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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修1-2【备课资源】3.3复数的几何意义


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§3.3

【学习要求】 1.了解复数的几何意义,会用复平面上的点表示复数.
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2.了解复数的加减运算的几何意义. 【学法指导】 从数形结合的观点理解复数的几何意义, 结合向量理解复数 的模; 另外也可以把实数和数轴上点的对应关系与实数的绝 对值进行类比.

填一填·知识要点、记下疑难点

§3.3

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1.任何一个复数 z=a+bi 和复平面内 Z(a,b) 一一对应, 和以 → Z(a,b) 为终点的向量 OZ 一一对应. 原点 为起点,以 a2+b2 . 2.设 z=a+bi,则|z|= 3.两个复数差的模就是复平面内 与这两个复数对应的两点间

的距离.

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§3.3

探究点一
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复数与复平面内的点

问题1

实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来

表示呢?

答 任何一个复数z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一 一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集可以建 立一一对应.
小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实 数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

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§3.3

问题2 复数与复平面内的点怎样建立对应关系?
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任何一个复数 z=a+bi,都可以和复平面内的点

Z(a,b)一一对应.因此复数集与平面内的点集一一对应. 讨论复数对应点在复平面内的位置,可以转化为复数的 实虚部满足的条件.一般可以通过列方程或不等式解决.

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§3.3

例1 在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对 应点(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上,分别 求实数m的取值范围.
解 复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-
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2,虚部为m2-3m+2.

(1)由题意得m2-m-2=0.解得m=2或m=-1.
?m2-m-2<0 ? (2)由题意得? 2 ?m -3m+2>0 ?
?-1<m<2 ? ∴? ?m>2或m<1 ?





∴-1<m<1.

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§3.3

(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2,故m=2.
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小结

按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对

应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平 面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判 断复数实部、虚部的取值.

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跟踪训练1 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+ (m2-2m-15)i (1)对应的点在x轴上方;
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§3.3

(2)对应的点在直线x+y+4=0上.
解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3,或m>5,

所以当m<-3,或m>5时,复数z对应的点在x轴上方. (2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,
5 5 得m=1,或m=- ,所以当m=1,或m=- 时, 2 2

复数z对应的点在直线x+y+4=0上.

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§3.3

探究点二 复数与向量 问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系?
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当向量的起点在原点时,该向量可由终点唯一确定,

从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系.

问题2 怎样定义复数z的模?它有什么意义?
→ 答 复数z=a+bi(a,b∈R)的模就是向量 OZ =(a,b)的 模,记作|z|或|a+bi|. |z|=|a+bi|= a2+b2可以表示点Z(a,b)到原点的距离.

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例2 已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
解 方法一 ∵z=3+ai(a∈R),

§3.3

∴|z|= 32+a2,
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由已知得32+a2<42, ∴a2<7, ∴a∈(- 7, 7).
方法二 利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对 应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界), 由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,

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§3.3

所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.
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由图可知:- 7<a< 7.
小结 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的

条件,是一种复数问题实数化思想;利用复数模的意义,结 合图形,可利用平面几何知识解答本题.

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§3.3

1 跟踪训练2 求复数z1=3+4i,z2=- - 2 i的模,并比较它 2 们的大小.
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解 |z1 |= 32+42=5,
|z2 |= 12 3 2 ?- ? +?- 2? = . 2 2

3 ∵5>2,∴|z1 |>|z2|.

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探究点三 问题1 复数加减法的几何意义

§3.3

复数与复平面内的向量一一对应关系,你能从向量加

法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗?
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→ → 答 如图,设OZ1,OZ2分别与复数a → +bi,c+di对应,则有OZ1=(a,b), → OZ2=(c,d),由向量加法的几何意义 → → OZ1+OZ2=(a+c,b+d),

→ → 所以 OZ1 + OZ2 与复数(a+c)+(b+d)i对应复数的加法可以 按照向量的加法来进行.

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§3.3

问题2 怎样作出与复数z1-z2对应的向量?

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z1-z2可以看作z1+(-z2).因为复数

的加法可以按照向量的加法来进行.所以 可以按照平行四边形法则或三角形法则 → 作出与z1-z2对应的向量(如图).图中OZ1 → → 对应复数z1,OZ2对应复数z2,则Z2Z1对 应复数z1-z2.

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例3 如图所示,平行四边形OABC的顶点 O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求: → (1)AO表示的复数; → (2)对角线CA表示的复数; → (3)对角线OB表示的复数.

§3.3

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→ → 解 (1)因为AO=-OA, → 所以AO表示的复数为-3-2i.
→ → → (2)因为CA=OA-OC, → 所以对角线CA表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

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§3.3

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→ → → (3)因为对角线OB=OA+OC, → 所以对角线OB表示的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
小结 复数的加减法可以转化为向量的加减法,体现了数形 结合思想在复数中的运用.

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跟踪训练3 已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
解 方法一 设z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d∈R),
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§3.3

∵|z1 |=|z2|=|z1-z2 |=1,
∴a2+b2=c2+d2=1, (a-c)2+(b-d)2=1. ① ②

由①②得2ac+2bd=1,
∴|z1+z2|= ?a+c?2+?b+d?2 = a2+c2+b2+d2+2ac+2bd= 3.

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方法二 设O为坐标原点,

§3.3

z1、z2、z1+z2对应的复数分别为A、B、C.
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∵|z1 |=|z2|=|z1-z2 |=1,

∴△OAB是边长为1的正三角形,
∴四边形OACB是一个内角为60° ,边长为1的菱形,且|z1+z2| 是菱形的较长的对角线OC的长, ∴|z1+z2|=|OC| = |OA|2+|AC|2-2|OA||AC|cos 120° 3. =

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§3.3

方法三
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∵|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)

∴|z1+z2|2=2(|z1 |2+|z2 |2)-|z1-z2 |2 =2(12+12)-12=3.

∴|z1+z2|= 3.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§3.3

1.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 m i的点在直线y=x上,
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则实数m的值为________. 9
解析 ∵z=(m-3)+2 mi表示的点在直线y=x上,
∴m-3=2 m,解之得m=9.

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§3.3

2.已知复数(2k2-3k-2)+(k2-k)i在复平面内对应的点在第二
? 1 ? ?- ,0?∪(1,2) ? 2 ? 象限,则实数k的取值范围是_____________.

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解析

∵复数对应的点在第二象限, ? 1 ?2k2-3k-2<0, ?- <k<2, ? ∴? 2 即? 2 ?k -k>0, ? ?k<0或k>1. ?
? 1 ? ∴k的取值范围为?-2,0?∪(1,2). ? ?

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§3.3

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3.若复数z1=-1,z2=2+i分别对应复平面上的点P、Q,则 → 向量PQ对应的复数是________. 3+i

→ 解析 ∵P(-1,0),Q(2,1),∴PQ=(3,1),
→ ∴PQ对应的复数为3+i.

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§3.3

1 4.若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是________.
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解析 由|z-2|=|z+2|,知 z 对应点的轨迹是到(2,0)与到 (-2,0)距离相等的点,即虚轴. |z-1|表示 z 对应的点与(1,0)的距离.∴|z-1|min=1.

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§3.3

1.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对应,
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复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应. 2.复数的加减法满足向量加减法的平行四边形法则和三角形 法则;两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的 两点间的距离. 3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的 实虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑.


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