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全称命题与特称命题


[A 组 基础演练· 能力提升] 一、选择题 1.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( A.所有奇数的立方都不是奇数 B.不存在一个奇数,它的立方是偶数 C.存在一个奇数,它的立方是偶数 D.不存在一个奇数,它的立方是奇数 解析:全称命题的否定是特称命题,即“存在一个奇数,它的立方是偶数”. 答案:C 2.已知命题 p:存在 x0∈R,x2 0+2x0+2≤0,则綈 p 为(

A.存在 x0∈R,x2 0+2x0+2>0 B.存在 x0∈R,x2 0+2x0+2<0 C.任意 x∈R,x2+2x+2≤0 D.任意 x∈R,x2+2x+2>0 解析:根据特称命题的否定,特称量词改为全称量词,同时把不等号改为大于号,选择 D. 答案:D 3.(2014 年济南模拟)给出命题 p:直线 l1:ax+3y+1=0 与直线 l2:2x+(a+1)y+1= 0 互相平行的充要条件是 a=-3;命题 q:若平面 α 内不共线的三点到平面 β 的距离相等, 则 α∥β.对以上两个命题,下列结论中正确的是( A.命题“p 且 q”为真 C.命题“p 或綈 q”为假 ) B.命题“p 或 q”为假 D.命题“p 且綈 q”为真 ) )

解析:若直线 l1 与直线 l2 平行,则必满足 a(a+1)-2×3=0,解得 a=-3 或 a=2,但 当 a=2 时两直线重合,所以 l1∥l2?a=-3,所以命题 p 为真.如果这三点不在平面 β 的同 侧,则不能推出 α∥β,所以命题 q 为假.故选 D. 答案:D π 3π 2x+ ?和函数 y=cos ?2x- ? 4.给定命题 p:函数 y=sin? 4 4? ? ? ? π 的图像关于原点对称;命题 q:当 x=kπ+ (k∈Z)时,函数 y= 2(sin 2x+cos 2x)取得 2 极小值.下列说法正确的是( A.p 或 q 是假命题 ) B.綈 p 且 q 是假命题

C.p 且 q 是真命题

D.綈 p 或 q 是真命题

π?? 3π? π π? π? ?π ? ? ? 解析: 命题 p 中 y=cos ? ?2x- 4 ?=cos?2x-4-2?=cos 2-?2x-4? =sin?2x-4?与 y=

?

?

π? sin? ?2x+4? π? 关于原点对称,故 p 为真命题;命题 q 中 y= 2(sin 2x+cos 2x)=2sin? ?2x+4?取极小值 π π 3π 时,2x+ =2kπ- ,则 x=kπ- ,k∈Z,故 q 为假命题,则綈 p 且 q 为假命题,故选 B. 4 2 8 答案:B 5.(2013 年高考全国新课标卷Ⅰ)已知命题 p:任意 x∈R,2x<3x;命题 q:存在 x∈R, x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( A.p 且 q B.綈 p 且 q ) D.綈 p 且綈 q

C.p 且綈 q

解析:p 为假命题,q 为真命题,故綈 p 且 q 为真命题. 答案:B 6.(2014 年南昌模拟)已知命题 p:“任意 x∈[0,1],a≥ex”;命题 q:“存在 x0∈R, x2 0+4x0+a=0”.若命题“p 且 q”是假命题,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,4] C.(-∞,e)∪(4,+∞) )

B.(-∞,1)∪(4,+∞) D.(1,+∞)

解析: 当 p 为真命题时, a≥e; 当 q 为真命题时, x2+4x+a=0 有解, 则 Δ=16-4a≥0, ∴a≤4.∴“p 且 q”为真命题时,e≤a≤4. “p 且 q”为假命题时,a<e 或 a>4. 答案:C 二、填空题 7.命题“能被 5 整除的数,末位是 0”的否定是________. 解析:省略了全称量词“任何一个”,否定为:有些可以被 5 整除的数,末位不是 0. 答案:有些可以被 5 整除的数,末位不是 0 8.命题 p:若 a,b∈R,则 ab=0 是 a=0 的充分条件,命题 q:函数 y= x-3的定义 域是[3,+∞),则“p 或 q”、“p 且 q”、“綈 p”中是真命题的有________. 解析:依题意 p 假,q 真,所以 p 或 q,綈 p 为真. 答案:p 或 q,綈 p 9.若命题“任意 x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________.

? ?a<0, 解析: 当 a=0 时, 不等式显然成立; 当 a≠0 时, 由题意知? 得-8≤a<0. 2 ?Δ=a +8a≤0, ?

