koorio.com
海量文库 文档专家
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

数列通项公式几种的求法


北师大版高中数学必修(五)

复习回顾

例题讲解 巩固练习

课后总结

数列通项公式的求法

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

南昌县莲塘三中 王 美 华

4

1

2

复习回顾

数列的通项公式:是一个数列的第n项(即an)与项数n之间的 函数关系
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

数列的通项公式是研究数列性质最基本、最重要的一种表达形式 注: ① 有的数列没有通项公式,如:3,π,e,6;②有 的数列有多个通项公式

下面我们就谈一谈数列通项公式的几种常用求法:

4

1

2

例题讲解

一、观察法(又叫猜想法,不完全归纳法)
观察数列中各项与其序号间的关系,分解各项中的变化部分与 不变部分,再探索各项中变化部分与序号间的关系,从而归纳 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 出构成规律写出通项公式 例1:根据数列的前几项,写出它的一个通项公式:

(1)-1,2,-3,4,… (2)2,5,10,17,… 1 4 9 16 (3) , ? , ,? ,? 5 25 125 625 1 2 3 4 解:(1)变形为( ? 1) ,( ? 1) ? 2,( ? 1) ? 3,( ? 1) ? 4,

所以通项公式为 a n ? (?1) n ? n 注意:用不完全归纳法,只 (2)变形为12+1,22+1,32+1, 42+1, … ? 通项公式为 an ? n 2 ? 1 2 2 2 从数列的有限项来归纳数列 1?1 1 2 ?1 2 3?1 3 4 ?1 4 (3)变形为(? 1 ) ,(? 1 ) 所有项的通项公式是不一定 ,(? 1 ) 3, (?1) , 2 4 5 5 5 5 可靠的. n2
? 通项公式为a n ? (?1) n ?1 5n

4

1

2

例题讲解

二、定义法:
当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的 通项公式,只需求得首项及公差或公比。这种方法适应于已知数 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 列类型的题目.
2 求数列 ?an ? 的通项公式. S5 ? a5

例2:等差数列 ?an ? 是递增数列, 前 n 项和为 S n , 且 a1 , a3 , a9 成等比数列,

解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0)
2 2

2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,

即 (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 8d ) ? d ? a1d ∵d ? 0, ∴ a1 ? d ………………………………① 5? 4 2 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 …………② ∵ S5 ? a5 ∴ 5a1 ? 2 3 3 a ? d ? 由①②得: 1 , 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5

4

1

2

例题讲解

三、公式法:
已知数列的前n项和公式,求通项公式的基本方法是:

(n ? 0001 1) 0100 1011 0011 0010 1010 1101 ?s1 an ? ? ?sn ? sn ?1 (n ? 2)

注意:要先分n=1和n≥2 两种 情况分别进行运算,然后验 证能否统一。

例3.已知下列两数列{an }的前n项和sn的公式,求 {an }的通项公式。 (1)

sn ? 2n2 ? 3n

(2)

sn ? n2 ? 1

(1)当n=1,a1=s1=-1,n≥2,an=sn-sn-1

=(2n2-3n)-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5

∵a1=1也适合此等式,∴n∈N*

an ? 4n ? 5

(n ? 1) ?0 (2)由公式可得: an ? ? ?2n ? 1 (n ? 2)

4

1

2

例题讲解

一般地,对于型如 an?1 ? an ? f (n) 的通项公式,只要f(n)能进行 求和,则宜采用此方法求解。 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 即 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an? 2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) ? a1

四、叠加法

例 4、已知数列{an}中, a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,求数列{an}的通项公式。 解:∵an+1-an=n∴当n≥2,n∈N* an -an-1 = n-1 an-1-an-2 =n-2 … … … … a3-a2 = 2 a2- a1 = 1 各式相加得,an=a1+(n-1)+…+2+1 =1+(n-1)+…+2+1 = 1+ (n-1)n/2 当n=1时,a1=1,故,an= n(n-1)/2+1

