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【解析】上海市松江区2013届高三上学期期末质量监控数学文试题


松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(文科)试卷(一模)
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2013.1

一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. lim

n 2 ? 3n ? n ?? 2n 2 ? n





【答案】

1 2

3 1? n 2 ? 3n n ?? 1 . 解: lim ? lim 2 n ?? 2n ? n n ?? 1 2 2? n
2 2.已知集合 A ? ?0, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,4,16? ,则 a ?

?

?





【答案】4 解 : 因 为 A ? B ? ?0, 1, 4, ? 6 所 以 a ? 4 或 a ? 16 。 若 a ? 4 , 则 A ? ?0, 4 , B ? ?1,16? , 满 足 1, ?

A ? B ? ?0, 1, 4, ? 。若 a ? 16 ,则 A ? ?0,16? , B ? ?1, 256? ,不满足 A ? B ? ?0,1,4,16? ,所以 a ? 4 。 16
3.若行列式

2 x ?1 1

4 ? 0, 则 x ? 2





【答案】2 解:由

2 x?1 1

4 2

? 0 得 2 ? 2 x?1 ? 4 ? 0 ,即 2 x ? 4 ,所以 x ? 2 。
▲ .

4.若函数 f ( x) ? 2x ? 3 的图像与 g ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (5) = 【答案】1

x x 解:因为函数 f ( x) ? 2 ? 3 的图像与 g ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,所以由 f ( x) ? 2 ? 3 ? 5 ,即

2 x ? 2 ,所以 x ? 1 ,所以 g (5) ? 1 。
5.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个 容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为 【答案】20 ▲ .

1页

n 4000 ? ,解得 n ? 20 。 150 30000 ? ? 6.己知 a ? (1, 2sin ? ) , b ? cos ?, 1 ,且 a ? b ,则 tan ? ? ▲ . ( ?)
解:设样本中松树苗的数量为 n ,则有 【答案】

1 2

解:因为 a ? b ,所以 cos ? ? 2sin ? ? 0 ,即 cos ? ? 2sin ? ,所以 tan ? ?

1 。 2
▲ .

7.抛物线的焦点为椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 5 4

【答案】 y

? 4x
2 2 2

2 2 解:由椭圆方程可知 a ? 5, b ? 4 ,所以 c ? a ? b ? 5 ? 4 ? 1 ,即 c ? 1 ,所以椭圆的右焦点为 (1, 0) ,

因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点,所以 8.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则 【答案】2

p ? 1 ,所以 p ? 2 。所以抛物线的方程为 y 2 ? 4 x 。 2
▲ .

2 5 ? 的最小值为 x y

解:由 lg x ? lg y ? 1 得 x ? 0, y ? 0 且 lg xy ? 1 ,即 xy ? 10 。所以

2 5 2 5 10 ? ?2 ? ?2 ? 2 ,所以 x y x y 10

2 5 ? 的最小值为 2. x y
9.现有 20 个数,它们构成一个以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,若从这 20 个数中随机抽取一个数,则 它大于 8 的概率是 【答案】 ▲ .

2 5

解:等比数列的通项公式为 an ? a1qn?1 ? (?2)n?1 ,由 an ? (?2) n?1 ? 8 ,所以 n ? 1 为偶数,即 n 为奇数,所 以 (?2)
n?1

? 2n?1 ? 8 ,解得 n ? 1 ? 3 ,即 n ? 4 ,所以 n ? 5, 7,9,11,13,15,17,19 共有 8 个,所以从这 20 个
8 2 ? 。 20 5
2 2 2

数中随机抽取一个数,则它大于 8 的概率是

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b ? c ? a ? bc ,且 bc ? 8 ,则△ABC 的面积等 于 ▲ .

【答案】 2 3
2 2 2 解 : 由 b ? c ? a ? bc 得 b ? c ? a ? bc , 所 以 cos A ?

2

2

2

? b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,所以 A? ,所以 3 2bc 2

2页

1 1 3 S? ABC ? bc sin A ? ? 8 ? ? 2 3。 2 2 2
11.若二项式 ( x ? a)7 展开式中 x 5 项的系数是 7,则 lim (a ? a ? ? ? a
2 4 n ?? 2n

)=

▲ .

