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2014-2015学年福建省莆田四中高一(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年福建省莆田四中高一(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题: (共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量 =(2,﹣3) , =(x,6) ,且 ∥ ,则 x 的值为( A. 4 B. ﹣4 C. 9 (n>1) ,则 a3=( C. ) D. 2 ) D . ﹣9

2.设数列{an}中

,已知 a1=1,an=1+ A. B.
2

3.已知扇形的面积为 2 cm ,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n ﹣5n,则 a6 的值为( ) A. 78 B. 58 C. 50 5.已知角 a 的终边射线与单位圆交于点 P( , ) ,那么 tan2a 的值是( A. B. C. ﹣
2

D. 28 ) D.

6.已知{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3=12,则公差 d 等于( A. 1
2



B.

C. 2
2

D. 3

7.二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的零点为 2 和 3,那么不等式 ax +bx+c<0 的解集为 ( ) A. {x|2<x<3} x } B. {x|﹣3<x<﹣2} C. {x| <x } D. {x|﹣ <

8.若 sinα= ,且 α 是第二象限角,则

的值为(



A.

B. ﹣

C.

+

D. ﹣

9. 若 x, y 满足

, 若目标函数 z=x﹣y 的最小值为﹣2, 则实数 m 的值为 (



A. 0

B. 2

C. 8

D . ﹣1
2

10.正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在 am,an,使得 am?an=16a1 ,则 值为( A. 2 ) B. 16 C. D.

的最小

11.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 ( ) A. B. 2

=2





,若

=﹣ ,则 λ 的值为

C.

D. 3

12.已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点按从 ) D.

小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( A. B. an=n﹣1

C. an=n(n﹣1)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)=sin2x 的图象可以由 g(x)=sin(2x﹣ )的图象向左平移 单位得到. 个

14.已知向量



,|

|=3,则

?

=



15.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,首项 a1=﹣2015 且 S2015= .



=2,则

16.△ABC 的内角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,则下列命题正确的是 ①若 A<B,则 cos2A<cos2B ③若 a+b>2c,则 C ②若 ab>c ,则 C ④若(a+b)c<2ab,则 C> .
2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在等比数列{an}中,a2=3,a5=81 (Ⅰ)求 an 及其前 n 项和 Sn; (Ⅱ)设 bn=1+log3an,求数列{ }的前 10 项和 T10.

18.已知 a,b,c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin B=2sinAsinC. (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= ,求△ABC 的面积. 19.如图,函数 y=2sin( (Ⅰ)求 φ 的值; (Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 和 的夹角的余弦值. x+φ) x∈R,其中 0≤φ≤ 的图象与 y 轴交于点(0,1) .

2

20.已知函数



(1)求函数 f(x)的周期及单调递增区间; (2)在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知函数 f(x)的图象经过点 成等差数列,且 ,求 a 的值.

21.某房地产开发商投资 810 万元建一座写字楼,第一年装修费为 10 万元,以后每年增加 20 万元,把写字楼出租,每年收入租金 300 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①纯利润总和最大时,以 100 万元出售该楼; ②年平均利润最大时以 460 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多? 22.已知数列{an}及 f(xn)=a1x+a2x +…+anx ,fn(﹣1)=(﹣1) n,n∈N . (Ⅰ)求 a1,a2,a3 的值,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=an﹣10,求数列{|bn|}的前 n 项和 Tn; (Ⅲ)若 (
n 2 n n *

)?an≤ m + m﹣1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2

2014-2015 学年福建省莆田四中高一(下)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量 =(2,﹣3) , =(x,6) ,且 ∥ ,则 x 的值为( A. 4 B. ﹣4 C. 9 ) D . ﹣9

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析:直接利用向量的平行的充要条件,通过坐标运算求解即可. 解答: 解:向量 =(2,﹣3) , =(x,6) ,且 ∥ , 可得﹣3x=12,解得 x=﹣4. 故选:B. 点评:本题考查向量的坐标运算,向量的平行的充要条件的应用,考查计算能力. 2.设数列{an}中,已知 a1=1,an=1+ A. B. (n>1) ,则 a3=( C. ) D. 2

考点:数列递推式. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由 a1=1,an=1+ (n>1)求出 a2,a3 即可. (n>1) ,

解答: 解:∵a1=1,an=1+ ∴a2=1+ a3=1+ =1+1=2, =1+ = ;

故选 C. 点评:本题考查了数列递推公式的简单应用,属于基础题. 3.已知扇形的面积为 2 cm ,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 考点:弧长公式. 专题:常规题型.
2

