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双重数列通项公式的求法


双重数列 ? ? b
?

a n ?1 ? Aa n ? Bbn ? C
n ?1

? Da n ? Ebn ? F

通项公式的一般求法

湖南 邵阳 绥宁二中 林安书 邮编 422606 递归数列问题是高中数学竞赛的热点问题之一,也是高考重点考查的内容之一。一般的,我们对

一元递归数列问题探讨得比较多,它的题型、它的解法,相对来说我们要熟悉一些,而对于双重数 列问题的解法则研究的并不多。事实上,双重递归数列问题也是考查学生逻辑思维能力与创造性思 维能力的较好的素材,因此在各类竞赛中频频出现,现在也逐渐被高考命题专家所青睐,07 年高考 辽宁省文科在这里出了大题,相信在今后的高考中一定还会出现。本文所介绍的双重递归数列是其 它双重或多重递推数列的基础.。现在介绍它的一般的、基本的、具有普遍性的一个解法,仅当抛砖 引玉。
?a n ?1 ? Aa n ? Bbn ? C 双重数列 ? 的通项公式的求法,一般来说有两种思路:其一是消元法 ?bn ?1 ? Da n ? Ebn ? F

即用代入法消去 a n 和 an?1 或消去 bn 和 bn?1 , 变为一元线性递推数列来处理。 其二 是对这两个式子进 行比如加减法、配凑法、累加法、复数法等处理,其目的是构造一个新的数列使之成为一个等比或等 差数列,这种情况技巧性很强,学生不易掌握。 本文用待定糸数法来求其通项。 其方法是: 设 an?1 +x bn ?1 ? z ? y ( a n +x bn ? z )+t , 其中 x 、 y、 z、t 都是待定常数,我们将已知条件中的 an?1 和 bn?1 代入所设的式子,比较糸数就可以求出 x 、y、 z 或 t ,那么原式就可以转化为一个新的等比或等差数列。现举例说明。
?a n ?1 ? ?3a n ? bn 例1、 已知数列{ a n }和{ bn }满足 a1 =1 , b1 =1 , ? ,求 a n 和 bn ; ?bn ?1 ? 4a n ? bn

解法 1:代入消元法解法

?a n ?1 ? ?3a n ? bn ??? (1) ,由(1)式中的 bn =- an?1 -3 a n 代入(2) 得: ? ?bn ?1 ? 4a n ? bn ??? (2)

an? 2 +2 an?1 + a n =0 ???(3)

, (3) 式 的 特 征 方 程 是 : x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , 其 方 程 的 根 是

x1 ? x2 ? ?1 ,故(3)式的通项公式可设为 : a n = c1 (?1) n ? c2 n(?1) n ,

当 n=1 时 , a1 =- c1 ? c2 ? 1 ,当 n=2 时, a 2 = c1 +2 c 2 ,而由条件不难求得 a 2 =-4 , 也即 c1 +2 c 2 =-4 ,从而求得 c1 =2 , c 2 =-3 , 故所求得的通项公式 a n =2 (?1) n ? 3n(?1) n , 此时不难求得通项公式 bn = ( 6n-7) (?1) n . 解法 2:待定糸数法 设 an?1 +x bn?1 =y ( a n +x bn ) ,将 an?1 =-3 a n - bn 和 bn?1 =4 a n + bn 代入所设的 式子,得:-3 a n - bn +x (4 a n + bn )=y ( a n +x bn ) ,
1

?4 x ? 3 ? y 1 即 (4x –3) a n +( x-1) bn = y ( a n +x bn ) ,比较糸数令: ? ,解得 x= 、y=-1 , 2 ? x ? 1 ? xy

1 1 1 1 1 3 1= ,公比为-1 bn ?1 =- ( a n + bn ) ,可知数列{ a n + bn }是首项为 a1 + b1 =1+ × 2 2 2 2 2 2 1 3 3 1 的等比数列,∴ a n + bn = (?1) n?1 ,∴ a n = (?1) n?1 - bn ,将它代入 bn?1 =4 a n + bn 得: 2 2 2 2

∴ an?1 +

bn ?1 + bn =6 (?1) n?1



在①式两边同乘以 (?1) n?1 得: (?1) n?1 bn?1 - (?1) n bn =6 ,可知数列{ (?1) n bn }是首项为-1,公 差是 6 的等差数列,∴ (?1) n bn = -1+(n-1)6=6n-7 , ∴ bn =( 6n-7) (?1) n , 从而得到 a n =(3n-2) (?1) n?1 , 故所求的通项公式为: a n =(3n-2) (?1) n?1 ,
bn =( 6n-7) (?1) n 。