【答案】

1 2
2 T3 ? C7 x5a2 ,所以 x 5 的系数为

k 解:二项展开式的通项为 Tk ?1 ? C7 x7?k ak ,令 7 ? k ? 5 得, k ? 2 ,所以

1 1 a2 1 C a ? 21a ? 7 ,所以 3 。所以 lim(a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ) ? ? 3 ? 。 2 n ?? 1? a 1? 1 2 3 1 12.给出四个函数:① f ( x) ? x ? ,② g ( x) ? 3 x ? 3? x ,③ u( x) ? x 3 ,④ v( x) ? sin x ,其中满足条件: x
2 2 7 2

a2 ?

对任意实数 x 及任意正数 m ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的函数为 足条件的函数的序号) 【答案】③



. (写出所有满

解 : 由 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 得 f ( ? x) ? ? f ( x) , 所 以 函 数 为 奇 函 数 。 对 任 意 实 数 x 及 任 意 正 数 m 由 ,③满足条件。 f ( x ? m) ? f ( x) 可知,函数 f ( x) 为增函数。①为奇函数,但在 R 上不单调。②为偶函数。 ④为奇函数,但在在 R 上不单调。所以满足条件的函数的序号为③。 13.在平面直角坐标系中,定义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 两点之间的“折线距 离”.则原点 O(0,0) 与直线 x ? y ? 5 ? 0 上一点 P( x, y) 的“折线距离”的最小值是 【答案】 5 解:设 P( x, y) ,直线 x ? y ? 5 ? 0 与坐标轴的交点坐标为 A( 5,0), B(0, 5) ,直线的斜率为 k ? ?1 。过 P 做 PM ? x 于 M , 则 原 点 O(0,0) 与 直 线 x ? y ? 5 ? 0 上 一 点 P( x, y) 的 “ 折 线 距 离 ” 为 为 d ? OM ? MP , 因 为 ? P M A 等 腰 三 角 形 , 所 以 PM ? MA , 由 图 象 可 知 ▲ .

d ? OM ? MP ? OM ? MA ? OA ? 5 , 此 时 M 在 OA 的 内 部 , 所 以 原 点 O(0,0) 与 直 线

x ? y ? 5 ? 0 上一点 P( x, y) 的“折线距离”的最小距离为 5 。
3页

14.某同学对函数 f ( x) ? x sin x 进行研究后,得出以下结论: ①函数 y ? f (x) 的图像是轴对称图形; ②对任意实数 x , f ( x) ? x 均成立; ③函数 y ? f (x) 的图像与直线 y ? x 有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等; ④当常数 k 满足 k ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? kx 有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④ 解:① f (? x) ? ? x sin(? x) ? x sin x ? f ( x) ,所以函数 f ( x) ? x sin x 是偶函数,所以关于 y 轴对称,所 ▲ .

1 以①正确。 f ( x) ? x sin x ? x sin x ? x , ② 所以②正确。 ③由 f ( x) ? x sin x ? x , sn x ? 或 x ? 0 , 得i
所以 x ?

?
2

? 2k? , k ? Z ,所以任意相邻两点的距离不一定相等,所以③错误。④由 f ( x) ? x sin x ? kx ,

即 x(sin x ? k ) ? 0 ,因为 k ? 1 ,所以 sin x ? k ? 0 ,所以必有 x ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) 的图像与直线

y ? kx 有且仅有一个公共点,所以④正确。所以所有正确结论的序号是①②④。
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号 上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 【答案】D 解:设所求的平行直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0 ,因为直线过点 (1, 0) ,所以 1 ? c ? 0 ,即 c ? ?1 ,所以所求 直线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,选 D.
2 2 16.对于原命题: “已知 a、b、c ? R ,若 a ? b ,则 ac ? bc ” ,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,

B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

在这 4 个命题中,真命题的个数为 A.0 个 【答案】C 解:当 c ? 0 时, ac ? bc 不成立,所以原命题错误,即逆否命题错误。原命题的逆命题为“已知
2 2