分析:根据扇形的面积公式建立等式关系,求出半径,以及弧长公式求出弧长,再根据扇形 的周长等于 2 个半径加弧长即可求出周长. 解答: 解:设扇形的半径为 R,则 R α=2, ∴R =1,∴R=1, ∴扇形的周长为 2R+α?R=2+4=6 故选 C 点评:本题主要考查了扇形的面积公式, 以及扇形的周长和弧长等有关基础知识, 属于基础 题. 4.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n ﹣5n,则 a6 的值为( ) A. 78 B. 58 C. 50 考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用 an=Sn﹣Sn﹣1 计算可得结论. 2 解答: 解:∵Sn=3n ﹣5n, 2 ∴Sn﹣1=3(n﹣1) ﹣5(n﹣1) , ∴an=Sn﹣Sn﹣1 2 2 =(3n ﹣5n)﹣[3(n﹣1) ﹣5(n﹣1)] =6n﹣8(n≥2) , 又∵a1=S1=3﹣5=﹣2 满足上式, ∴an=6n﹣8, ∴a6=6?6﹣8=28, 故选:D. 点评:本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题.
2 2 2

D. 28

5.已知角 a 的终边射线与单位圆交于点 P( , ) ,那么 tan2a 的值是( A. B. C. ﹣

) D.

考点:任意角的三角函数的定义;二倍角的正切. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用任意角的三角函数的定义求得 tana 的值,再利用二倍角的正切公式求得 tan2a 的值. 解答: 解:角 a 的终边射线与单位圆交于点 P( , ) ,则有 x= ,y= ,

∴tana= = ,那么 tan2a=

=

=﹣



故选:C. 点评:本题主要考查任意角的三角函数的定义,二倍角的正切公式的应用,属于基础题.

6.已知{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3=12,则公差 d 等于( A. 1 B. C. 2 D. 3



考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:设出等差数列的首项和公差,由 a3=6,S3=12,联立可求公差 d. 解答: 解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 a3=6,S3=12,得: 解得:a1=2,d=2. 故选 C. 点评:本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式,是基础的会考题型. 7.二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的零点为 2 和 3,那么不等式 ax +bx+c<0 的解集为 ( ) A. {x|2<x<3} x } B. {x|﹣3<x<﹣2} C. {x| <x } D. {x|﹣ <
2 2

考点:一元二次不等式的解法. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据二次函数的图象与性质, 结合零点与方程的根的关系, 写出对应不等式的解集即 可. 解答: 解:∵二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的零点为 2 和 3, 2 ∴对应一元二次方程 ax +bx+c=0 的两个实数根为 2 和 3, 2 ∴不等式 ax +bx+c<0 的解集为{x|2<x<3},如图所示. 故选:A.
2

点评:本题考查了二次函数的零点与对应一元二次方程的两个实数根以及不等式的解集的 应用问题,是基础题目.

8.若 sinα= ,且 α 是第二象限角,则

的值为(



A.

B. ﹣

C.

+

D. ﹣

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cosα、tanα 的值,再化简所给的式子得到 结果. 解答: 解:由于 sinα= ,且 α 是第二象限角,则 cosα=﹣ ﹣ ,
2

=﹣

,tanα=



=

=2tanα+tan α=﹣

+



故选:D. 点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用,属于基础题.

9. 若 x, y 满足

, 若目标函数 z=x﹣y 的最小值为﹣2, 则实数 m 的值为 (



A. 0

B. 2

C. 8

D . ﹣1

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数 z=x﹣y 的最小值是﹣2,确定 m 的取 值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由目标函数 z=x﹣y 的最小值是﹣2, 得 y=x﹣z,即当 z=﹣2 时,函数为 y=x+2,此时对应的平面区域在直线 y=x+2 的下方, 由 ,解得 ,即 A(3,5) ,

同时 A 也在直线 x+y=m 上,即 m=3+5=8, 故选:B

点评:本题主要考查线性规划的应用,根据条件求出 m 的值是解决本题的关键,利用数形 结合是解决此类问题的基本方法.
2

10.正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在 am,an,使得 am?an=16a1 ,则 值为( A. 2 ) B. 16 C. D.

