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广东省南海中学2015届高考模拟七校交流数学理试题


2015 届南海中学高三理科数学七校交流卷
★祝同学们考试顺利★
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:
1.答卷前,请填写好答题卡与答题卷上的个人信息——班级、学号以及姓名. 2.做完选择题和填空题后,请及时将答案填涂在答题卡的相应位置上. 3.解答题必须规范作答!答案必须写在答题卷指定区域内. 4.考

生必须保持答题卷的整洁.

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A ? x 0 ? log 4 x ? 1 , B ? x x ? 2 ,则 A A. ? 0,1? B. ? 0, 2?

?

?

?

?

B?(
C. ?1, 2 ? ) C. y ? x ?2

) D. ?1, 2?

2. 下列函数中是偶函数且在 ? 0, ??? 上单调递增的是( A. y ? 2 ? x D . y ? x ?1 3. 下列有关命题的说法正确的是(
2

B. y ? ln x

)
2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” B.“ x ? ?1 ” 是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件
2

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 D.命题“ ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

4.在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 的值为( A. 20 D. 28 5.已知双曲线 B . 22 C .

)

24

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点的距离为 4 ,且 2 a b
) B. 2 5

双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ? ?2, ?1? ,则双曲线的焦距为( A. 2 3 D. 6 5 6. 设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 C .

4 3

a a

?

b b
C

? 0 成立的是(

)

A. a ? 2b

B . a // b



1 a?? b 3

D. a ? b 7.已知函数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? 2 ,若 f ? 2 ? a ? ? f ? a ? ,则实数 a 的取值范围是( 2 ? ?4 x ? x , x ? 0
B .

)

A .

? ?2,1?
?1, ???

? ?1, 2?

C .

? ??, ?1? ? 2, ???

D. ? ??, ?2?

4 H 在棱 AA1 上,且 HA1 ? 1.点 E , F 分别 8.如图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 棱长为 ,点
为棱 B1C1 ,
D1 A1 H B1 E C1 F P D A 第 8 题图 B C

C1C 的中点, P 是侧面 BCC1B1 内一动点,且满足 PE ? PF ,
则当点 P 运动时, HP 的最小值是( A. 7 ? 2 C. 51 ? 14 2
2

) B . 27 ? 6 2 D. 14 ? 2 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题)
9. 函数 f ? x ? ? log 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 的定义域为________________. 10. 若复数 z 满足 ? 3 ? 4i ? z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为 11. 已知圆 C 过椭圆 ____________.
x ?x 12. 设函数 f ? x ? ? x e ? ae 是定义在 R 上的偶函数,则实数 a ? _________.

?

?

.

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点且关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称 , 则圆 C 的方程为 6 2

?

?

13. 已知长为 1 ? 2 的线段 AB 的两个端点 A, B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动, P 是 AB 上一点, 且

AP ?

2 PB ,则点 P 的轨迹 C 的方程为_______________________. 2

(二) 选做题 (14、 15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)
14.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 讲 选 做 题 ) 已 知 曲 线 C1 : ?

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数)与曲线 y ? sin ? ? ?
.

?x ? t ( t 为参数)有一个公共点,则实数 k 的值为 C2 : ? ? y ? kt ? 2

15.(几何证明选讲选做题 )如图所示,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,点 A, B, C 为圆 O 上的三个不 同的点,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D ,已知 CD ? 2 7 , AB ? BC ? 3 ,则 AC 的 长为 .
B O A

D 第 15 题图 C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
16.(本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, ?ACB 为钝角, AB ? 2 , BC ? 2 , A ? 且 CD ? 3 ? 1. (Ⅰ) 求 ?BCD 的大小; (Ⅱ) 求 BD 的长及 ?ABC 的面积.
A C 第 16 题图 D

?
6

. D 为 AC 延长线上一点,
B

17.(本小题满分 12 分) 某班同学利用国庆节进行社会实践,对 ?25,55? 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习 惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳 族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图: 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 低碳族的人数
120 195 100
a

占本组的频率
0.6

?25, 30? ?30, 35? ?35, 40? ?40, 45? ?45, 50?

频率 组距

p
0.5 0.4 0.3

30

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 25 30 35 40 45 50 55 年龄(岁)

第六组

?50, 55?

15

0.3

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值(可直接写出); (Ⅱ)从 ?40,50? 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活 动,其中选取 2 人作为领队,记选取的 2 名领队中年龄在 ?40,45? 岁的人数为 X ,求 X 的分布列和期望 EX .

