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高三数学总复习:专题一第1讲集合与常用逻辑用语(2)


2014-2015 学年度第二学期教学案例
年 级:ZX-12 编写时间:2015-03-02 主 备 人: 学 科:SX 编 号:NO:002 复备人:
复备栏 教学内容:集合与常用逻辑用语(2) 教学目标: 1. 理解集合间的关系,掌握集合的运算; 2. 掌握充分条件与必要条件。 3. 逻辑联结词、全称量词和存在量词。 教学重点: 逻辑联结词、全称量词和存在量词。 教学难点: 充分条件与必要条件. 教学过程: 一、 基础训练: 1. 已知集合 A={z∈C|z=1-2ai, a∈R}, B={z∈C||z|=2}, 则 A∩B=________. 解析:A∩B 中的元素同时具有 A,B 的特征,问题等价于|1-2ai|=2,a∈R,解 3 得 a=± . 2 故 A∩B={1+ 3i,1- 3i}. 答案:{1+ 3i,1- 3i} 2. 若命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,实数 a 的取值范围是________. 解析: ax2 - 2ax - 3≤0 恒成立,当 a = 0 时,- 3≤0 成立;当 a≠0 时, ?a<0 ? ? 得-3≤a<0; 2 ?Δ=4a +12a≤0. ? ∴-3≤a≤0. 答案:-3≤a≤0 3.命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为__________. 答案:若 a≤b,则 2a≤2b-1 4.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是__________________. 答案:存在一个能被 2 整除的数不是偶数 二、例题教学: 例 1 (2014· 徐州调研)设集合 A,B,则 A?B 是 A∩B=A 成立的________条件. 由 A?B,得 A∩B=A;反过来,由 A∩B=A,且(A∩B)?B,得 A?B.因此, A?B 是 A∩B=A 成立的充要条件. 充要 判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间 的对应关系, 把命题对应的元素用集合表示出来, 根据集合之间的包含关系进行判断, 再以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. 变式训练:

1

(1)设集合 A,B,则 A?B 是 A∪B=A 成立的________条件. (2)(2014· 高考天津卷改编)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件. 解析:(1)由 A?B,得 A∪B=B,不一定有 A∪B=A,反之 A∪B=A,也不一定 有 A?B. (2)当 ab≥0 时,可得 a>b 与 a|a|>b|b|等价.当 ab<0 时,可得 a>b 时 a|a|>0>b|b|; 反之,由 a|a|>b|b|知 a>0>b,即 a>b. 答案:(1) 既不充分也不必要 (2) 充要 (2014· 扬州调研)下列命题中的真命题的序号是________. 3 ①?x∈R,使得 sin xcos x= ; 5 x ②?x∈(-∞,0),2 >1; ③?x∈R,x2≥x-1; ④?x∈(0,π),sin x>cos x. 3 6 由 sin xcos x= , 得 sin 2x= >1, 故①错误; 结合指数函数和三角函数的图象, 5 5 1?2 3 可知②,④错误;因为 x2-x+1=? ?x-2? +4>0 恒成立,所以③正确. ③ (1)全称命题(存在性命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为 全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论. (2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时, 往往可以将条件进行等价转化. 若 是由命题的真假求某个参数的取值范围, 还可以考虑从集合的角度来思考, 将问题转 化为集合间的运算. 变式训练: (1)下列四个命题: π? 1 ①?x∈R,使 sin x+cos x=2;②对?x∈R,sin x+ ≥2;③对?x∈? ?0,2?, sin x 1 tan x+ ≥2;④?x∈R,使 sin x+cos x= 2. tan x 其中正确命题的序号为________. (2)命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为________. π? 解析:(1)∵sin x+cos x= 2sin? ?x+4?∈; 故①?x∈R,使 sin x+cos x=2 错误; ④?x∈R,使 sin x+cos x= 2正确; 1 1 ∵sin x+ ≥2 或 sin x+ ≤-2, sin x sin x 1 故②对?x∈R,sin x+ ≥2 错误; sin x π 1 1 0, ?,tan x>0, ③对?x∈? >0,由基本不等式可得 tan x+ ≥2 正确. ? 2? tan x tan x (2)?x∈R,2x2-3ax+9<0 为假命题,则?x∈R,2x2-3ax+9≥0 恒成立,有 Δ=9a2 -72≤0,解得-2 2≤a≤2 2. 答案:(1)③④ (2) 巩固练习: 1.给出以下三个命题: ①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0; ②在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B; 例2

2

③在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,若 b2-4ac<0,则方程有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________.(填序号) 解析: 在△ABC 中,由正弦定理得 sin A=sin B?a=b?A=B.故填②. 答案: ② 2.(2014· 苏州模拟)设 x,y∈R,则“x2+y2≥9”是“x>3 且 y≥3”的________ 条件.(填“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”) 解析:x2+y2≥9 表示以原点为圆心,3 为半径的圆上及圆外的点, 当 x2+y2≥9 时,x>3 且 y≥3 并不一定成立,当 x=2,y=3 时,x2+y2≥9,但 x>3 且 y≥3 不成立;而 x>3 且 y≥3 时,x2+y2≥9 一定成立,应填必要不充分. 答案: 必要不充分 3. 若命题“?x∈, 1+2x+a· 4x<0”是假命题, 则实数 a 的最小值为 __________. x 2 +1 1 1 1 解析:变形得 a<-( x )=-( x+ )2+ , 4 2 2 4 1 12 1 令 t= x,则 a<-(t+ ) + , 2 2 4 1 ∵x∈,∴t∈[ ,2], 2 12 1 1 ∴f(t)=-(t+ ) + 在[ ,2]上是减函数, 2 4 2 1 1 ∴min=f(2)=-(2+ )2+ =-6, 2 4 又因为该命题为假命题. ∴a≥-6, 故实数 a 的最小值为-6. 答案:-6 1? 2 4.(2014· 苏州押题)设平面点集 A={(x,y)|(y-x)? ?y-x?≥0},B={(x,y)|(x-1) +(y-1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为________. 1 解析: 由题意知 A∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分, 曲线 y= 与直线 y=x x 将圆(x-1)2+(y-1)2=1 分成 S1,S2,S3,S4 四部分.

1 ∵圆(x-1)2+(y-1)2=1 与 y= 的图象都关于直线 y=x 对称, x 从而 S1=S2,S3=S4,而 S1+S2+S3+S4=π, π ∴S 阴影=S2+S4= . 2 π 答案: 2

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