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2017届河北省武邑中学高三上学期周考(9.25)数学(文)试题


数学(文)周测 课题:指数与指数函数
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.已知 f ( x) ? 2 ? 2 ,若 f (a ) ? 3 ,则 f (2a ) 等于(
x ?x



A.5

B.7

C.9

D.11
x

2.(2011·山东)若点 (a,9) 在函数 y ? 3 的图象上,则 tan

a? 的值为( 6



A. 0

B.

3 3

C.1

D. 3

3.(2012·天津)已知 a ? 21.2 , b ? ( ) ?0.8 , c ? 2 log 5 2 ,则 a , b , c 的大小关系为( A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a

1 2



4.(2013·佛山模拟)不论 a 为何值时,函数 y ? (a ? 1)2 x ? A. (1, ? ) 5.定义运算: a * b ? ? A. R

1 2

B. (1, )

1 2

C. ( ?1, ? )

1 2

a 恒过定点,则这个定点的坐标是( 2 1 D. (?1, ) 2




? a , a ? b, x ?x ,如 1* 2 ? 1 ,则函数 f ( x) ? 2 * 2 的值域为( ?b, a ? b,
C. (0,1] D. [1, ??)

B. (0, ??)

6.已知函数 f ( x) ? a x ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [1, 2] 上的最大值与最小值之和为 log a 2 ? 6 ,则 a 的值 为( A. ) B.

1 2

1 4
x ?x

C.2

D.4

7.若函数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图象是下图中的( )



1第

A. 8.定义运算 a ? b ? ?

B.

C.

D. )

? a, a ? b ,则函数 f ( x) ? 1 ? 2 x 的图象是下图中( ?b, a ? b

A.

B.

C.

D. )

9.函数 f ( x) ? lg(ax ? 4a ? x ? m) ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域为 R ,则 m 的取值范围为( A. (0, 4] B. (??, 4) C. (??, 4] D. (1, 4] )

10.已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 0 ? a ? b ,且 f (a ) ? f (b) ,则 a ? 2b 的取值范围是( A. (2 2, ??) B. [2 2, ??) C. (3, ??) D. [3, ??)

?log 2 x, x ? 0, ? 11. (2010 年高考天津卷) 设函数 f ( x) ? ?log x, x ? 0, , 若 f ( a ) ? f ( ?a ) , 则实数 a 的取值范围是 ( 1 ? ? 2
A. (?1, 0) ? (0,1) C. (?1, 0) ? (1, ??) B. (??, ?1) ? (1, ??) D. (??, ?1) ? (0,1) )



12.函数 f ( x) ? log a ( ax ? 3) 在 [1,3] 上单调递增,则 a 的取值范围是( A. (1, ??) B. (0,1) C. (0, )

1 3

D. (3, ??)

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题
13.若函数 f ( x) ? e
? ( x ? ? )2

( e 是自然对数的底数) 的最大值是 m , 且 f ( x) 是偶函数, 则 m ? ? ? _________.

14. (2013· 太原模拟) 已知函数 f ( x) ? ?


?a x , x ? 0, ?(a ? 3) x ? 4a, x ? 0,
2第

满足对任意 x1 ? x2 , 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

成立,则 a 的取值范围是_______. 15.若函数 f ( x) ? ?

?2 x , x ? 0, ? ,则函数 y ? f ( f ( x)) 的值域是________. ?x ? ??2 , x ? 0,

2 ? ? x ? 2ax, x ? 2, 16.已知函数 f ( x) ? ? 且 f ( f (1)) ? 3a 2 ,则 a 的取值范围是___________. x ? ?2 ? 1, x ? 2,

17.已知 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( ) x ? m ,若对 ?x1 ? [?1,3] , ?x2 ? [0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 m 的取 值范围是___________.

1 2

三、解答题
18.(12 分)已知函数 f ( x) ?

2x ?1 . 2x ? 1

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性. (2)求证 f ( x) 在 R 上为增函数.

?2 x ? b 19.(13 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?a
(1)求 a , b 的值; (2)解关于 t 的不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? 1) ? 0 .
2 2

20.(12 分)定义在 [?1,1] 上的奇函数 f ( x) ,已知当 x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? (1)求 f ( x) 在 [0,1] 上的最大值; (2)若 f ( x) 是 [0,1] 上的增函数,求实数 a 的取值范围. 21.(13 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2 x ? (1)若 f ( x) ?
t

1 a ? (a ? R) . 4x 2x

1 . 2| x|

3 ,求 x 的值; 2

(2)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [1, 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

答案
一、选择题 1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.C 7.A 8.A 9.B 10. C 11.C 12.D

二、填空题
页 3第

13.