3 1 ? a n ?1 ? a n ? bn ? 1 ? ? 4 4 例2、 已知数列{ a n }和{ bn }满足 a1 =2 , b1 =1 , ? ( n∈ N ? ) , 求 a n 和 ?b ? 1 a ? 3 b ? 1 n ?1 n n ? 4 4 ?
bn ;

解法 1:

3 1 ? a n ?1 ? a n ? bn ? 1???? (1) ? ? 4 4 ,将(1)式和(2)式分别相加和相减得: ? ?b ? 1 a ? 3 b ? 1???? (2) n ?1 n n ? 4 4 ?

an?1 + bn ?1 = a n + bn +2 an?1 - bn ?1 =

(3) (4)

1 ( a n - bn ) 2

由(3)知数列 { a n + bn }是首项为 a1 + b1 =3,公差为 2 的等差数列 ∴ a n + bn =3+(n-1)2=2n+1 ; 由(4)知数列{ a n - bn }是首项为 a1 - b1 =1,公比为
1 1 1 1 不难解得 a n = ( ) n +n+ , bn =- ( ) n +n+ 。 2 2 2 2 1 1 的等比数列,∴ a n - bn = ( ) n ?1 ; 2 2

解法 2:设 an?1 +x bn ?1 ? z ? y ( a n +x bn ? z )+t ,将 an?1 =

3 1 1 3 a n + bn +1 和 bn ?1 = a n + bn +1 代入 4 4 4 4

3 x 1 3x 所设的式子,得 ( + ) a n +( + ) bn +x+z+1=y a n +xy bn +yz+t , 比较糸数令: 4 4 4 4

2

?3 x ?4 ? 4 ? y ? ? 1 3x ? xy ? ? ?4 4 ?1 ? x ? z ? yz ? t ? ?

? ? x ? ?1 ?x ? 1 ? 1 ? ? ,解得 ? y ? 1 或 ? y ? 2 ?t ? 2 ? ? z ? t? ? ? 2

,将 x=1、y=1、t=2 和 x=-1、y=

1 z 、t= 分 2 2

?a n ?1 ? bn ?1 ? a n ? bn ? 2 ? 别代入所设的式子得: ? 1 a n ?1 ? bn ?1 ? (a n ? bn ) ? 2 ?

,以下解法与解法 1 相同。

?a n ?1 ? 5a n ? 3bn ? 7 例3、 已知数列{ a n }和{ bn }满足 a1 =2 , b1 =1, ? ?bn ?1 ? 3a n ? 5bn

,求 a n 和 bn ;

?a n ?1 ? 5a n ? 3bn ? 7 ?a n ?1 ? bn ?1 ? 8(a n ? bn ) ? 7 解法 1:将 ? 两个等式相加、相减分别得: ? , ?bn ?1 ? 3a n ? 5bn ?a n ?1 ? bn ?1 ? 2(a n ? bn ) ? 7

由 an?1 + bn?1 =8( a n + bn )+7 变为 an?1 + bn?1 +1=8( a n + bn +1) , 易知数列{ a n + bn +1}是首项为 4、 公比为 8 的一个等比数列,求得 a n + bn +1=4· 8 n?1 ,即 a n + bn =4· 8 n?1 -1 ①

由 an?1 - bn?1 =2( a n - bn )+7 变为 an?1 - bn?1 +7=2 ( a n - bn +7 ) , 易知数列{ a n - bn +7}是首项为
a1 - b1 +7=8、公比为 2 的等比数列,故求得 a n - bn +7=8· 2 n?1 ,即 a n - bn =8· 2 n?1 -7



由①式和②式不难求得: a n =2· 8 n?1 +4· 2 n?1 -4 , bn =2· 8 n?1 -4· 2 n?1 +3 。 解法 2:设 an?1 + x ? bn?1 ? z ? y ( a n + x ? bn ? z )+t ,将 an?1 =5 a n +3 bn +7 和 bn?1 =3 a n +5 bn 代入 所设的式子得:5 a n +3 bn +7+x (3 a n +5 bn )+z=y ( a n +x bn ? z )+t ,即 :
?5 ? 3 x ? y ? , 比较糸数令: ?3 ? 5 x ? xy , ?7 ? z ? yz ? t ?

( 5+3x) a n +( 3+5x) bn +7+z= y ( a n +x bn ? z )+t

?x ? 1 ? x ? ?1 ?a n ?1 ? bn ?1 ? 8(a n ? bn ) ? 7 ? ? 解得: ? y ? 8 或 ?y ? 2 ,从而所设的式子变为: ? ?a n ?1 ? bn ?1 ? 2(a n ? bn ) ? 7 ?t ? 7 ? 7 z ?t ? 7 ? z ? ?



