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第1部分 第三章 3.3 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域


理解教材新知 3.3 3.3.1 第 三 章 二元 一次 不等 式(组) 与平 面区 域 突破常考题型

知识点一 知识点二 题型一 题型二 题型三

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3.3.1

二元一次不等式(组)与平面区域

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[提出问题] 给出以下两个方程: ①2x+3y-6=0,②x-4y+4=0. 问题 1: 这两个方程是什么类型的方程?它们的解有多少个?
它们对应的几何图形是什么?

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提示:都是二元一次方程;都有无穷多解;对应的几何图形 是直线. 问题2:若将上述方程变为:①2x+3y-6>0,②x-4y+4< 0.将得到什么?又有何特点? 提示:得到两个不等式,它们都含有2个未知数,且未知

数的次数都是1.
问题3:满足不等式①、②的实数x、y存在吗?若存在,试 写出两组.

提示:都存在,满足①的(2,2)、(2,4),满足②的(1,2),(1,3).
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[导入新知] 1.二元一次不等式 含有 两个 未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式称为 二元一次不等式. 2.二元一次不等式组 由 几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不 等式组.
3.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的 有序数对(x、y) , 叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的 有序数对(x、y) 构成的集合 称为二元一次不等式(组)的解集.

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[化解疑难] 二元一次不等式组要求由多于一个的二元一次不等式组 成的不等式组,其中的不等式个数可以是二个、三个,当然 也可以是多个.

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[提出问题] 已知直线l:x-y-1=0. 问题1:点A(1,0)、B(1,1)、C(1,2)、D(0,-2)、E(1,-2)与直线 l有何位置关系?

提示:点A在直线l上,点B、C、D、E均不在直线l上.
问题2:通过作图可以发现,点B、C、D、E分别在直线l的哪个 方向的区域内?
提示:点B、C在直线l的左上方,点D、E在直线l的右下方.

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问题3:点B、C、D、E的坐标分别满足下列哪个不等式? (1)x-y-1<0;(2)x-y-1>0.
提示:点B、C的坐标满足(1),D、E的坐标满足(2).

问题4:满足这两个不等式的解有多少个?这些解对应的平 面直角坐标系中的点在相应的直线上吗?若不在直线上,它们 在这条直线的同一侧吗?

提示:这两个不等式的解有无穷多个;它们对应的点 不在直线上;而是在这条直线的同一侧.

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[导入新知] 1.二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直 线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域,把直线画成

虚线 以表示区域不包括边界.
不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画 成 实线 .

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2.二元一次不等式表示的平面区域的确定 (1)直线Ax+By+C=0同一侧的所有点的坐标(x,y)代入Ax +By+C,所得的符号都 相同 . (2)在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点(x0,y0),由

Ax0+By0+C

的符号可以断定Ax+By+C>0表示的是

直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.

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[化解疑难] 确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界, 点定域”,定边界时需分清虚实,定区域时常选原点 (C≠0).

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[例 1]

画出下列不等式(组)表示的平面区域.

(1)2x-y-6≥0; ?x-y+5≥0, ? (2)?x+y≥0, ?x≤3. ?

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[解]

(1)如图,先画出直线2x-y-6=0,

取原点O(0,0)代入2x-y-6中, ∵2×0-1×0-6=-6<0, ∴与点O在直线2x-y-6=0 同一侧的所有点(x,y)都满足 2x-y-6<0,因此2x-y-6≥0 表示直线下方的区域(包含边界).

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(2)先画出直线x-y+5=0 (画成实线),如图,取原点 O(0,0)代入x-y+5, ∵0-0+5=5>0, ∴原点在x-y+5>0表示 的平面区域内,即x-y+ 5≥0表示直线x-y+5=0上及其右下方的点的集合.同理 可得,x+y≥0表示直线x+y=0上及其右上方的点的集 合,x≤3表示直线x=3上及其左方的点的集合.右上图中 阴影部分就表示原不等式组的平面区域.

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[类题通法] 1.在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每 个不等式表示的区域,再取它们的公共部分即可.其步骤为: ①画线;②定侧;③求“交”;④表示. 2.要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域,只需在 它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C 的正负判定.

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[活学活用] ?x+y≤5, ? 1. 画出不等式组?x-2y>3, ?x+2y≥0 ? 表示的平面区域.
解: 不等式 x+y≤5 表示直线 x+y-5=0 上及左下方的区 域.不等式 x-2y>3 表示直线 x-2y-3=0 右下方的区域. 不等式 x+2y≥0 表示直线 x+2y=0 上及右上方的区域. 所以不等式组表示的平面区域如图所示.

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[例2] 的面积为( A.4 C.5

?2x+y-6≤0, ? 不等式组 ?x+y-3≥0, ?y≤2, ? ) B. 1

表示的平面区域

D.无穷大

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[解析]

不等式组

?2x+y-6≤0, ? ?x+y-3≥0, ?y≤2, ? 表示的平面区域如图所示 (阴影部分),△ABC的面积即 为所求.求出点A,B,C的坐标分别为A(1,2),B(2,2), 1 C(3,0),则△ABC的面积为S= ×(2-1)×2=1. 2 [答案] B

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[类题通法] 求平面区域面积的方法 求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后 根据区域的形状求面积.若图形为规则的,则直接利用面积公式 求解;若图形为不规则图形,可采取分割的方法,将平面区域分 为几个规则图形求解.