B.1 个

C.2 个

D.4 个

a、b、c ? R ,若 ac2 ? bc 2 ,则 a ? b ” ,所以逆命题正确,即否命题也正确,所以这 4 个命题中,真命
题的个数为 2 个,选 C. 17.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值

4页

相等,则这样的 x 值有 A.1 个 【答案】C
2 解:若 x ? 2 ,则 y ? x2 ,由 x ? x ,得 x ? 0 或 x ? 1 。若 2 ? x ? 5 ,则 y ? 2 x ? 4 ,由 y ? 2 x ? 4 ? x ,

B.2 个

C.3 个

D.4 个

得 x ? 4 。若 x ? 5 ,则 y ? 3 个,选 C.

1 1 ,由 y ? ? x ,解得 x ? ?1 (舍去) 。所以满足输出值和输入值相同的 x 有 x x

18.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当 x ? [?2, 0] 时,

1 f ( x) ? ( ) x ? 1 .若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根, 2
则实数 a 的取值范围是 A. (1, 2) 【答案】D 解:由 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 得 f ( x ? 4) ? f ( x) ,所以函数 f ( x ) 的周期是 4,又函数为偶函数,所以 B. (2, ??) C. (1, 3 4) D. ( 3 4, 2)

f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? f (2? x ) , 即 函 数 关 于 x ? 2 对 称 。 且 f (2) ? f (?2) ? f (6) ? 3 。 由

f ( x)? l a g x?( o

? ) a ?得 f ( x) ? loga ( x ? 2) ,令 y ? f ( x) 2 0( 1)

的 y ? g ( x) ? loga ( x ? 2) , 做 出 函 数 y ? f ( x), y? log (x? 2) 图 象 如 图 , 由 图 象 可 知 , 要 使 方 程 a

?lo ga 4? 3 ? g (2) ? f (2) ,即 ? ,所以 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰 有 3 个 不 同 的 实 数 根 , 则 有 ? ?lo ga 8? 3 ? g (6) ? f (6)

5页

?log a 4 ? log a a 3 ? 3 ,即 4 ? a ? 8 ,解得 3 4 ? a ? 2 ,所以选 D. ? 3 ?log a 8 ? log a a ?
三.解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知 a ? (2cos x,1) , b ? (cos x, 3sin 2x) ,其中 x ? R .设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的最小正周期、 最大值和最小值.

?

?

? ?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知 z ? C ,且满足 z ? ( z ? z )i ? 5 ? 2i .
2

(1)求 z ; (2)若 m ? R , w ? zi ? m ,求证: w ? 1 .

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种 鱼在一定的条件下, 每尾鱼的平均生长速度 v(单位: 千克/年) 是养殖密度 x(单位: 尾/立方米) 的函数. 当 ; x 不超过 4(尾/立方米)时,v 的值为 2 (千克/年) 当 4 ? x ? 20 时,v 是 x 的一次函数;当 x 达到 20 (尾 /立方米)时,因缺氧等原因, v 的值为 0 (千克/年) . (1)当 0 ? x ? 20 时,求函数 v( x) 的表达式; (2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求 出最大值.

6页

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 对于双曲线 C : 右顶点为 A 、 B . (1)当 a ? b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c ,其伴随椭圆 C1 的半焦距为 c1 ,若 c ? 2c1 ,求双曲线 C 的渐 近线方程; (2)若双曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,过点 M (? 3,0) 且与 C 的伴随曲线相切的直线 l 交曲线 C 于 N1 、

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,定义 C1 : 2 ? 2 ? 1 为其伴随曲线,记双曲线 C 的左、 a2 b a b

N 2 两点,求 ?ON1 N2 的面积( O 为坐标原点)
(3)若双曲线 C 的方程为 轨迹方程.

x2 y 2 ? ? 1 ,弦 PQ ? x 轴,记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M ,求动点 M 的 4 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 已知递增的等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a2 、 a4 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设数列 {cn } 对任意 n ? N ,都有
*

c c1 c2 ? 2 ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2012 的值. 2 2 2n

(3)在数列 {dn } 中, d1 ? 1 ,且满足

dn ? an ?1 (n ? N * ) ,求下表中前 n 行所有数的和 S n . d n ?1

d1d1 d2 d1d 2 d3
??

d 2 d1 d3

d1d n d n ?1

d 2 d n ?1 dd d d ?? k n ? k ?1 ?? n 1 d n ?1 d n ?1 d n ?1

7页

8页

松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(文科)试卷参考答案
2013.1 1.

