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安徽省阜阳市太和二中2014届高三一模 数学试题 Word版含答案


安徽省太和二中 2014 届高三一模试卷
命题人:赵玉苗
一.选择题 1. 设 a 是实数,且

2013 年 12 月 25 日

2m ? 1 ? i,(m ? R ) 是实数,则 m ? ( C 1? i



A . ?1
2. 设集合 A ? {x |

/>
B.

1 2

C .1

D.

3 2

x ? 0}, B ? {x | 0 ? x ? 3}, 那么“ x ? A ”是“ x ? B ”的 ( x ?1

A



A.充分而不必要条件 C.充要条件
3. 设 0 ? a ? 2? ,若 sin ? ? A. (

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3 cos ? ,则 ? 的取值范围是
( C D. ( )

? ?

, ) 3 2

B. (

?
2

,? )

C. (

? 4?
3 , 3

)

? 3?
3 , 2

)

4. 设离心率为 e 的双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,直线 l 过焦点 F ,且斜率为 k , a2 b2
) D. e 2 ? k 2 ? 1 )

则直线 l 与双曲线 C 的左右两支都相交的充要条件是 ( C A. k 2 ? e 2 ? 1 5. 函数 f ( x) ? ? A. f (0) B. k 2 ? e 2 ? 1 C. e 2 ? k 2 ? 1

? f (4 ? x) , x ? ?2
?x ?2

, x ? ?2

在 ?2,?? ? 上为增函数,且 f (0) ? 0 ,则 f (x) 的最小值是 ( B

B. f (2)

C. f (4)

D. f (?2)

6. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 ,等比数列 {bn } 中, b5 ? a5 , b7 ? a7 ,则 b6 等于 ( C ) A. 4 2 B. ?2 2 C. ?4 2 D. 32 ) 7. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中对角线 B1 D 与平面 A1 BC1 所成的角大小为( D A. 8.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

已 知 函 数

f ( x) ?| lg( x ? 1) |, 若a ? b, 且f (a) ? f (b), 则a ? 2b 的 取 值 范 围 是 ( A )
B. (3 ? 2, 2, ??) C. [4, ??) D. (4, ??)

A. [3 ? 2, 2, ??)

9. 用 4 种不同的颜色为正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的六个面着色,要求相邻两个面颜色不相同,则不同的着 色方法的种数为( D ) A.24 B.48

C.72

D.96

? ? ? ? ? 1 1 ? 10. 已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) ? x 3 ? | a | x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值,则 a 3 2
-1-

与 b 的夹角范围为( C ) A. [0, 二.填空题 11. 设实数 x, y满足 | x | ? | y |? 1, 则

?

?
6

)

B. (

?
3

,? ]

C. (

? 2?
3 , 3

]

D. (

?
6

,? ]

x 的取值范围是 y ?3

1 1 (? , ) 3 3

12.若 ? ~ N (2, ? 2 ) ,且 P (2 ? ? ? 4) ? 0.4 ,则 P (? ? 0) ? 13. [ x] 表示不超过 x 的最大整数,已知 f ( x) ? 则 a 的取值范围是

0.1

[ x] [ x] ? a ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? a 有且仅有三个零点, x x

3 4 ( , ] 4 5

14. 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 的底面边长为 a ,侧棱长为 2a ,则 AC 1 与侧面 ABB1 A1 所成的角的 正弦值等于

1 2
2 2

15. 二次函数 y ? x ? 2 x ? 2 与 y ? ? x ? ax ? b (a ? 0, b ? 0) 在它们的一个交点处切线互相垂直,则

1 4 ? 的最小值为 a b
三.解答题



18 5

16. ( 本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos x ? sin x
2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的定义为 R,求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)函数 f ( x) 在区间 [0,
2

?
2

] 上是不是单调函数?请说明理由 1 4 17 , 8

解:(1) f ? x ? ? ?2sin x ? sin x ? 2 ? –2 (sin x ? ) 2 ? 所以,值域为 [?1, (2) f ? x ? 在区间 [0,

?
2

17 ]. ???????? 6 分 8

] 上不是单调函数

证法一: f ' ? x ? ? ?4 cos x sin x ? cos x ? cos x ?1 ? 4sin x ? 设 ? ? arcsin

1 ? ?? ,可知:当 x ? ? 0, ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以, f ? x ? 单调递增;当 x ? ? ? , ? 时, 4 ? 2?

? f '? x? ? 0 , 所以,f ? x ? 单调递减.所以,f ? x ? 在区间 [0, ] 上不是单调函数.???????? 2
12 分 (证法二:∵ f (0) ? f ( ) ? 2 , 且 0,

?

?

6

? [0, ] , 6 2
-2-

?

∴ f ? x ? 在区间 [0,

?
2

] 上不是单调函数)

17. ( 本小题满分 12 分) 某地机动车驾照考试规定:每位考试者在一年内最多有 3 次参加考试的机会,一旦某次考试通过,便可 领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第三次为止,如果小王决定参加驾照考试,设他一年中 三次参加考试通过的概率依次为 0.6, 0.7, 0.8 . (Ⅰ)求小王在一年内领到驾照的概率; (Ⅱ)求在一年内小王参加驾照考试次数 ? 的分布列和 ? 的数学期望. 解: (Ⅰ)小王在一年内领到驾照的概率为:

P ? 1 ? (1 ? 0.6)(1 ? 0.7)(1 ? 0.8) ? 0.976 ?????????( 4 分)
(Ⅱ) ? 的取值分别为 1,2,3.