18.(本小题满分 14 分) 如图 , 在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中 , 侧面 ADD 1A 1 ⊥底面 ABCD , D 1A ? D 1D ? 2 , 底面 ABCD 为直角梯形 , 其中 BC // AD , AB ? AD , AD ? 2 AB ? 2 BC ? 2 , O 为 AD 中 点. (Ⅰ) 求证: AO 1C ; 1 // 平面 AB (Ⅱ) 求直线 CC1 与平面 AC1D1 所成角的正弦值.
B1 A1 C1 A O D B 第 18 题图 C D1

19.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : x ?
2

1 5 y ( a ? 0 )上的点 P ? b,1? 到焦点的距离为 . a 4

(Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 如图,已知动线段 AB ( B 在 A 右边)在直线 l : y ? x ? 2 上,且 AB ? 的横坐标 t 的值.

2 ,现过 A 作

C 的切线,取左边的切点 M ,过 B 作 C 的切线,取右边的切点为 N ,当 MN // AB 时,求 A 点
y

M

N

x B A 第 19 题图

20.(本小题满分 14 分) 已 知 数 列

?an ?

满 足 a1 ?

3 1 , an ? 2 ? ( n ? 2 ) ; 数 列 ?bn ? 满 足 2 an ?1

b2 ? 8 ,

Sn n ?1 ? 1? bn (其中 Sn 为 ?bn ? 的前 n 项和). 2 n

(Ⅰ) 证明:数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列; ? an ? 1 ?

(Ⅱ) 求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ) 设 cn ?

an ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? 1. bn

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ?

(Ⅰ) 函数 f ? x ? 的图象在点 1, f ?1? 处的切线与函数 g ? x ? 的图象相切,求实数 b 的值; (Ⅱ) 若 b ? 0 , h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? , ? x1 、x2 ??1,2? 使得 h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? M 成立,求最 大整数 M ; (Ⅲ) 当 b ? 2 时,若对于区间 ?1, 2? 内的任意两不等实数 x1 , x2 ,都有

?

1 2 x ? bx ? 1 ( b 为常数). 2

?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,求实数 b 的值.

2015 届南海中学高三理科数学七校交流卷参考答案
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分
题号 答案

1
D

2
D

3
C

4
C

5
B

6
C

7
A

8
B

二、填空题:本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 4 2 2 [ 必做题 ]9. ? ??,0? ?3, ??? 10. 11. x ? ? y ? 1? ? 5 5
x2 2 ? y ?1 2

12. ?1

13.

6 3 7 15. 2 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步 骤
[选做题]14. ?

16.【解析】(Ⅰ)在 ?ABC 中,因为 AB ? 2 , A ?

?
6

, BC ? 2 ,由正弦定理可得

B

AB BC 2 2 ? ? ? 2 2 ,???3 分 ,即 sin ?ACB sin A sin ?ACB sin ? 6
所 以 s i? n A C? B

A

C 第 16 题图

D

3? 2 B , 又 ?ACB 为 钝 角 , 所 以 ?A C ? , 所 以 4 2

?B C ? D . ?????5 分 4
(Ⅱ) 在 ?BCD 中,由余弦定理可知 BD ? CB ? DC ? 2CB ? DC cos ?BCD ,
2 2 2

?

即 BD ? 2 ?
2

?

3 ?1 ? 2 2

?

2

?

3 ? 1 cos
2 2

?

?
4

? 4 ,所以 BD ? 2 . ?????7 分
2

在 ?ABC 中,由余弦定理可知 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos A , 整理得 AC ? 2 3AC ? 2 ? 0 ,解得 AC ? 3 ? 1 ,??????????????9 分
2

又 ?ACB 为钝角,所以 AC ? AB ? 2 ,所以 AC ? 3 ? 1.?????????10 分 所 以

?ABC







S?ABC ?

1 AC ? AB s 2

A ? ? ?i

?

1 ? 1 频率 .?????1 2分 ? ? ?n 2 2 2 组距

?

3 3 2

1 1

17.【解析】(Ⅰ)第二组的频率为

1 ? ? 0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01? ? 5 ? 0.3 ,
所以高为

0.3 ? 0.06 . 5

补全频率分布直方图如如图所示:??????2 分 第一组的人数为 所以 n?

120 ? 200 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 0.6

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 25 30 35 40 45 50 55 年龄(岁)

200 ? 1000 , 由 题 可 知 , 第 二 组 的 频 率 为 0.3 , 所 以 第 二 组 的 人 数 为 0.2 1000 ? 0.3 ? 300 , 195 3 ? 5 0 .,1所 5以第四组的人数为 ? 0.65 . 第 四 组 的 频 率 为 0 . 0 ? 所以 p? 300 1 0 0? 0 0 .? 1 5 ,1 5 0 所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 , 综上, n ? 1000 , a ? 60 , p ? 0.65 . ??????5 分
(Ⅱ)因为 ?40,45? 岁年龄段的“低碳族”与 ?45,50? 岁年龄段的“低碳族”的比值为

60 : 30 ? 2 :1 ,
所以采用分层抽样法抽取 18 人, ?40,45? 岁中有 12 人, ?45,50? 岁中有 6 人.????6 分

X 的所有可能取值为 0,1, 2 ,且????7 分

P ? X ? 0? ?

