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江西师大附中2014届高三上学期期中考试 理科数学 Word版含答案


江西师大附中高三年级数学(理)期中考试卷
命题人:刘芬 审题人:占华平 2013.11 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. x2 y2 1.设集合 A={(x,y)| + =1},B={(x,y)|y=3x},则 A∩B 的子集的个数是( 4 16 A.4 2.函数 y =
3

A. ( ,1) 4

)

B.3
1 log 0.5 (4 x - 3)
3 B. ( , + ) 4

C.2 )

D.1

的定义域为(

C.(1, + ) )
6 7

3 D.( ,1) ∪(1,+ ) 4

3. 已知 tan A.
7 6

?
2

=2, 则

6sin ? ? cos ? 的值为( 3sin ? ? 2cos ?

B.7

C.- )

D.-7

4.设 0 ? a ? b ? 1, 则下列不等式成立的是( A. a3 ? b3 B.
1 1 ? a b

C. ab ? 1 )

D. lg ? b ? a ? ? 0

5. 已知等比数列 ?an ? , 前 n 项和为 Sn, S3 ? 2, S6 ? 6, 则S12 ? ( A.10 B.20 C.30

D.40

? ? 6. 将函数 f(x)=2sin (? x ? )(? ? 0) 的图象向左平移 个单位, 得到函数 y=g (x)的图象. 若 3 3?

y=g(x)在[ 0, A.1

?
4

]上为增函数,则 ? 的最大值( B.2

) C.3 D.4

7.如图,PA 垂直于圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一 点,E, F 分别是点 A 在 P B, P C 上的射影,给出下列结论: ① AF ^ PB②EF ^ PB③AF ^ BC④AE ^ BC ,正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 8. 已知在等差数列 ?an ? 中 3a2 = 7a7 , a1 > 0 ,则下列说法正确的是( A. a11 > 0 C. d ? 0 B. S10 为 S n 的最大值 D. S4 ? S16 ) D.4 )

9.如图所示, P 为 D AOB 所在平面上一点,且 P 在线段 AB 的垂直平分线 ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 上,若 OA = 3, OB = 2, 则OP ? OA OB 的值为 ( )

(

)

A.5

B.3

C.

5 2

D.

3 2
? x 2 -x,x ? [0,1)
|x-1.5|

10.定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x+2)=2 f (x) ,当 x? [0,2)时, f (x)= ? 若 x ? [-4,-2] 时, f (x) ? A.[-2,0) ? (0,l)
t 1 恒成立,则实数 t 的取值范围是( 4 2t

?-(0.5)

,x ? [1,2)

) D.( -? ,-2] ? (0,l]

B.[-2,0) ? [l,+∞)

C.[-2,l]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
? ? p 11.已知向量 a = (sin q , - 2) 与 b = (1, cos q ) 互相垂直,其中 q ? (0, ) .则 cosq = _____ . 2

ì x+ y- 3 0 ? 12.已知实数 x,y 满足 í x - y + 1 0 若 z = x 2 + y 2 ,则 z 的最大值为_______. ?x?2 ?
13.设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则

y2 的最小值是 xz



14. 已知函数 f(x)= lg( x + x 2 + 1) +x, 如果 f(1-a)+f(1-a2)<0, a 的取值范围是_____ 则 15.数列 {an } 的前 n 项和是 S n ,若数列 {an } 的各项按如下规则排列:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 , , , , , , , , , , , ?, 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6
若存在正整数 k ,使 S k ? 10 , Sk ?1 ? 10 ,则 ak ? .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16.已知 a = 4, b = 3, 2a - 3b ? 2a b = 61, 求(1) a 与b 的夹角 (2) a + b 的值

(

)(

)

17.在 DABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列. (1)求 B 的值; (2)求 2sin 2 A + cos( A - C) 的范围.

18.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平 面 ABCD , ? DAB
60? , AD = 2 , AM = 1 , E 是 AB 的中点.

(Ⅰ)求证: AN //平面 MEC (Ⅱ) 在线段 AM 上是否存在点 P , 使二面角 P - EC - D 的大小为 的长 h ;若不存在,请说明理由. N M
p ?若存在, 求出 AP 6

D A E B

C

19.数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2 (1)求 S3n . (2) bn ?

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 3 3

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n

20. 在周长为定值的?DEC 中,已知 | DE |? 8 ,动点 C 的运动轨迹为曲线 G,且当动点 C 运动 时, cosC 有最小值 ?

7 . 25

(1)以 DE 所在直线为 x 轴,线段 DE 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,求曲线 G 的方程; (2)直线 l 分别切椭圆 G 与圆 M : x 2 ? y 2 ? R 2 (其中 3 ? R ? 5 )于 A、B 两点,求|AB|的取 值范围.