的最小

考点:等差数列的性质;等比数列的通项公式. 专题:综合题;等差数列与等比数列. 分析:正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,知 q=2,由存在两项 am,an,使得 aman=16a1 , 知 m+n=6,由此问题得以解决. 解答: 解:∵正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1, 2 ∴a1q =a1q+2a1, 2 即:q =q+2,解得 q=﹣1(舍) ,或 q=2, 2 ∵存在 am,an,使得 aman=16a1 , 2 m+n﹣2 2 ∴a1 ?2 =16a1 , ∴m+n=6, ∴ ∴ = (m+n) ( 的最小值为 . )= (10+ + )≥ (10+2 )=
2

故选:C. 点评:本题考查等比数列的通项公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答.注意不等式也 是高考的热点,尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查,两者都兼顾到了.

11.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 ( )

=2





,若

=﹣ ,则 λ 的值为

A.

B. 2

C.

D. 3

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由 示出 和 =2 确定点 D 是 BC 的中点,根据向量加法、减法、数乘运算,用 =﹣ ,即可求出 λ 的值. 、 表

,由条件和数量积的运算化简

解答: 解:由题意画出图象如右图: ∵ =2 , = ,

∴D 为 BC 的中点,则 ∵ ∴ 则 ∵ ∴ = =﹣ , ?[ ﹣ ﹣ =λ , ,



=





﹣ + + +

]=

, ﹣ = , , =

解得 λ=3, 故选:D.

点评:本题考查向量的数量积的运算,以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义,属于 中档题.

12.已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点按从 )

小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为(

A.

B. an=n﹣1

C. an=n(n﹣1)

D.

考点:根的存在性及根的个数判断;等差数列的通项公式. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数的零点的定义,构造两函数图象的交点,交点的横坐标即为函数的零点,再 通过数列及通项公式的概念得所求的解. 解答: 解:当 x∈(﹣∞,0]时,由 g(x)=f(x)﹣x=2 ﹣1﹣x=0,得 2 =x+1.令 y=2 , y=x+1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(﹣∞,0]上的图象,由图象易知交点为(0, 1) ,故得到函数的零点为 x=0. 当 x∈(0,1]时,x﹣1∈(﹣1,0],f(x)=f(x﹣1)+1=2 ﹣1+1=2 ,由 g(x)=f(x) x﹣1 x﹣1 x﹣1 ﹣x=2 ﹣x=0,得 2 =x.令 y=2 ,y=x.在同一个坐标系内作出两函数在区间(0,1] 上的图象,由图象易知交点为(1,1) ,故得到函数的零点为 x=1. 当 x∈(1,2]时,x﹣1∈(0,1],f(x)=f(x﹣1)+1=2 +1=2 +1,由 g(x)=f(x) x﹣2 x﹣2 x﹣2 ﹣x=2 +1﹣x=0,得 2 =x﹣1.令 y=2 ,y=x﹣1.在同一个坐标系内作出两函数在区 间(1,2]上的图象,由图象易知交点为(2,1) ,故得到函数的零点为 x=2. 依此类推,当 x∈(2,3],x∈(3,4],…,x∈(n,n+1]时,构造的两函数图象的交点依次 为(3,1) , (4,1) ,…, (n+1,1) ,得对应的零点分别为 x=3,x=4,…,x=n+1. 故所有的零点从小到大依次排列为 0,1,2,…,n+1.其对应的数列的通项公式为 an=n﹣1. 故选 B.
x﹣1﹣1 x﹣2 x﹣1 x﹣1 x x x

点评:本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、 数列的概念及简单表示; 培养学生观 察、分析、归纳、推理的能力;解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)=sin2x 的图象可以由 g(x)=sin(2x﹣ )的图象向左平移 到. 考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 个单位得

解答: 解:由 g(x)=sin(2x﹣ )的图象向左平移 个单位,可得函数 y=sin2(x+ ) ﹣ ]=f(x)=sin2x 的图象, 故答案为: . 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

14.已知向量



,|

|=3,则

?

= 9 .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 解答: 解:由 ∵| ∴ |=3, . ⊥ ,得 ? =0,即 ?( )=0,

故答案为:9. 点评:本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.

15.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,首项 a1=﹣2015 且 S2015= ﹣2015 .



=2,则

考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据等差数列前 n 项和公式化简已知的式子求出公差 d 的值,代入 S2015 化简求值. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵ ﹣ =2,

∴ 即 d﹣ d=2,



=2,

即 d=2, 又 a1=﹣2015, ∴S2015= =2015(a1+2014)=2015(﹣2015+2014)=﹣2015,

故答案为:﹣2015. 点评:本题考查等差数列前 n 项和公式的应用,以及化简、计算能力,属于中档题.