0 2 1 1 2 0 C12 C6 C12 C6 C12 C6 5 8 22 , , ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C18 51 C18 17 C18 51

所以 X 的分布列为

X
P

0

5 ????????10 分 51 5 8 22 4 68 ? 1? ? 2 ? ? (得到 不扣分!)?????12 分 所以 X 的数学期望 EX ? 0 ? 51 17 51 3 51 18.【解析】(Ⅰ)证明:如图,连接 CO , AC ,则四边形 ABCO 为正方形,
所以 OC ? AB ? A 1B 1 ,且 OC // AB // A 1B 1, 故四边形 A 1B 1CO 为平行四边形,所以 AO 1 // B 1C , 又

1 8 17

2 22 51

AO ? 平 面 1

, B1C ? 平 面 A 1B C

, 所 以 A 1B C

平 面 AO 1 //

5分 A 1B .??????????? C (Ⅱ)因为 D1 A ? D1D , O 为 AD 的中点,所以 D1O ? AD , D1O ? 侧面 ADD1 A 1,

ABCD , 交 线 为 AD , 故 D1O ⊥ 底 面 又 侧 面 ADD1 A 1 ⊥ 底 面 ABCD .????????????6 分
以 O 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,则

D1 ? 0,0,1? , A ? 0, ?1,0? , D ? 0,1,0? , C ?1,0,0? , A1 ? 0, ?2,1? , B ?1, ?1,0? ,

D1C1 ? DC ? ?1, ?1,0 ? , AD1 ? ? 0,1,1? , CC1 ? DD1 ? ? 0, ?1,1? ,??????????7
分 设平面 AC1D1 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ?

? ?n ? AD1 ? 0 ? ?n ? D1C1 ? 0

,即 ?

?y ? z ? 0 , ?x ? y ? 0

解得 ?

?x ? y ,令 y ? 1 ,得 n ? ?1,1, ?1? ,?????10 分 ?z ? ? y

设直线 CC1 与平面 AC1D1 所成角为 ? ,则

sin ? ?

n ? CC1 n CC1

?

2 6 ?????13 分 ? 3 3? 2

6 .?????14 分 3 1 1 2 19.【解析】(Ⅰ)抛物线 x ? y ,准线方程为 y ? ? ,????2 分 a 4a
所以直线 CC1 与平面 AC1D1 所成角的正弦值为 因为点 P ? b,1? 到焦点的距离为

5 1 5 ? , 解得 a ? 1 , 所以抛物线 C 的方程为 , 所以 1 ? 4 4a 4

y ? x 2 ?5 分
2 2 2 (Ⅱ)设 M x1 , x1 , N x2 , x2 ,因为 y ? x ,所以 y? ? 2 x ,

?

?

?

?

所 以 k AM ? 2 x1 , 所 以 切 线 AM

的 方 程 为 y ? x1 ? 2x1 ? x ? x1 ? , 即
2

y ? 2x1 x ? x12 , ????6 分
2 同理可得切线 BN 的方程为 y ? 2 x2 x ? x2 , ?????????????????? 7

分 由于动线段 AB ( B 在 A 右边)在直线 l : y ? x ? 2 上,且 AB ?

2,

故 可 设 A ? t , t ? 2? , B ? t ? 1, t ?1? , 将 A ? t , t ? 2? 代 入 切 线 AM 的 方 程 得

t ? 2 ? 2 x1t ? x12 ,
即 x ? 2tx1 ? t ? 2 ? 0 , 所以 x1 ?
2 1

2t ? 4t2 ? 4? t ? 2? 2

? t ? t2 ? t ?2 , ?????? 9

分 同理可得 x2 ? t ? 1 ? 因为 kMN ?

? t ? 1? ? ?t ? 1? ? 2 ? t ? 1 ?
2

t 2 ? t ? 2 , ??????10 分

2 x2 ? x12 ? x1 ? x2 ,当 MN // AB 时, k MN ? 1 ,得 x1 ? x2 ? 1 x2 ? x1

所以 t ? t 2 ? t ? 2 ? t ? 1 ? t 2 ? t ? 2 ? 1, ??????????????????12 分 所以 2t ? t 2 ? t ? 2 ? t 2 ? t ? 2 ,即 2t ? 解 得

?2t t2 ? t ? 2 ? t2 ? t ? 2
( 舍 去 ), 所 以

t?0



t2 ? t ? 2

? t 2 ? t ? 2 ? ?1
n?2

t ? 0 .????????????14 分
20. 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 当 时 ,

an ? 2 ?