4

1

2

例题讲解

练习:已知数列{an}中,a1=1,且an+1=an+2n,n∈N*求 数列{an}的通项公式an
n 解: ? a ? a ? 2 ,? an ? (a n?1 1010 n n ? an1011 ?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 0011 0010 1101 0001 0100

? a1 ? 1,? an ? 2n?1 ? 2n?2 ? 2n?3 ? ? ? ? ? 2 ? 1

总结: 已知,a =a, a
1

1 ? 2n 即:a n ? ? 2n ? 1 1? 2

n+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一

次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通 项. ①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差 数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比 数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。

4

1

2

例题讲解

五、叠乘法:对于型如:an+1=f(n)·an
0011 0010 1010n1101 n 0001 010021011 ?1 即:

类的通项公式,当 f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时,宜采用此方法。

a a a an ? ? ? ? ? ? a1 ? f (n) ? f (n ? 1) ? ?? f (1) ? a1 an ? 1 a n ? 2 a1

n { a } a ? 2 a ? 3 an ,求通项公式 例5、已知数列中 n , 1 , n?1 an ?1 所以 an?1 ? 3n an 解:因为 a1 ? 2 ? 3n

an。

an

把1,2…,n分别代入上式得: a3 a2 1 ? 32 ,… ?3 ,
a1

a2

an ? 3n ?1 an ?1

把上面n-1条式子左右两边同时相乘得:

n??n ?1? n ( n ?1) an ? 31?2?3???( n?1) ? 3 2 所以通项公式为 an ? 2 ? 3 2 a1

4

1

2

例题讲解

an ? 1 n 练习: 例 已知数列{an }中, a1 ? 1, ? , an n?1 求数列{an }的通项公式. 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 an an ?1 a 3 a2 n ? 1 n ? 2 2 1 1 解: an ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? an ? 1 an ? 2 a2 a1 n n?1 3 2 n 总结:

? f ( n) (2)当f(n)为n的函数时,用叠乘法此时: an an ? f ( n ? 1) n ? 2时, an ?1

a (1)当f (n)为常数,即: n ? 1 ? q, (其中q ? 0的数) , 此时数列为等比数列a ? a ? q n ? 1 n 1 a n an ? 1

an an ?1 a2 an ? ? ? ? ? ? a1 an ? 1 an ? 2 a1

? f (n) ? f (n ? 1) ??? f (1) ? a1

4

1

2

例题讲解

六、辅助数列法:这种方法类似于换元法,
0011 0010 1010 1101 0100 1011 (1 )若 c=10001 时,数列 {an}为等差数列;

主要用于形 如an+1=c an+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。

(2)若d=0时,数列{an}为等比数列; (3)若c≠1且d≠0时,数列{an}为线性递推数列, 其通项可通过构造辅助数列来求. 方法1:待定系数法 设an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m, 与题设an+1=c an+d,比较系数得: (c-1)m=d, 所以有:m=d/(c-1)

因此数列 数列,

d ? ? a ? ? n ? c ? 1 ? ?

构成以 a1 ?

d 为首项,以c为公比的等比 c ?1

d d d d n ?1 n ?1 即: a ? ( a ? ) ? c ? ? an ? ? (a1 ? )? c n 1 c ?1 c ?1 c ?1 c ?1

4

1

2

巩固练习

例6:已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式
解法1:由an+1=2an+3得 an+1+3=2(an+3) 所以1010 {an+3} 是以 a1+3 为首项,以 2为公比的等比数列,所 0011 0010 1101 0001 0100 1011 以:an+3=( a1+3)× 2n-1 故an=6×2n-1-3 解法2:因为an+1=2an+3,所以n>1时, an=2an-1+3,两式相减,得:an+1 - an=2(an-an-1). 故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项,以2为公比的等比数列. an-an2n-1=6×2n-1, 1=(a2-a1)· an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1)

