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2007年上海市TI杯高二年级数学竞赛个人赛试题


2007 年上海市 TI 杯高二年级数学竞赛个人赛试题
(2007 年 5 月 20 日上午 9:00~10:30) 题 号 得 分 评卷人 复卷人 一 二 三 四 总 分

准考证号

一、填空题(共 8 小题,前 4 小题每题 6 分,后 4 小题每题 9 分,满分 60 分) 1 1、连分数 3 ? 的值为 (精确到10?9 ) . 1 7? 1 15 ? 1 1? 292

性别 线

72007 ? 1310 2、计算: = 2007513

(精确到 0.001) .

年级

3、利用“开普勒( 【德】Kepler. J 1571-1630)第三定律:行星公转周期的平方和它们离


太阳的平均距离的立方成正比. ” 可以计算太阳系中行星绕太阳一周所需要的时间(即公 转周期) .如果设地球离太阳的平均距离 ?1 ? 1 个天文单位,已知地球绕太阳的公转周期

T1 ? 365.26 天,火星离太阳的平均距离 ? 2 ? 1.524 个天文单位,那么火星的公转周期 T2 ?


姓名

天(精确到 0.01 天) ,合 4、使得
n 是完全平方数的正整数 n 有 100 ? n

年(精确到 0.001 年) . 个.

5、直线 y ? x 与在区间 ? ?? , 0? 及 ? 0, ? ? 上函数 y ? cot x 的图像分别交于 A,B 两点,那么线段 AB 的长等于 (精确到 0.01) .
( 3 ? tan 29?) ?

学校

6、计算: ( 3 ? tan1? )( 3 ? tan 2? )

. 个.

7、底面直径为 4,高为 18 的封闭圆柱,装半径为 1 的球,至多能装

?1 ? x ? 2 , ? 2 ? 2 ? x ? 3, ? 8、不等式组 ?3 ? x 3 ? 4, 的解集非空,则正整数 n 的最大值为 ? ? n ? ?n ? x ? n ? 1



解答以下三题必须写出解题的必要步骤. 二、 (本题满分 20 分) 求正整数 n,使得 ?log3 1? ? ?log3 2? ? ?log3 3? ? ?log3 4? ? 其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数.

? ?log3 n? ? 2007 ,

三、 (本题满分 20 分) 如图,正方形 ABCD 内接于椭圆,正方形 EFGH 和 正方形 IJHK 中的顶点 E,F,I 在椭圆上,顶点 K,H,G 在边 AB 上,顶点 J 在边 HE 上.已 知正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的面积比为 4∶1, 求正方形 IJHK 与正方形 EFGH 的面积比 (精

确到 0.001) .
y D
K H

A

I E J

O

G

x
F

C

B

四、 (本题满分 20 分)我们知道,

49 1 约分后是 ,但按下面的方法,居然 98 2

1 49 4 1 也得 : ? ? .试求出所有分子和分母都是十进制两位正整数,分子的个位数与分母的 2 98 8 2

十位数相同,且具有上述“奇怪”性质的真分数


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