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[活学活用] ?x+y≤5, ? 2.求由不等式组?2x+y≤6, ?x≥0,y≥0 ?

确定的平面区域的面积 S 阴影部分.

解:由不等式组作出其所确定的平面区域 (阴影部分),其四个顶点为 O(0,0), B(3,0),A(0,5),(1,4).过 P 点作 y 轴的垂线,垂 足为 C.

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则 AC=|5-4|=1, PC=|1-0|=1, OC=4,OB=3, 1 1 得 S△ACP= AC· PC= , 2 2 1 S 梯形 COBP= (CP+OB)· OC=8. 2 17 所以 S 阴影部分=S△ACP+S 梯形 COBP= . 2

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[例3]

投资生产A产品时,每生产100

吨需要资金

200 万元,需场地200 平方米;投资生产B产品时,每生 产100 米需要资金300 万元,需场地100 平方米.现某单 位可使用资金1 400 万元,场地900 平方米,用数学关系 式和图形表示上述要求.

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[解]

设生产A产品x百吨,生产B产品y百米,

? ?2x+3y≤14, ?2x+y≤9, 则? ?x≥0, ? ?y≥0. 用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图所示 (阴影部分).

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[类题通法] 用二元一次不等式组表示实际问题的方法 用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时, (1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字 母表示, (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来, (3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意 义写出所有的不等式, (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.

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[活学活用] 3.有粮食和石油两种货物,可用轮船和飞机两种方式运 输,每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表: 货物 粮食/t 石油/t 轮船运输量 300 250 飞机运输量 150 100

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现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石油,试用代 数和几何两种方法表示运输工具和运输数量满足的关系.

解:设需要x艘轮船,y架飞机,代数关系式和几何描述 ?6x+3y≥40, ? (如右图)分别为?5x+2y≥30, ?x,y∈N. ?

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6.求作不等关系表示平面区域的误区

[典例]
[解]

? ?x+2y+1>0, 原不等式等价于①? ?x-y+4>0. ?

画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)>0表示的区域.

? ?x+2y+1<0, 或②? ?x-y+4<0. ?

分别画出不等式组①和②表示的平面区域取并即可(如图阴影部 分)

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[易错防范] 1.由(x+2y+1)(x-y+4)>0不能正确转化两个不等式 组. 2.未注意不包括边界,而把边界画成实线. [成功破障] 画出不等式(x-y)(x-y-1)≤0表示的平面区域.

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解:不等式(x-y)(x-y-1)≤0等价于不等式组
? ?x-y≥0, ? ? ?x-y-1≤0, ? ?x-y≤0, 或? ? ?x-y-1≥0, ? ?x-y≤0, ? ? ?x-y-1≥0,

,而不等式组

无解,故(x-y)(x-y-1)≤0表示的平面区

域如图所示(阴影部分).

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[随堂即时演练] 1.在直角坐标系中,不等式y2-x2≤0表示的平面区域是( )

解析:原不等式等价于(x+y)(x-y)≥0,因此表示的平面区域 为左右对顶的区域(包括边界),故选C.

答案:C

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?x≥0, ? 2.不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?

所表示的平面区域的面积等于 ( )

3 A. 2 4 C. 3

2 B. 3 D. 3 4

解析:作出平面区域如图所示为△ABC,由
? ?x+3y-4=0, ? ? ?3x+y-4=0,

可得A(1,1),

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? 4? 又B(0,4),C?0,3?, ? ?

1 1 ∴S△ABC= · |BC|· |xA|= × 2 2
? 4? 4 ?4- ?×1= ,故选C. 3? 3 ?

答案:C

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3.用不等式表示直线y=3x-1左上方的平面区域为 ________.
答案:y>3x-1

4.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在 不等式2x-by+1>0表示的平面区域内,则b的取值范围是 ________.
解析:设 P(1,-2)关于原点的对称点为 P′(-1,2),因为 点 P 与点 P′有且只有一个适合不等式,

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? ?2+2b+1>0, 所以? ? ?-2-2b+1≤0,

? ?2+2b+1≤0, 或? ? ?-2-2b+1>0,

1 3 得b≥- 或b≤- . 2 2
? ? 3? ? 1 答案:?-∞,-2?∪?-2,+∞? ? ? ? ?

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5.如图,请写出表示阴影部分区域的不等式组.
解:由于直线 BC 的方程为 y=-1, 直线 AC 的方程为 x=0, 直线 AB 的方程为 2x-y+2=0, 因此表示该区域的不等式组是 ?2x-y+2≥0, ? ?x≤0, ?y≥-1. ?
“课时达标检测”见“课 时跟踪检测(十七)”

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