16.△ABC 的内角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,则下列命题正确的是 ②③ . ①若 A<B,则 cos2A<cos2B ③若 a+b>2c,则 C ②若 ab>c ,则 C ④若(a+b)c<2ab,则 C> .
2

考点:余弦定理. 专题:解三角形. 2 分析:①和④取满足条件,不满足结论,判断为错误;②利用余弦定理,将 c 放大为 ab, 再结合均值定理即可证明 cosC> , 从而证明 C<
2

; ③利用余弦定理, 将 c 放大为 ( .

2



,再结合均值定理即可证明 cosC> ,从而证明 C<

解答: 解:①取 A=30°,B=45°,满足 A<B,此时 cos2A=cos60°= ,cos2B=cos90°=0, 得到 cos2A>cos2B,故①错误; ②ab>c ?cosC=
2



= ?C<

,故②正确;

③a+b>2c?cosC= ,故③正确;



≥ ×

﹣ ≥ = ?C<

④取 a=b=2,c=1,满足(a+b)c<2ab 得:C<



,故④错误;

故答案为:②③ 点评:此题考查了余弦定理,放缩法证明不等式的技巧,反证法和举反例法证明不等式,熟 练掌握运算法则是解本题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在等比数列{an}中,a2=3,a5=81 (Ⅰ)求 an 及其前 n 项和 Sn; (Ⅱ)设 bn=1+log3an,求数列{ }的前 10 项和 T10.

考点:数列的求和;等比数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)通过 计算可知首项和公比,进而计算可得结论;

(2)通过(1)及对数的性质可知 bn=n,通过裂项可知 论. 解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比为 q,依题意得 ,解得 ∴an=3 Sn=
n﹣1

= ﹣

,并项相加即得结



, = ;

(2)由(1)知 bn=1+log3an=1+(n﹣1)=n, ∴ = = ﹣ ﹣ ,

∴T10=1﹣ + ﹣ +…+ =1﹣ = .

点评:本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题. 18.已知 a,b,c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin B=2sinAsinC. (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= ,求△ABC 的面积. 考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形. 2 2 分析: (I)sin B=2sinAsinC,由正弦定理可得:b =2ac,再利用余弦定理即可得出. (II)利用(I)及勾股定理可得 c,再利用三角形面积计算公式即可得出. 2 解答: 解: (I)∵sin B=2sinAsinC, 由正弦定理可得: 代入可得(bk) =2ak?ck, 2 ∴b =2ac, ∵a=b,∴a=2c,
2 2

>0,

由余弦定理可得:cosB=
2

=

= .

(II)由(I)可得:b =2ac, ∵B=90°,且 a= , 2 2 ∴a +c =2ac,解得 a=c= .

∴S△ABC=

=1.

点评:本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. x+φ) x∈R,其中 0≤φ≤

19.如图,函数 y=2sin( (Ⅰ)求 φ 的值;

的图象与 y 轴交于点(0,1) .

(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求



的夹角的余弦值.

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)根据函数图象过点点(0,1) ,求得 sinφ 的值,可得 φ 的值. (Ⅱ)由条件求得 M、N、P 的坐标,再根据 cos< 果. 解答: 解: ( I)因为函数图象过点点(0,1) ,所以 2sinφ=1,即 sinφ= . 因为 0≤φ≤ ,所以 φ= . , >= ,计算求得结

( II)由函数及其图象,得 M(﹣ ,0) 、N ( ,0) 、P( ,2) , 所以 =(﹣1,﹣2) 、 , >= =(1,﹣2) , = = .

从而 cos<

点评:本题主要考查正弦函数的图象特征, 用两个向量的数量积表示两个向量的夹角, 属于 基础题.

20.已知函数



(1)求函数 f(x)的周期及单调递增区间; (2)在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知函数 f(x)的图象经过点 成等差数列,且 ,求 a 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用; 平面向量数量积的运算; 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函 数的形式,通过周期公式求函数 f(x)的周期,利用正弦函数的单调增区间求解函数的单 调递增区间; (2)通过函数 f(x)的图象经过点 abc 的关系,利用 解答: 解: 成等差数列,求出 A 以及列出

,求出 bc 的值,通过余弦定理求 a 的值.

