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2.1.2指数函数及其性质1


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指数函数及其性质( 个课时) 2.1.2 指数函数及其性质(2 个课时)
教学目标: 一. 教学目标: 1.知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景; ②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.情感、态度、

价值观 ①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题,分析问题的能力. 3.过程与方法 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. 二.重、难点 重点:指数函数的概念和性质及其应用. 难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用. 三、学法与教具: 法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨论法. ②教具:多媒体.

第一课时
一.教学设想: 教学设想 1. 情境设置 ① 在 本 章 的 开 头 , 问 题 ( 1 ) 中 时 间 x 与 GDP 值 中 的

y = 1.073 ( x ∈ x ≤ 20)与问题(2)
x

1 5 中时间t和C-14含量P的对应关系P=[( ) 30 ]t ,请问这两个函数有什么共同特 2
征. ②这两个函数有什么共同特征

1

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1 t 1 1 把P=[( )5730 ]变成P = [( ) 5730 ]t ,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数, 2 2 自变量为指数,即都可以用 y = a x ( a >0 且 a ≠1 来表示).
二.讲授新课 指数函数的定义 一般地,函数 y = a ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数
x

的定义域为 R. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) y = 2 (4) y = π
x+2 x

(2) y = ( 2) x (5) y = x
2

(3) y = 2 x (6) y = 4 x
2

(7) y = x x

(8) y = (a 1) x

( a >1,且 a ≠ 2 )
x

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时, a 是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R.

当x > 0时,a x等于0 若a = 0, x 当x ≤ 0时,a 无意义
若 a <0,如 y = ( 2) , 先时,对于x = , x =
x

1 6

1 等等,在实数范围内的函数值不 8

存在. 若 a =1,

y = 1x = 1,

1

是一个常量,没有研究的意义,只有满足 形 式 才 能 称 为 指 数 不 函 符 数 , 合

y = a x (a > 0, 且a ≠ 1)

a为常数,象y=2-3x ,y=2 x , y = x x , y = 3x +5 , y = 3x + 1等等,
y = a x (a > 0且a ≠ 1)的形式,所以不是指数函数 .

我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方 法来研究. 下面我们通过 先来研究 a >1 的情况 用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数 y = 2 x 的图象
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x
y = 2x

3.00
1 8

2.50

2.00
1 4

1.50

1.00
1 2

0.00
1 y=2x

0.50

1.00
2

1.50

2.00
4

y

--0 x

再研究,0< a <1 的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数 y = ( ) 的图象.
x

1 2

x
1 y = ( )x 2

2.50 2.00 1.50 1.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50
1 4 1 2

1

2

4

1 y = 2

x

y y

x ——————————————第 0 页 (共 9页)—————————————— 3 --------0 x

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从图中我们看出 y = 2 与y = ( ) 的图象有什么关系?
x x

1 2

通 过 图 象 看 出 y = 2 与y = ( ) 的图象关于y轴对称, 实 质 是 y = 2 上 的
x x

1 2

x

点(-x, y )
1 与y =( )x 上点(-x, y )关于y轴对称. 2
讨论: y = 2 与y = ( ) 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对
x x

1 2

吗? ② 利 用 电 脑 软 件 画 出 y=5 , y=3 ,y=( ) ,y =( ) 的 函 数 图 象 . x
x x x x
x

1 y = 5

y =5

1 3

1 5

8

y = 3x

1 y = 3

x

6

4

2

0
-2

-4

-6

-8

问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从 图 上 看 y = ax ( a > 1 ) 与 y = ax ( 0 < a < 1 ) 两 函 数 图 象 的 特 征 .

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8

y = a x (0 < a < 1)

6

y = a x (a > 1)

4

2

0
-2 -4

-6

-8

问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小) 值、奇偶性. 问题 3:指数函数 y = a x ( a >0 且 a ≠1) ,当底数越大时,函数图象间有什么 样的关系.

图象特征

函数性质

a >1 0< a <1 向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方
函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 自左向右, 图象逐渐上升 图象逐渐下降 在第一象限内的图 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 象纵坐标都大于 1

a >1

0< a <1 函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+

a 0 =1
增函数 减函数

x >0, a x >1 x <0, a x <1

x >0, a x <1 x <0, a x >1

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1) [ a, b]上, f (x )=a x( a >0 且 a ≠1) 在 值域是 [ f (a ), f (b)]或[ f (b), f (a )]; (2)若 x ≠ 0, 则f (x) ≠ 1; f (x)取遍所有正数当且仅当x ∈ R; (3)对于指数函数 f ( x ) = a x ( a >0 且 a ≠1) ,总有 f (1) = a; (4)当 a >1 时,若 x1 < x2 ,则 f ( x1 ) < f ( x2 ) ; 例题:
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例 1: 66 例 6)已知指数函数 f ( x) = a ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3, (P
x

