评分

一、选择题(本大题共 10 道小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中有 且只有一个是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题:本大题共四小题,每小题 5 分,满分 20 分。其中 14-15 题是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算 14 题得分. (一)必做题(11~13 题) ⒒ ⒓ ⒔

(二)选做题(14~ 15 题,考生只能从中选做一题) 14. 15. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) k$s#5u

17. (本小题满分 12 分)

高三(

)班

姓名

学号

⒙(本小题满分 14 分)

k$s#5u

⒚(本小题满分 14 分)

20、21 题在背 面作答 ⒛本小题满分 14 分)

21.(本小题满分 14 分)

k$s#5u

汕头金山中学 2014 届高三摸底考参考答案
一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.) 1 2 3 4 5 6 7 题号 答案 A C D C C D B C 二.填空题 (本大题共 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题 11. 320 12. 9 13. (??, 4] (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)14. 8 D ; ; ⒖ 9 B 10

2 3

2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ⒗解: (1) f (0) ? 2sin(?

) ? ?1 ???3 分 k$s#5u 6 ? 1 ? ? 10 5 (2) f (3? ? ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? ,即 sin ? ? ??5 分 2 3 2 6 13 13 1 ? ? 6 f (3? ? 2? ) ? 2sin[ (3? ? 2? ) ? ] ? 2sin( ? ? ) ? , 3 6 2 5 3 ? ?? ? ? ? 即 cos ? ? ???8 分 ∵ ? ? ?0, ?, ? ? ?? ,0? ,???9 分 ks5u 5 ? 2? ? 2 ? 12 4 ∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? , sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? ???10 分 13 5 12 3 5 ? 4 ? 56 ∴ cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ???12 分 ? ? ?? ? ? 13 5 13 ? 5 ? 65
⒘解: p : ?1 ? x ? 5 , ⑴∵ p 是 q 的充分条件, ∴ ? ?1,5? 是 ?1 ? m,1 ? m? 的子集. ……4 分 ……2 分

?

?m ? 0, ∴ ?1 ? m ? ?1 ,得 m ? 4 ,∴实数 m 的取值范围为 ? 4, ?? ? . ? ?1 ? m ? 5 ?

……6 分

⑵当 m ? 5 时, q : ?4 ? x ? 6 依题意, p 与 q 一真一假,

……8 分

? ?1 ? x ? 5 ,得 x ?? . p 真 q 假时,由 ? ? x ? ?4或x ? 6

……10 分

? x ? ?1或x ? 5 ,得 ?4 ? x ? ?1或5< x ? 6 . p 假 q 真时,由 ? ? ?4 ? x ? 6
∴实数 m 的取值范围为 ? ?4, ?1? ? ? 5, 6? . ⒙(本小题满分 14 分) 解: (1)由 an ?1 ? 所以数列 ?

……11 分 ……12 分

an 1 1 1 得: ? ? 2 且 ? 1 , ????2 分 k$s#5u an ?1 an 2an ? 1 a1

?1? ? 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, ????3 分 ? an ?
1 1 ; ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, 得:an ? an 2n ? 1
------------7 分 ------------9 分 ------------5 分

(2)由(1)得: 由

2 1 2 1 , ? ? 1 得: ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n,? bn ? bn n bn an

从而: bn bn ? 2 ?

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2
1 1 ? )] n n?2

则 Tn ?b1 b3 ? b2 b4 ? ? ? bn bn ? 2

1 1 1 1 2 3 2 4 1 1 1 1 = (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 1 ? ? ( ? ) 4 2 n ?1 n ? 2 3 ? 4

= [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

------------12 分

------------14 分

⒚(本小题满分 14 分) ⑴解:取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,∴FP//DE,且 FP= 又 AB//DE,且 AB=

1 DE. 2

????2 分

1 DE. 2

∴AB//FP,且 AB=FP,

∴ABPF 为平行四边形,∴AF//BP. 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ⑵∵△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD, AF ? 平面 ACD,

∴AF//平面 BCE.

????4 分

∴DE⊥AF 又 AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE. 又 BP//AF,∴BP⊥平面 CDE。 又∵BP ? 平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE. ⑶? DE // AB

????7 分 ????8 分 ????9 分

DE ? 平面A C D

?AB⊥平面 ACD ∴AB 是三棱锥 B-ACF 的高, VC ? ABF ? VB-ACF
= S?ACF ? AB ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin

1 3

1 1 1 3 2 2

?

3 ?1 ? 3 6

P ???11 分 Q

取 AD 中点 Q,连结 CQ ∵DE⊥平面 ACD, DE ? 平面 ABED, ∴平面 ACD⊥平面 ABED, ∵△ACD 为正三角形,∴CQ⊥AD, 平面 ACD∩平面 ABED=AD CQ ? 平面 ACD, ∴CQ⊥平面 ABED,∴CQ 是四棱锥 C-ABED 的高 ????12 分 VC-ABED= S梯形ABED ? CQ ? 故 VC ? ABF : VC ? ABED =

1 3

1 (1 ? 2) ? ? 2? 3 ? 3 3 2

????13 分 ????14 分 k$s#5u

1 6

⒛解: (1)? ?PF1 F2 的面积最大值为 1

1 ? ? 2c.b ? 1 即 bc ? 1 2 x2 2 又椭圆 C : 2 ? y ? 1(a ? 1) a 2 2 2 故a ? b ?c ? 2
2

-------------1 分

?b ? 1 从而 c ? 1

--------------2 分 ---------------3 分

x ? y2 ? 1. ---------------4 分 2 2 2 2 (2)把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 2 ? 0
∴椭圆 C 的方程为 ∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得
2 2 2 2

m2 ? 1 ? 2k 2 ------------------------------------------------------------------------------------7 分
同理可得: n2 ? 1 ? 2k 2 ---------------------------------------------------------------------8 分 ∴ m2 ? n 2 ,若 m ? n ,则 l1 , l2 重合,不合题意, ∴ m ? ?n ,即 m ? n ? 0 -------------------------------------------------------------------9 分 (3)设在 x 轴上存在点 B(t ,0) ,点 B 到直线 l1 , l2 的距离之积为 1,则

| kt ? m | | kt ? m | ? ? 1 ,即 | k 2t 2 ? m2 |? k 2 ? 1 ,--------------------------------------11 分 2 2 k ?1 k ?1
把 1 ? 2k 2 ? m2 代入并去绝对值整理,

k 2 (t 2 ? 3) ? 2 或者 k 2 (t 2 ? 1) ? 0
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立

则 t 2 ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ;-------------------------------------------- k$s#5u --------------------13 分 综上所述,满足题意的定点 B 存在,其坐标为 (?1,0) 或 (1, 0) ---------------------------14 分 21.


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