P(? ? 1) ? 0.6 , P(? ? 2) ? (1 ? 0.6) ? 0.7 ? 0.28 P(? ? 3) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.7) ? 0.12 ?????????( 8 分)
所以小王参加考试次数 ? 的分布列为:

?
P

1 0.6

2 0.28

3 0.12

所以 ? 的数学期望为 E? ? 1.52

????????12 分

18. ( 本小题满分 12 分)已知数列 {an } ,前 n 项和 S n ,且方程 x 2 ? an x ? an ? 0 有一根为 S n ? 1 ( n =1, 2,3??) (Ⅰ)求 a1 , a2 的值 (Ⅱ)猜想数列 {S n } 的通项公式,并给出严格证明。 (Ⅲ)设数列 {nan } 的前 n 项和 Tn ,试比较

Tn 与 S n 的大小 2

(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1=2.???????? 3 分 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2-2,
-3-

1 1 1 于是(a2-2)2-a2(a2-2)-a2=0,解得 a2=6.???????? (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, Sn2-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1=2,S2=a1+a2=2+6=3. 3 由①可得 S3=4. n 由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,?. ???????? 7 分 n+1 下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立. ①

5分

k+1 k 1 (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= ,当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= ,即 Sk+1= , k+1 2-Sk k+2 故 n=k+1 时结论也成立.???????? 11 分 n 综上,由(i)、(ii)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立.???????? 12 分 n+1 19. ( 本小题满分 12 分)如图, 在底面是正方形的四棱锥 P- 中;PA⊥ 面 ABCD,BD 交 AC 于点 E,F 是 PC 的中点,G 为 AC 上一点. (1)确定点 G 的位置,使 FG∥平面 PBD,并说明理 由; (2)当二面角 B-PC-D 的大小为 120°时,求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值. 2

ABCD

2

20. ( 本小题满分 14 分)如图,椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心, F 为椭圆的右焦点,且 AF ? FB ? 1 ,

OF ? 1 .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P, Q 是否存在直线 l ,使点 F 恰为 ?PQM 的垂心?若 出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 两点, 问: 存在,求

x2 y 2 解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) a b
由题意 c

?1
-4-

又∵ AF ? FB ? 1 即
2

(a ? c) ? (a ? c) ? 1 ? a 2 ? c 2

∴a

?2

故椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

????4 分

(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且 F 恰为 ?PQM 的垂心,则 设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,∵ M (0,1), F (1,0) ,故 k PQ ? 1 于是设直线 l 为 ?????6 分

? y ? x?m 得 y ? x ? m ,由 ? 2 x ? 2 y2 ? 2 ?

????8 分 3x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0 ???? ??? ? ∵ MP ? FQ ? 0 ? x1 ( x2 ? 1) ? y2 ( y1 ? 1) 又 yi ? xi ? m(i ? 1, 2) 得 x1 ( x2

? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 即

2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 由韦达定理得
2m 2 ? 2 4m 2? ? (m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 3 3
解得 m ? ?

4 4 或 m ? 1(舍) 经检验 m ? ? 符合条件 3 3

4 ???14 分 3 2 x 21.(本小题 13 分)设 x =0 是函数 f ( x) ? ( x ? ax ? b)e ( x ? R ) 的一个极值点.
则直线 l 的方程为: y ? x ? (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ),并求 f(x)的单 调区间; (2)设 a ? 0 , g ( x) ? ?(a ? a ? 1)e
2 x?2

,问是否存在 ?1 , ? 2 ∈[-2,2],使得 | f (?1 ) ? g (? 2 ) |? 1 成立?若

存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1) f ( x) ? [ x ? (a ? 2) x ? a ? b]e
' 2 ' x

由 f (0) ? 0, 得 b ? ? a ?????????2 分 ∴ f ( x) ? ( x ? ax ? a )e
2 x

f ' ( x) ? [ x 2 ? (a ? 2) x]e x ? x( x ? a ? 2)e x
令 f ( x) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? ? a ? 2
'

由于 x ? 0 是 f ( x) 极值点,故 x1 ? x2 ,即 a ? ?2 ?????????4 分 当 a ? ?2 时, x1 ? x2 ,故 f ( x) 的单调增区间是(-∞,0]和[ ? a ? 2 ,+∞),单调减区间是(0,
-5-

?a ? 2 )[
当 a ? ?2 时, x1 ? x2 ,故 f ( x) 的单调增区间是(-∞, ? a ? 2 ]和[0,+∞),单调减区间是 ( ? a ? 2 ,0).?????????6 分 (2)当 a ? 0 时,? a ? 2 <-2, f ( x) 在[-2,0]上单调递减, 在[0,2]上单调递增, 因此 f ( x) 在[- 2,2]上的值域为 [ f (0) , max{ f ( ?2), f (2)}] ? [ ? a, (4 ? a)e 2 ] ?????????7 分 而 g ( x) ? ?(a 2 ? a ? 1)e x ? 2 ? ?[(a ? ) 2 ? ]e x ? 2 在[-2,2]上单调递减, 所以值域是[ ?(a 2 ? a ? 1)e 4 , ?(a 2 ? a ? 1) ] ?????????8 分 因为在[-2,2]上, f ( x) min ? g ( x) max ? ?a ? (a 2 ? a ? 1)

1 2

3 4

? (a ? 1) 2 ? 0 ?????????9 分
所以, a 只须满足 ? 解得 0 ? a ? 2. 即当 a ? (0, 2] 时,存在 ?1 , ? 2 ∈[-2,2],使得 | f (?1 ) ? g (? 2 ) |? 1 成立.?13 分

?a ? 0
2 ??a ? (a ? a ? 1) ? 1.

?????????11 分

-6-


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