=

…(3 分) ,…(4 分) 可解得: ,

(1)最小正周期: 由

所以 f(x)的单调递增区间为: (2)由 ∴ ,…(8 分) 可得:



…(6 分)

又∵b,a,c 成等差数列, ∴2a=b+c,…(9 分) 而 ∴bc=18 ∴ …(10 分) , ,

∴ .…(12 分) 点评: 本题考查三角形的解法, 两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用, 三角函数 的图象与性质,基本知识的考查. 21.某房地产开发商投资 810 万元建一座写字楼,第一年装修费为 10 万元,以后每年增加 20 万元,把写字楼出租,每年收入租金 300 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①纯利润总和最大时,以 100 万元出售该楼; ②年平均利润最大时以 460 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?

考点:函数模型的选择与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)利用纯利润=租金﹣(投资+装修费)可知纯利润 y=300n﹣(810+10n ) ,进 而计算可得结论; (2)方案①:利用配方法可知 15 年后共获利润 1540(万元) ;方案②:利用基本不等式 可知 9 年后共获利润 1540(万元) ;进而可得结论. 解答: 解: (1)设第 n 年获取利润为 y 万元,出租 n 年共收入租金 300n 万元, 付出装修费构成一个以 10 为首项,20 为公差的等差数列,共 10n+ 元, 2 ∴利润 y=300n﹣(810+10n ) , 令 y>0,解得:3<n<27, ∴从第 4 年开始获取纯利润; 2 2 (2)方案①:纯利润 y=300n﹣(810+10n )=﹣10(n﹣15) +1440, ∴15 年后共获利润:1440+100=1540(万元) ; 方案②:年平均利润 W= ≤300﹣2 =120,当且仅当 =300﹣( +10n) ?20=10n 万
2 2

=10n 即 n=9 时取等号,

∴9 年后共获利润:120?9+460=1540(万元) ; 综上:两种方案获利一样多,而方案②时间比较短,所以选择方案②. 点评:本题考查函数模型的选择与应用,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的 积累,属于中档题. 22.已知数列{an}及 f(xn)=a1x+a2x +…+anx ,fn(﹣1)=(﹣1) n,n∈N . (Ⅰ)求 a1,a2,a3 的值,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=an﹣10,求数列{|bn|}的前 n 项和 Tn; (Ⅲ)若 (
n 2 n n *

)?an≤ m + m﹣1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2

考点:数列的求和;数列的应用. 专题:等差数列与等比数列. n+1 分析: (Ⅰ)通过令 n=1、2、3 代入计算可知 a1、a2、a3 的值,利用(﹣1) ?an+1=fn+1 (﹣1)﹣fn(﹣1)计算即得通项公式; (Ⅱ)通过 an=2n﹣1 可知当 n≥ (Ⅲ)通过令 cn= 时 bn≥0,分类讨论即得结论;
2

,通过作差可知当 n=2 时 cn 取最大值 ,进而解不等式 m + m﹣

1≥ 即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵f1(﹣1)=﹣a1=﹣1,∴a1=1, ∵f2(﹣1)=﹣a1+a2=2,∴a2=3,

∵f3(﹣1)=﹣a1+a2﹣a3=﹣3,∴a3=5, n+1 n+1 n ∵(﹣1) ?an+1=fn+1(﹣1)﹣fn(﹣1)=(﹣1) ?(n+1)﹣(﹣1) ?n, ∴an+1=(n+1)+1=2n+1, ∴an=2n﹣1; (Ⅱ)∵an=2n﹣1, ∴bn=an﹣10=2n﹣11, ∴数列{bn}的前 n 项和 Sn= 由 bn≥0 得 n≥ ,
2

=n ﹣10n,

2

∴当 1≤n≤5 时,Tn=﹣(b1+b2+…+bn)=﹣Sn=﹣n +10n; 当 n≥6 时,Tn=﹣(b1+b2+…+b5)+b6+…+bn =Sn﹣2S5 2 2 =n ﹣10n﹣2(5 ﹣10×5) 2 =n ﹣10n+50; 综上,Tn= ;

(Ⅲ)令 cn=

,则 cn+1﹣cn=



=



∴当 n=1 时,c1= ; 当 n=2 时,c2= ; 当 n≥2 时,cn+1<cn, . ∴当 n=2 时,cn 取最大值 , 又(
n

)?an≤ m + m﹣1 对一切正整数 n 恒成立,

2

∴ m + m﹣1≥ 对一切正整数 n 恒成立, 解得:m≥1 或 m≤﹣7. 点评:本题考查数学的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,考查分类讨论的思想,注意解 题方法的积累,属于中档题.

2


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