21.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x.
2

(1)若 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 是增函数,求 a 的取值范围; (2)已知 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? 图象上任意不同两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,其中

? ? ?? ? ? ? ? A x2 ? x1 , 直线 AB 的斜率为 k , N ? u , 0 ? , A ? ?N 记 若 B

?1 ? ? ?2 ,?

求证: f ? ? u ? ? k .

高三数学参考答案
1-5 AAADC 6-10BCBCD

11. 12. 15. 16.

5 5
13

13. 3

14. a > 1或 a < - 2

5 7

2? , 13 3

17.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列. (1)求 B 的值; (2)求 2sin A ? cos( A ? C) 的范围.
2

解: (1)? a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列,

? a cos C ? c cos A ? 2b cos B .


………………………………………………2

由正弦定理得, a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C. 代入得, 2R sin A cos C ? 2R cos Asin C ? 4R sin B cos B , 即: sin( A ? C ) ? sin 2B ,

? sin B ? sin 2B .


…………………………………………………………4

又在 ?ABC 中, B ? 2B或B ? 2B ? ? .

? 0 ? B ? ? ,?
B?

B?

?
3.
………………………………………………6 分

?
3,

(2)?

?A?C ?

2? 3 .

?


2 s i2 A? n

c oA ? C ? ) ? 1 c A s 2 s( o?

2? c o? ( 2 A s 3

…………………….8

)

1 3 3 3 ? ? 1 ? cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ? 3 sin(2 A ? ) 2 2 2 2 3

?
??

0? A?

2? ? ? ? ? 2A ? ? ? 3 3 , 3

3 ? ? sin(2 A ? ) ? 1 2 3 .

? 2sin 2 A ? cos( A ? C ) 的范围是


1 (? ,1? 3] 2

………………………….12

18.如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面

ABCD , ?DAB ? 60? , AD ? 2 , AM ? 1 , E 是 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: AN //平面 MEC

?
(Ⅱ)在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 6 ?若存在,求出 N

AP 的长 h ;若不存在,请说明理由.
M

D A

C

AE ?AQ sin120? 3 AH ? ? EQ 7 所以
又在 Rt ?PAH 中,

……………10 分

?PHA ?

?
6,

AP ? AH ?tan 30? ?
所以

3 3 1 7 ? ? ? ?1 7 3 7 7

?
所以在线段 AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 6 ,此时 AP 的长为

7 7 .

……………………………………………………………12 分

3


7h 2 ? 3

?

3 7 h? ?1 2 ,解得 7 ………………………………………………….12 分

7 所以在线段 AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 6 ,此时 AP 的长为 7
19.数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2 (1) 求 S n ;

?

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 3 3

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? n? 2n? 解: (1) 由于 cos 2 ,故…………………………………….2 分 ? sin 2 ? cos 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (? 12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2 ………….4



?

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) , ? ??? ? 2 2 2 2
n(9n + 4) ……………………………………………………………6 分 2

\ S3 n =

(2) bn ?

S3n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n ………………………………………………………8 分

1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n?1 ], 2 4 4
两式相减得

9 9 ? 1 9 9 9n ? 4 1 4 4n ? 9n ? 4 ] ? 8 ? 1 ? 9n , 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 1 2 4 4 4 2 4n 22 n ?3 22 n ?1 1? 4 .......
................................................................................................…10 分 故

8 1 3n Tn ? ? ? 2 n ?1 . 2 n ?3 3 3? 2 2 ………………………….12 分

20.在周长为定值的?DEC 中,已知 | DE |? 8 ,动点 C 的运动轨迹为曲线 G,且当动点 C 运动 时, cosC 有最小值 ?

7 . 25

(1)以 DE 所在直线为 x 轴,线段 DE 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,求曲线 G 的方程; (2)直线 l 分别切椭圆 G 与圆 M : x 2 ? y 2 ? R 2 (其中 3 ? R ? 5 )于 A、B 两点,求|AB|的范围. 【解】(1)设 |CD|+|CE|=2a (a>4)为定值,所以 C 点的轨迹是以 D、E 为焦点的椭圆,所以

焦距 2c=|DE|=8. ……………………………..2 分 | CD |2 ? | CE |2 ?82 (| CD | ? | CE |) 2 ? 2 | CD || CE | ?82 2a 2 ? 82 因为 cos C ? ? ? ?1 2 | CD || CE | 2 | CD || CE | | CD || CE |