综上,-8≤a≤0. 答案:[-8,0] 三、解答题 10.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)q:任意 x∈R,x 不是 5x-12=0 的根; (2)r:有些素数是奇数; (3)s:存在 x0∈R,|x0|>0. 解析:(1)綈 q:存在 x0∈R,x0 是 5x-12=0 的根,真命题. (2)綈 r:每一个素数都不是奇数,假命题. (3)綈 s:任意 x∈R,|x|≤0,假命题. 11.写出由下列各组命题构成的“p 或 q”,“p 且 q”,“綈 p”形式的新命题,并判 断其真假. (1)p:2 是 4 的约数,q:2 是 6 的约数; (2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两个实根的符号相同,q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对 值相等. 解析:(1)p 或 q:2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数,真命题; p 且 q:2 是 4 的约数且 2 也是 6 的约数,真命题; 綈 p:2 不是 4 的约数,假命题. (2)p 或 q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题; p 且 q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题; 綈 p:矩形的对角线不相等,假命题. (3)p 或 q:方程 x2+x-1=0 的两个实数根符号相同或绝对值相等,假命题; p 且 q:方程 x2+x-1=0 的两个实数根符号相同且绝对值相等,假命题; 綈 p:方程 x2+x-1=0 的两个实数根符号不同,真命题. 12.(能力提升)已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)= 1 ? x2-2cx+1 在? ?2,+∞?上为增函数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值 范围. 解析:∵函数 y=cx 在 R 上单调递减,∴0<c<1.

即 p:0<c<1,∵c>0 且 c≠1,∴綈 p:c>1. 1 ? 又∵f(x)=x2-2cx+1 在? ?2,+∞?上为增函数, 1 1 ∴c≤ .即 q:0<c≤ ,∵c>0 且 c≠1, 2 2 1 ∴綈 q:c> 且 c≠1. 2 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真.
? ? 1 ? ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩?c? ?c>2且c≠1 ? ? ? 1 ? <c<1 ?. =?c? ?2 ? ? ? 1 ? ? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1 }∩?c? ?0<c≤2 =? ? ? ? 1 ? <c<1 ?. 综上所述,实数 c 的取值范围为?c? ?2 ? ?

[B 组 因材施教· 备选练习] 1.(2014 年太原联考)已知命题 p:存在 x∈R,x2+1<2x;命题 q:若 mx2-mx-1<0 恒 成立,则-4<m≤0,那么( A.“綈 p”是假命题 C.“p 且 q”为真命题 ) B.“綈 q”是真命题 D.“p 或 q”为真命题

解析:对于命题 p,x2+1-2x=(x-1)2≥0,即对任意的 x∈R,都有 x2+1≥2x,因此 命题 p 是假命题.对于命题 q,若 mx2-mx-1<0 恒成立,则当 m=0 时,mx2-mx-1<0 恒
?m<0 ? 成立;当 m≠0 时,由 mx2-mx-1<0 恒成立得? ,即-4<m<0.因此若 mx2- 2 ?Δ=m +4m<0 ?

mx-1<0 恒成立,则-4<m≤0,故命题 q 是真命题.因此,“綈 p”是真命题,“綈 q”是 假命题,“p 且 q”是假命题,“p 或 q”是真命题,选 D. 答案:D 2.下列说法中,正确的是( )

A.命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是真命题 B.命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 C.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 D.命题“存在 x∈R,x2-x>0”的否定是:“任意 x∈R,x2-x≤0” 解析:选项 A 的逆命题,若 m=0 时,则是假命题;选项 B,p,q 可以有一个为假命

题;选项 C 为必要不充分条件;选项 D 符合存在性命题的否定规则.故选 D. 答案:D 3.已知 f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若同时满足条件: ①任意 x∈R,f(x)>0 或 g(x)>0; ②存在 x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0. 则实数 m 的取值范围是________. 解析:当 f(x),g(x)满足条件①时,m≤0 显然不合题意.当 m>0 时,f(0)=1>0,若对称 4-m 4-m 轴 x= ≥0,即 0<m≤4,结论显然成立,若对称轴 x= <0,即 m>4,只要方程 2mx2 2m 2m -2(4-m)x+1=0 的判别式 Δ=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0 即可, 又 m>4, 可得 4<m<8, 所以 m∈(0,8). 当 f(x),g(x)满足条件②时,对于 m∈(0,8),x∈(-∞,-4),g(x)<0 恒成立,由①可知, 必存在 x0∈(-∞,-4),使得 f(x0)>0 成立,故可得 m∈(0,8). 答案:(0,8)


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