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【原创课件】数学新人教A版必修5 2.4《等差数列的前n项和》课件ppt


等差数列的前n项和
山东惠民一中 魏巍 徐清杰

1.地位和作用
数列是刻画离散现象的函数,是一种重要 的数学模型.高中数列研究的主要对象是等差、 等比两个基本数列.本节课的教学内容是等差 数列的前n项和公式及其简单应用.它与前面 学过的等差数列的定义、通项公式、性质有着 密切的联系;同时,又为后面学习等比数列前 n项和、数列求和等内容做好准备. 并且等差 数列前n项和是学习极限、微积分的基础,与 数学课程的其它内容(函数、三角、不等式等) 有着密切的联系。因此,本节课既是本章的重 点也是教材的重点.

2.重、难点分析
(1)重点: 等差数列前n项和公式的理解、 推导及简单应用 (2)难点: ①对公式推导过程中归纳出一 般规律的理解与领会 ②灵活应用公式解决一些简单 的有关问题

【知识与技能】
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路; 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问 题.

【过程与方法】
通过公式的推导和公式的运用,使学生体 会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律, 初步形成认识问题,解决问题的思路和方法; 通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵 活性与广阔性的训练,提高学生的思维水平.

【情感态度价值观】
通过公式的推导过程,展现数学中的对称 美。体会模仿与创新的重要性。使学生获得发 现的成就感,优化思维品质,提高数学的推理 能力.

1.教学方法
在“以生为本”理念的指导下,充分 体现课堂教学中“教师为主导,学生为主 体”的教学关系和“以人为本,以学定教” 的教学理念,构建学生主动的学习活动过 程。在教学策略上我采用:以问题驱动, 层层铺垫,由特殊到一般的方法启发学生 获得公式的推导思路,并采用变式题组的 形式加强公式的掌握运用。遵循学生的认 知规律,采用探究式教学。在教学中注意 关注整个过程和全体学生,充分调动学生 积极参与教学过程的每个环节。

2.学法指导
新课标的理念倡导“以人为本”,强调 “以学生发展为核心”.因此本节课给学生 提供以下4种学习的机会: 1.提供观察、思考的机会:用亲切的语言 鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳. 2.提供操作、尝试、合作的机会:鼓励学生 大胆利用资源,发现问题,讨论问题,解决 问题. 3.提供表达、交流的机会:鼓励学生敢想敢 说,设置问题促使学生愿想愿说. 4.提供成功的机会:赞赏学生提出的问题, 让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣.

(一)创设情境
高斯上小学时,有一次数学老 师给同学们 出了一道 题:计算从1到100的自然数之和。 那个老师认为,这些孩子算这道题目需要 很长时间,所以他一写完题目,就坐到一边 看书去了。谁知,他刚坐下,马上就有一个 学生举手说:“老师,我做完了。”老师大吃 一惊,原来是班上年纪最小的高斯。老师走 到他身边,只见他在笔记本上写着5050, 老师看了,不由得暗自称赞。为了鼓励他, 老师买了一本数学书送给他。

思考:现在如果要你算,你能否用简便 的方法来算出它的值呢?

(一)创设情境

问题1
计算:1 ? 2 ? 3 ? ?? 99 ? 100

100 +99+98+ …+2 +1
1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 ? 100 ? (1 ? 100 ) ? 5050 2

(一)创设情境

问题2
如图,建筑工地上一堆圆木,从上到下每层 的数目分别为1,2,3,??,9 . 问共有 多少根圆木?请用简便的方法计算.

(一)创设情境

问题3
求1到n的正整数之和,即1+2+3+? +n=? 1 + 2 + … + n-1 + n n + n-1 +… + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ … +(n+1)+(n+1) 可知

(n ? 1) ? n 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 2

(二)课题引入

问题4
我们把 a1+a2 + a3 + ? + an 叫做数列{ an }的前n项和, 记作Sn。

如何求等差数列的Sn呢

(三)探究新知

设等差数列{an}的前n项和为Sn,即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] 又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] ∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)

=n(a1+an)

n(a1 ? a n ) Sn ? 2

此种求 和法称 为倒序 相加法

(三)探究新知

an ? a1 ? (n ?1)d
代入
n(a1 ? an ) Sn ? 2

(1)

就可以得到

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

(2)

(四)应用举例 例1 为备战2010年广州亚运会, “世界飞人”刘翔的主教练孙 海平制定了今年10月1日至7日 的训练计划:每天的训练量 (110米栏训练次数)如下表: 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 训练量 20 22 24 26 28 30 32 试求刘翔七天的训练量的总和 。

(四)应用举例

例2: 已知等差数列 -1O,-6,-2,2,? (1)前多少项的和是54? (2)用n表示前n项和 S n ?

(四)应用举例

完成练习 巩固知识 (课本52页练习1、2、3)
补充训练:
a 已知等差数列 ?a ? 中,
n
1

?

3 1 ,d ? ? 2 2

S ,n ? ?15,求n和 an 。
? ?512 , n ? ?1022,求公差d。 S

a 【变式1】已知等差数列 ?a ? 中, ? 1, a
n 1

n

a 【变式2】已知等差数列 ?a ? 中,
n

1

?4

S , ? 172 ,求公差 d和 a8 。
8

S 【变式3】已知等差数列?an ?中, 5 ? 24,求 a 2 ? a 4 。

(五) 课堂小结

1、回顾从特殊到一般的研究方法; 2、倒序相加的算法,及数形结合 的数学思想; 3、掌握等差数列的两个求和公式 及简单应用,及函数与方程的思想。

(六) 布置作业

必做题:课本52页A组第1、3、6题 选做题:课本53页B组第4题

等差数列的前n项和 公式一: 公式二:

例1

训练

例2

再见


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