82 2a 2 …………………………….4 分 ) ? a 2 ,所以 cos C ? 1 ? 2 , 2a 2 82 7 2 x2 y 2 由题意得 1 ? 2 ? ? , a ? 25 . 所以 C 点轨迹 G 的方程为 ? ? 1. ……..5 2a 25 25 9
又 | CD | ? | CE |? ( 分 (2) 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 ) 分 别 为 直 线 l 与 椭 圆 和 圆 的 切 点 , 直 线 AB 的 方 程 为: y ? kx ? m 因为 A 既在椭圆上,又在直线 AB 上, 从 而 有

? x2 y 2 ?1 ? ? , ………………..7 分 ? 25 9 ? y ? kx ? m ? 2 2 2 消去 y 得: (25k ? 9) x ? 50kmx ? 25(m ? 9) ? 0 2 2 2 由于直线与椭圆相切,故 ? ? (50km) ? 4(25k ? 9) ? 25( m ? 9) ? 0 ,从而可得: 25k ① ② …………….9 分 m 2 ? 9 ? 25k 2 x1 ? ? m ? x2 ? y 2 ? R2 2 2 2 2 由? 消去 y 得: (k ? 1) x ? 2kmx ? m ? R ? 0 . ? y ? kx ? m kR 2 2 2 2 由于直线与圆相切,得: m ? R (1 ? k ) ③ ④ x2 ? ? m k (25 ? R 2 ) R2 ? 9 2 由②④得: x2 ? x1 ? ;由①③得: k ? m 25 ? R 2 ?| AB |2 ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x 2 ? x1 )2

m 2 k 2 (25 ? R 2 ) R 2 ? 9 (25 ? R 2 ) 2 225 ? ? ? ? 25 ? 9 ? R 2 ? 2 2 2 2 2 R m R 25 ? R R ,从而 0 ?| AB |? 2 …………….13 2 225 0 ?| AB | ? 4 2 由 3<R<5 易知, 30 ? R ? 2 ? 34 ; R ?


21.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x.
2

(1)若 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 是增函数,求 a 的取值范围; (2)已知 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? 图象上任意不同两点 A1 ? x1 , y1 ? , B1 ? x2 , y2 ? ,其中

???? ? ???? ? x2 ? x1 ,直线 A1 B1 的斜率为 k ,记 N ? u , 0 ? ,若 A1 B1 ? ? A1 N ?1 ? ? ? 2 ? , 求证:

f ? ?u ? ? k 。
解: (1)由 f ? x) = (
1 2ax 2 + x + 1 + 2ax + 1 = > 0 得 2ax2 > - ( x + 1) x x 1 1 2 1 1 2 \ 2a > - - ( ) ,又当 x > 0 时, - - ( ) < 0 ,所以 a ? 0 ………..5 分 x x x x
2 y2 - y1 1nx2 + ax2 + x2 - 1nx1 - ax12 - x1 = x2 - x1 x2 - x1

(II) k =

=

1nx2 - 1nx1 + a( x2 + x1 ) + 1 ……………………………………………………..6 分 x2 - x1 ??? ? ???? ? N (u,0), A( x1 ,0), B( x2 ,0), AB = l AN (1 < l ? 2), x2 - x1 =l (u - x1 )

\ u=

x + (l - 1) x1 x2 + ( l - 1) x1 l , f ? u) = ( + 2a 2 + 1 …………8 分 x2 + ( l - 1) x1 l l 1nx2 - 1nx1 a l + (2 - l )( x2 - x1 ) …………….9 分 x2 + ( l - 1) x1 x2 - x1 l

\ f ? u) - k = (

? a < 0 , x2 > x1 , 1 < l

a (2 - l )( x2 - x1 ) 0 …………………..10 分 l 1nx2 - 1nx1 l <0, ( \ 要证 f ? u) < k ,只要证 x2 + ( l - 1) x1 x2 - x1

2\

即 设

l ( x2 - x1 ) - (1nx2 - 1nx1 ) < 0 ……………………………………….11 分 x2 + (l - 1) x1 x2 l ( x2 - x1 ) l (t - 1) = t ,则 - (1nx2 - 1nx1 ) = - 1nt ,显然 t > 1 x1 x2 + ( l - 1) x1 t+l - 1

令 g (t ) =

l (t - 1) - 1nt ,考虑 g (t ) 在 [1, + ) 上的单调性 t+l - 1
- t 2 + ( l 2 - 2l + 2)t - ( l - 1)2 t (t + l - 1)2

\ g ? t) = (

令 T (t ) = - t 2 + (l 2 - 2l + 2)t - ( l - 1)2
(l - 1)2 + 1 1 2 恒成立 \ T (t ) < T (1) = 0 \ t对 =

t >1

1< l

2

则有 g (t ) < g (1) = 0 \ g ? t )< 0 (

\ f ? u) < k (

成立


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