1

e?( ? x? ? )

2

14. (0, ] 17. [ , ??)

1 4

15. (?1, ? ) ? ( ,1)

1 2

1 2

16. (?1,3) 三、解答题

1 4

18.(1)解 因为函数 f ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) ?

2x ?1 2 ,所以 ? 1? x x 2 ?1 2 ?1

f (? x) ? f ( x) ? (1 ?

2 2 2 2 2 2?2 x 2(2 x ? 1) ) ? (1 ? ) ? 2 ? ( ? ) ? 2 ? ( ? ) ? 2 ? 2? x ? 1 2x ? 1 2 x ? 1 2? x ? 1 2x ?1 2x ?1 2x ?1

? 2 ? 2 ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数.
(2)证明 设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) , ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

∵ x1 ? x2 , 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2 x2 ? 1 ? 0 ,

1 ? ?1 ?2 ? 1 又由 f (1) ? ? f (?1) 知 ? ? 2 .解得 a ? 2 . 4?a 1? a

?2 x ? 1 1 1 (2)由(1)知 f ( x) ? x ?1 ?? ? x . 2 ?2 2 2 +1

(-?, +?) 由上式易知 f ( x) 在 上为减函数(此外可用定义域或导数法证明函数 f ( x) 在 R 上是减函数).
又因为 f ( x) 是奇函数,所以不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? 1) ? 0
2 2

等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? 1) ? f ( ?2t ? 1) .
2 2 2

因为 f ( x) 是减函数,由上式推得 t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? 1 ,即 3t 2 ? 2t ? 1 ? 0 , 解不等式可得 {t | t ? 1 或 t ? ? } . 20.解 (1)设 x ? [0,1] ,则 ? x ? [?1, 0] ,

1 3

f (? x) ?


1 a ? ? x ? 4 x ? a ?2 x , ?x 4 2
4第

∵ f (? x) ? ? f ( x) ,∴ f ( x) ? a ?2 x ? 4 x , x ? [0,1] . 令 t ? 2 x , t ? [1, 2] ,∴ g (t ) ? a ? t ? t ? ?(t ? ) ?
2 2

a t

a2 , 4



a ? 1 ,即 a ? 2 时, g (t ) max ? g (1) ? a ? 1 ; 2

当1 ? 当

a a2 a ; ? 2 ,即 2 ? a ? 4 时, g (t ) max ? g ( ) ? 2 4 2

a ? 2 ,即 a ? 4 时, g (t ) max ? g (2) ? 2a ? 4 . 2

综上,当 a ? 2 时, f ( x) 的最大值为 a ? 1 ;当 2 ? a ? 4 时, f ( x) 的最大值为 最大值为 2a ? 4 .

a2 ;当 a ? 4 时, f ( x) 的 4

(2)∵函数 f ( x) 在 [0,1] 上是增函数,∴ f '( x) ? a ln 2 ? 2 ? ln 4 ? 4 ? 2 ln 2? (a ? 2 ? 2 ) ? 0 ,
x x x x

∴ a ? 2 ? 2 x ? 0 恒成立,∴ a ? 2 ? 2 x .∵ 2 ? [1, 2] ,∴ a ? 4 .
x

21.解 (1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,无解; 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 由 2x ?

1 , 2x

1 3 ? ,得 2?22 x ? 3?2 x ? 2 ? 0 , 2x 2
x x

看成关于 2 的一元二次方程,解得 2 ? 2 或 ? ∵ 2 x ? 0 ,∴ x ? 1 . (2)当 t ? [1, 2] 时, 2t (22t ? 即 m(2 ? 1) ? ?(2 ? 1) ,
2t 4t

1 , 2

1 1 ) ? m(2t ? t ) ? 0 , 2t 2 2

∵ 22t ? 1 ? 0 ,∴ m ? ?(2 ? 1) ,
2t

∵ t ? [1, 2] ,∴ ?(2 ? 1) ? [?17, ?5] ,
2t

故 m 的取值范围是 [?5, ??) .



5第


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