1 an ?1

,





an ? 1 ? 2 ?


a ?1 1 ? 1 ? n ?1 , ??????1 分 an?1 an?1


? a ?1? ? 1 ? 1 ? 1 a 1 ? n?1 ? n?1 an ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? 1

,



1 1 ? ? 1 , ??????3 分 an ? 1 an?1 ? 1
所以数列 ?

? 1 ? 1 ? 2 为首项,1 为公差的等差数列. ? 是以 a ? 1 a ? 1 ? n ? 1
S1 ? 1 ,即 b1 ? 2 . 2

????????4 分

(Ⅱ)当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, 相减得

Sn S n ?1 n?2 ? 1? bn , n ?1 ? 1 ? bn ?1 , 2 n 2 n ?1

bn n ? 1 n?2 n?2 n?2 ? bn ? bn ?1 ,整理得 bn ? bn ?1 ,??????????5 分 2 n n ?1 2n n ?1

当 n?3 时,化简可得

bn b 8 4 2? 2 2n ,又 2 ? ? ? ,故对任意 n?2 ,均有 ? bn?1 n ? 1 b1 2 1 2 ? 1

bn 2n ,??6 分 ? bn?1 n ? 1
所以

bn b 2n bn?1 2 ? n ? 1? bn?2 2 ? n ? 2 ? 2? 2 , , ,?, 2 ? , ? ? ? bn?1 n ? 1 bn?2 b1 1 n?2 bn?3 n ?3 bn ? n2n ?1 ,所以 bn ? n ? 2n , b1

上述 n ? 1 个式子相乘得

当 n ? 1 时 , b1 ? 2 也 满 足 上 式 . 所 以 数 列

?bn ?

的 通 项 公 式 为

bn ? n ? 2n .????????9 分
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知 所以 cn ? 所

n?2 1 ,???????10 分 ? 2 ? ? n ? 1? ?1 ? n ? 1 ,所以 an ? n ?1 an ? 1

an n?2 1 1 ????????12 分 ? ? ? n n ?1 bn n ? n ? 1? ? 2 n?2 ? n ? 1? ? 2n


1 ? ? ? Tn ? ?1 ? ?? 1 ? ? 2? ? ? ?


?

?

? ? ??? ? ? ? n?

n?

?

?

? ??

? ? ? ? ? ? ? ?? ?

?

.???14

1 2
1

21.【解析】(Ⅰ) f ? ? x ? ?

1 , f ? ?1? ? 1 ,故 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 x

y ? x ? 1 .??2 分

? y ? x ?1 ? 又直线 y ? x ? 1 与函数 g ? x ? 的图象相切,由 ? 消去 y 得 1 y ? x 2 ? bx ? 1 ? ? 2

x2 ? 2 ?b ? 1? x ? 4 ? 0 ,
则 ? ? 4 ? b ? 1? ? 16 ? 0 ,解得 b ? ?3 或 b ? 1 .????????????4 分
2

(Ⅱ) 当 b ? 0

1 2 1 1 ? x2 ? 时, h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? x ? 1 ( x ??1, 2? ), h ? x ? ? ? x ? ??5 分 2 x x
当 x ??1, 2? 时, h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减, 所以 h ? x ?max ? h ?1? ? ?

3 , h ? x ?min ? h ? 2? ? ln 2 ? 3 ,????????????7 分 2

则? ? h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? ? max ? h ? x ?max ? h ? x ?min ?

3 3 ? ln 2 ,故 M ? ? ln 2 ? ? 0,1? 2 2

故满足条件的最大整数 M 为 0 .????????????9 分

(3) 不妨设 x1 ? x2 ,因为函数 f ? x ? ? ln x 在区间 ?1, 2? 上是增函数,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 又函数 g ? x ? 图象的对称轴为 x ? b 且 b ? 2 ,所以函数 g ? x ? 在区间 ?1, 2? 上是减函数, 所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,?????????????????????????????10 分 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? 等价于 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? g ? x2 ? ? g ? x1 ? , 即 f ? x1 ? ? g ? x1 ? ? f ? x2 ? ? g ? x2 ? ,???????????????????11 分 等价于 ? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? 等价于 ? ? ? x ? ? 立, 又y ? x?

1 2 x ? bx ? 1 在区间 ?1, 2? 上是增函数, 2

1 1 ? x ? b ? 0 在区间 ?1, 2? 上恒成立,等价于 b ? x ? 在区间 ?1, 2? 上恒成 x x

1 1 在 ?1, 2? 上单调递增,所以 x ? 的最小值为 2 (当 x ? 1 时取得),所以 b ? 2 , x x

又 b ? 2 ,所以 b ? 2 .?????????14 分


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