4

1

2

课后总结

求数列{an}的通项公式几种常用方法: 1、观察法。 2、定义法。 0011 1010 1101 0001 0100 1011 30010 、公式法。 4、叠加法。 5、叠乘法。 6、辅助数列法。 作业: 《同步导学案》P43-45页。

4

1

2

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

谢谢观看

上海九院整形科 http://www.kaiy unfo.com 上海九院整形科 http://www.meirenjihua.cn 上海九院隆鼻价格 http://www.kaiy unfo.com 上海九院双眼皮价格2017 http://www.kaiy unfo.com 上海九院双眼皮价格 http://www.kaiy unfo.com 上海九院隆胸价格 http://www.kaiy unfo.com 上海九院整形科双眼皮 http://www.meirenjihua.cn 上海九院整形科隆鼻 http://www.meirenjihua.cn 上海九院整形科隆胸 http://www.meirenjihua.cn 重庆网站建设公司 http://www.gexingsheji.com 网站建设 http://www.gexingsheji.com 网页设计 http://www.gexingsheji.com 重庆APP 开发 http://www.gexingsheji.com 北京八大处整形外科医院 http://www.520xfy j.com 北京八大处整形外科医院好 不好 http://www.520xfy j.com 北京八大处整形外科医院怎么样 http://www.520xfy j.com 八大处整形外科医院 http://www.mengcangku.com 八大处整形医院 八大处双眼皮 http://www.mengcangku.com 八大处预约挂号 http://www.mengcangku.com 上海九院最新文章 http://www.kaiy unfo.com/zxw z/ 上海九院最新动态 http://www.meirenjihua.cn/zxdt/ 八大处整形项目 http://www.520xfy j.com/zxxm 八大处整形案例 http://www.mengcangku.com/zxal 汎戾駊

4

1

2


推荐相关:

数列的通项公式的几种常用求法(文科)

an ? d (常数)或 an 若在已知数列中存在: 的关系,可采用求等差、等比数列的通项公式的求法,确定数列的通项。 2、非等差、等比数列的通项公式的求法。 (...


高考中常见数列通项公式的几种求解方法

2 a1 五、辅助数列法 有些数列本身并不是等差或等比数列, 但可以经过适当的变形, 构造出一个新的等差或等比 数列,从而利用这个新数列求通项公式. 【类型一...


数列通项公式的九种求法

二、累加法求形如 an-an-1=f(n)(f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项,可用 累加法,即令 n=2,3,?n—1 得到 n—1 个式子累加求得通...


数列通项公式的十种求法打印了

数列通项公式的十种求法打印了_数学_高中教育_教育专区。...数列...若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当 x1 决定(即把 a1 , a2 , x1 ,...


求通项公式的几种方法

求通项公式的几种方法山东 徐美春 聂洪玉数列的通项公式是研究数列的重要依据,下面介绍几种求数列通项公式的方法. 一、观察法已知一个数列几项,观察其特点...


数列通项公式的几种常见求法

数列的通项公式的几种常见求法一.观察法(观察 an 与 n 的关系) 1.写出下列数列的一个通项公式 (1) 2, 4, 6, 8 an = an = an = 项 1 3 7 15...


几种常见的数列的通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法_数学_高中教育_教育专区。几种常见的数列的通项公式的求法一. 观察法 例 1:根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: (...


高考复习 数列通项公式的几种求法及高考真题

数列通项公式的求法 1.观察法:已知数列的前几项,要求写出数列的一个通项公式,主要从以下几个方面来考虑,一是对数列的项进行分拆以后,寻找分拆项之间的规律;二...


数列通项公式的几种常见求法(整理版)

数列通项是个难点数列通项是个难点隐藏>> 常见数列通项公式的求法 1.利用等差等比数列通项公式 例 1:设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比...


数列通项公式的几种求法

数列通项公式的几种求法 一、 常规数列的通项 注:认真观察所给数据的结构特征,找出 an 与 n 的对应关系,正确写出对应的表达式。 二、等差、等比数列的通项 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com