1 2

2. 4 4. 1 6.

3. 2 5. 20 7. 9.

1 2

y2 ? 4x
2 5 1 2

8.2 10. 2 3

11. 13.

12.③

5
16. C 17.C

14. ①②④ 18.D ????????? 3 分

15.D

? ? 19.解:由题意知 f ( x) ? a ? b ? 2cos2 x ? 3sin 2x
? 2? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2x 2

? cos 2x ? 3 sin 2x ? 1

?? ? ? 2sin ? 2x ? ? ? 1 6? ?
∴最小正周期 当 2x ? 当 2x ?

????????????? 6 分

T?

2? ?? 2
6

?????????? 8 分

?
6
6

?
?

?
2

? 2k? ,即 x ? ? ? k? , ? k ? Z ? 时, f ( x)max ? 2 ? 1 ? 3 ???????10 分

?

3? ? 2k? ,即 x ? 2? ? k? , ? k ? Z ? 时, f ? x ?min ? ?2 ? 1 ? ?1????12 分 2 3
2

2 2 20.解: (1)设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z ? a ? b , ( z ? z)i ? 2ai ???? 2 分

由 a ? b ? 2ai ? 5 ? 2i
2 2

得?

?a 2 ? b2 ? 5 ? 2a ? 2

???????????4 分

解得 ?

?a ?1 ?b ? 2



? a ?1 ???????????? 5 分 ? ?b ? ?2
9页

∴ z ? 1 ? 2i 或 z ? 1 ? 2i ???????????? 7 分

(2)当 z ? 1 ? 2i 时,

w ? zi ? m ? (1 ? 2i)i ? m ? ?2 ? i ? m ? (m ? 2) 2 ? 1 ? 1 ???????? 10 分
当 z ? 1 ? 2i 时,

w ? zi ? m ? (1 ? 2i )i ? m ? 2 ? i ? m ? (m ? 2) 2 ? 1 ? 1 ????????? 13 分
∴ w ?1 21.解: (1)由题意:当 0 ? x ? 4 时, v ? x ? ? 2 ; ???????????? 14 分 ??????????2 分

当 4 ? x ? 20 时,设 v?x ? ? ax ? b ,显然 v?x ? ? ax ? b 在 [4, 20] 是减函数,

1 ? ?a ? ? 8 ?20a ? b ? 0 ? 由已知得 ? ,解得 ? ? 4a ? b ? 2 ?b ? 5 ? ? 2
故函数

??????????4 分

?2, ? v? x ? = ? 1 5 ?? x ? , 2 ? 8

0 ? x ? 4, x ? N * 4 ? x ? 20, x ? N *
??????????6 分

?2 x, 0 ? x ? 4, x ? N * ? (2)依题意并由(1)可得 f ?x ? ? ? 1 2 5 4 ? x ? 20, x ? N *. ? ? x ? x, 2 ? 8
当 0 ? x ? 4 时, f ?x ? 为增函数,故 fmax ? x ? ? f (4) ? 4 ? 2 ? 8 ; 当 4 ? x ? 20 时, f ? x ? ? ?

??8 分

?????10 分
2

1 2 5 1 1 100 , x ? x ? ? ( x 2 ? 20 x) ? ? ( x ? 10)2 ? 8 2 8 8 8
???????????12 分

fmax ? x ? ? f (10) ? 12.5 .
所以,当 0 ? x ? 20 时, f ?x ? 的最大值为 12.5 .

当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为 12.5 千克/立方米. ???????????14 分

22.解: (1)∵ c ? a2 ? b2 , c1 ?

a 2 ? b2
2 2 2

?????????1 分
2

由 c ? 2c1 ,得 a2 ? b2 ? 2 a2 ? b2 ,即 a ? b ? 4(a ? b ) 可得

b2 3 ? a2 5

?????????3 分

∴ C 的渐近线方程为 y ? ?