以下解法与解法 1 相同。 说明: 上面例 2 和例 3 的解法 1 看起来要比解法 2 简单一些, 其关键是这两个题中的数据很巧 合,显然例 1 用简单的加减法进行处理是行不通的,因此例 2、例 3 的解法 1 不具有普遍性的, 下面的例 4 用简单的加减法或代入消元法处理是比较困难的,而解法 2 是解这种题型的具有普遍 性的一个通法。
3

?a n ?1 ? 7 a n ? 6bn ? 3 例 4、已知数列{ a n }和{ bn }满足 a1 =1 , b1 =0 , ? ?bn ?1 ? 8a n ? 7bn ? 4

,求 a n 和 bn ;

解: 设 an?1 +x bn ?1 ? z ? y ( a n +x bn ? z )+t , 将 an?1 =7 a n +6 bn -3 和 bn?1 =8 a n +7 bn -4 代入所设 的式子得:7 a n +6 bn -3+x (8 a n +7 bn -4)+z=y ( a n +x bn ? z )+t ,即:

( 7+8x) a n +( 6+7x) bn -3-4x+z= y ( a n +x bn ? z )+t

?7 ? 8 x ? y ? ,比较糸数令:?6 ? 7 x ? xy , ?? 3 ? 4 x ? z ? yz ? t ?







? 3 ?x ? 2 ? ? 或 ?y ? 7 ? 4 3 ? ?t ? ?3 ? 2 3 ? (6 ? 4 3 ) z ? ?

? 3 ?x ? ? 2 ? ? ?y ? 7 ? 4 3 ? ?t ? ?3 ? 2 3 ? (?6 ? 4 3 ) z ? ?





? ? 3 3 ?x ? ?x ? ? 2 2 ? ? ? ? 代入所设的式子得: 或 ?y ? 7 ? 4 3 ?y ? 7 ? 4 3 ? ? ?t ? ?3 ? 2 3 ? (6 ? 4 3 ) z ?t ? ?3 ? 2 3 ? (?6 ? 4 3 ) z ? ? ? ?
? ?a n ?1 ? ? ? ?a ? n ?1 ? ? ? ?a n ?1 ? ? ? ?a ? n ?1 ? ? 3 3 bn ?1 ? (7 ? 4 3 )( a n ? bn ) ? (3 ? 2 3 ) 2 2 3 3 bn ?1 ? (7 ? 4 3 )( a n ? bn ) ? (3 ? 2 3 ) 2 2 3 1 3 1 bn ?1 ? ? (7 ? 4 3 )( a n ? bn ? ) 2 2 2 2 3 1 3 1 bn ?1 ? ? (7 ? 4 3 )( a n ? bn ? ) 2 2 2 2

,即变为:

? 3 1 1 bn ? ? (7 ? 4 3 ) n ?1 ?a n ? ? 2 2 2 ,不难求得: ? , ?a ? 3 b ? 1 ? 1 (7 ? 4 3 ) n ?1 n n ? 2 2 2 ?

从而得到: a n =

3 1 1 (7 ? 4 3 ) n ?1 ? (7 ? 4 3 ) n ?1 。 , bn = (7 ? 4 3 ) n?1 ? (7 ? 4 3 ) n?1 ? 6 4 2

?

?

?

?

?a n ?1 ? a n cos? ? bn sin ? 例5、 已知数列{ a n }和{ bn }满足 a1 =1 , b1 =tanθ , ? ?bn ?1 ? a n sin ? ? bn cos?

,设 θ 为为已知实

数,求 a n 和 bn ;

4

解:设

an?1 +x bn ?1 =y ( a n +x bn ) ,将 an?1 = a n cosθ- bn sinθ 和 bn ?1 = a n sinθ+ bn cosθ 代入所设的式

子得: a n cosθ- bn sinθ+x ( a n sinθ+ bn cosθ)=y( a n +x bn ) ,即:
?cos? ? x sin ? ? y (cosθ+xsinθ) a n +( xcosθ-sinθ) bn = y ( a n +x bn ) , 比较糸数令: ? ,求得 x=? , ? x cos? ? sin ? ? xy

y=cosθ+?sinθ

, 其中?是虚数单位。将 x=? ,y=cosθ+?sinθ 代入所设的式子得:

公比为 cosθ+?sinθ an?1 +? bn ?1 =( cosθ+?sinθ)( a n +? bn ) ,易知数列{ a n +? bn }是首项为 1+?tanθ, 的 等 比 数 列 , 故 =
a n + ? bn =( 1+ ? tanθ) (cos? ? i sin ? ) n ?1 =

1 (cos n? ? i sin n? ) cos? sin n? bn = =secθsinnθ ,即所求的通项公式为: a n = secθcosnθ , bn = secθsinnθ cos?

1 (cos? ? i sin ? ) n cos? cos n? , 根 据 复 数 相 等 的 条 件 知 : an = =secθcosnθ , cos?



5


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