π) ,求

f (0), f (1), f (3)的值.
分析:要求 f (0), f (1), f ( 3)的值,只需求出a, 得出f(x)=(π ) , 再把 0,1, 3 分别代入 x ,即可求得 f (0), f (1), f ( 3). 提问:要求出指数函数,需要几个条件? 课堂练习:P68 练习:第 1,2,3 题
1 3 x

补充练习:1、函数 f ( x ) = ( ) 的定义域和值域分别是多少?
x

1 2

2、当 x ∈ [ 1,1]时, 函数f ( x ) = 3x 2的值域是多少? 解(1) x ∈ R, y > 0 (2) (-

5 ,1) 3

例 2:求下列函数的定义域:

2 | x| 3 , 分析:类为 y = a x ( a ≠ 1, a > 0) 的定义域是 R,所以,要使(1)(2)题的定
(1) y = 2 x 4 (2) y = ( ) 义域,保要使其指数部分有意义就得 . 3.归纳小结 作业:P69 习题 2.1 A 组第 5、6 题 1、理解指数函数 y = a x ( a > 0), 注意a > 1与0 < a < 1两种情况。 2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分 类讨论的数学思想 .

4

第 2 课时
教学过程: 1、复习指数函数的图象和性质 2、例题
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例 1: 66 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (P (1)1.72.5 ( 2 ) 0.8 (3)
0.1



1.73
0.2

与 0.8

1.70.3 与

0.93.1
x

解法 1: 用数形结合的方法, (1) 如第 小题, 用图形计算器或计算机画出 y = 1.7

的图象,在图象上找出横坐标分别为 2.5, 3 的点,显然,图象上横坐标就为 3 的点
8

6

4

2

y = 1 .7 x
5 10

-10

-5

0

-2

-4

-6

-8

在横坐标为 2.5 的点的上方,所以 所以, 1.7
2.5

1.7 2.5 < 1.73 .
2.5

解法 2:用计算器直接计算: 1.7

≈ 3.77

1.73 ≈ 4.91

< 1.73

解法 3:由函数的单调性考虑 因 为 指 数 函 数 y = 1.7 x 在 R 上 是 增 函 数 , 且 2.5 < 3 , 所 以 ,

1.7 2.5 < 1.73
仿照以上方法可以解决第(2)小题 . 注:在第(3)小题中,可以用解法 1,解法 2 解决,但解法 3 不适合 . 由于 1.70.3=0.93.1 不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值 间找到 1,把这两数值分别与 1 比较大小,进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大小 . 思考: 1、已知 a = 0.80.7 , b = 0.80.9 , c = 1.20.8 , 按大小顺序排列 a, b, c .
1 1

2. 比较 a 3 与a 2的大小 ( a >0 且 a ≠0). 指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有很多实际的 应用. 例 2(P67 例 8)截止到 1999 年底,我们人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年
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平均均增长率控制在 1%, 那么经过 20 年后, 我国人口数最多为多少 (精确到亿) ? 分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题: 1999 年底 经过 1 年 经过 2 年 经过 3 年 经过 x 年 经过 20 年 人口约为 13 亿 人口约为 13(1+1%)亿 人口约为 13(1+1%) (1+1%)=13(1+1%)2 亿 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿 人口约为 13(1+1%) x 亿 人口约为 13(1+1%)20 亿

解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则

y = 13(1 + 1%) x
当 x =20 时, y = 13(1 + 1%) 20 ≈ 16(亿) 答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. 小结:类似上面此题,设原值为 N,平均增长率为 P,则对于经过时间 x 后总 量 y = N (1 + p ) x , 像y = N (1 + p ) x 等形如y = ka x ( K ∈ R , a >0 且 a ≠1)的函数 称为指数型函数 . 思考:P68 探究: (1)如果人口年均增长率提高 1 个平分点,利用计算器分别计算 20 年后,33 年后的我国人口数 . (2)如果年平均增长率保持在 2%,利用计算器 2020~2100 年,每隔 5 年相应的人 口数 . (3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势? (4)如何看待计划生育政策? 3.课堂练习 (1)右图是指数函数① y = a x ② y = bx ③ y = cx ④ y = d x 的图象,判

y = bx y = cx
Y=

y = ax

y = dx

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8

6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

断 a, b, c, d 与 1 的大小关系; (2)设 y1 = a ① y1 = y2
3 x +1

, y2 = a 2 x , 其中 a >0, a ≠1,确定 x 为何值时,有:

② y1 > y2

(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的

3 , 写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 4

的函数关系式,若要使存留的污垢,不超过原有的 1%,则少要漂洗几次(此题为 人教社 B 版 101 页第 6 题). 归纳小结:本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住 a >1 或 0< a < 时 y = a x 的图象,在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用,形 如 y = ka x (a>0 且 a ≠1). 作业:P69 A 组第 7 ,8 题 P70 B 组 第 1,4 题

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