15 x 5
2 2

?????????4 分

(2)双曲线 C 的伴随曲线的方程为 x ? y ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,由 l 与圆相切知
10 页

3k 1? k
2

? 1 即 3k 2 ? 1 ? k 2

解得 k ? ? 当k ?

2 2

???????????6 分

2 时,设 N1 、 N 2 的坐标分别为 N1 ( x1 , y1 ) 、 N2 ( x2 , y2 ) 2
得x ?
2

? 2 ( x ? 3) ?y ? 由? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ?

1 ( x ? 3) 2 ? 1 ,即 x2 ? 2 3x ? 5 ? 0 , 2

∵ ? ? (2 3)2 ? 4 ? (?5) ? 32 ? 0 , x ?

2 3?4 2 = 3?2 2 2

∴ x1 ? x2 ? 4 2

∴ N1 N 2 ? 1 ? ( ∴ S ?ON1N2 ?

2 2 3 ) x1 ? x2 ? ?4 2 ? 4 3 2 2

?????????8 分

1 ? N1 N 2 ?1 ? 2 3 2

由对称性知,当 k ? ?

2 时,也有 S?ON N ? 2 3 1 2 2

??????????10 分

(3)设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 , ? y0 ) ,又 A(?2, 0) 、 B(2, 0) , ∴直线 PA 的方程为 y ? 直线 QB 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) ????① x0 ? 2 ? y0 ( x ? 2) ????② x0 ? 2
??????????12 分

4 ? ? x0 ? x ? 由①②得 ? ?y ? 2y ? 0 x ?
∵ P( x0 , y0 ) 在双曲线

??????????????14 分

x2 y 2 ? ?1上 4 2

42 4 y 2 2 2 ∴ x ? x ?1 4 2

x2 y 2 ? ?1 ∴ 4 2

??????????????16 分

23.解: (1)∵ ?an ? 是递增的等差数列,设公差为 d

(d ? 0) ????????1 分
????????2 分

? a1 、 a2 、 a4 成等比数列,∴ 2 =a1 ?a4 a2


( 1? d 2) ? ? ?1 d 3 及 d ? 0 得 1 ( )

d ?1
11 页

???????????3 分

∴ an ? n(n ? N*) (2)∵ an?1 ? n ? 1, 当 n ? 1 时,

???????????4 分

c c1 c2 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 对 n ? N * 都成立 2 2 2n

c1 ? 2 得 c1 ? 4 ???????????5 分 2 c c c c c c 当 n ? 2 时,由 1 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 ①,及 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ② 2 n 2 2 2 2 2 2 2n ?1 c ①-②得 n ? 1 ,得 cn ? 2n ???????7 分 2n
∴ cn ? ?

? 4 (n ? 1) n ?2 (n ? 2)
2 3 2012

???????8 分

∴ c1 ? c2 ? ? ? c2012 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 (3)∵

? 4?

22 (1 ? 22011 ) ? 22013 ?????10 分 1? 2

dn ? an ?1 ? n ? 1 d n ?1
∴ dn ?



d d1 d2 d3 ? ? ?? n ? 2 ? 3 ? 4 ??? (n ? 1) d 2 d3 d 4 d n?1
????????????13 分

又∵ d1 ? 1 ∵

1 n!

dk dn?k ?1 (n ? 1)! k ? ? Cn?k ?1 (k ? 1, 2,? n) dn?1 k !(n ? k ? 1)!

????????????14 分

∴第 n 行各数之和

d1dn d2 dn?1 dd 1 2 n ? ? ? ? n 1 ? Cn?1 ? Cn?1 ? ?? ? Cn?1 ? 2n?1 ? 2(n ? 1, 2?) ????16 分 dn?1 dn?1 dn?1
∴表中前 n 行所有数的和

Sn ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ?? (2n?1 ? 2) ? 22 ? 23 ? ?? 2n?1 ? 2n
22 (2n ? 1) ? ? 2n ? 2 n ? 2 ? 2n ? 4 2 ?1
???????????18 分

12 页


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