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数学奥林匹克高中训练题(189)


2 0 1 5年第 3期 

4 l  

静   棣  茏寓   删拣  ( 1   8 9 )  
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识 码 : A   文章编 号 : 1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) 0 3—0 0 4 1 — 0 6  

第 一 试 

/>一

切线 Z 分别交 于点 C、 D . 设C B、 A D交于点 Q,  
Q关 于 P 的 对 称 点 为 S . 则 S的 轨 迹 方 程 为 



选择题 ( 每小题 8分 , 共6 4分 )  

1 . 若对任意 的  ∈[ a , a + 2 ] , 均有 
I   +a   I ≥2   I  I .  

8 . 设( 1 +  +  )  = ∑C k  , 其中, c 。 ,  
c   一 , c 3 0 0 为常数. 则  c 3   = — — .  
二、 解答题 ( 共5 6分 )  

则实数 a的取值 范围是 
2 . 已知 

( 2 x+√ , 4   +1 ) ( √   + 4— 2 ) ≥y> o .  

9 . ( 1 6分 ) 定义数列 { a   } : a 。 =1 , a : = 2 ,  
a   : 3 , 对任 意的 n ≥3 ,  
a n+l = a n - a n

则  + y的最小值 为— — .  

3 . 用[  ] 表 示 不 超 过 实 数  的 最 大 整  数. 则 

I+


乏. I 正   ^    

[   1] 一?  
4 ? 已知  )  
_一  

证明: a   为整数数列.   1 O . ( 2 O分 ) 过 抛物 线 厂:   = 4 y的焦 点 

作斜率 分别 为 k 。 、 k   的两 条 不 同直 线 Z   、  
Z : , 且k 。 + k : = 2 , 直线 Z 。 与抛 物线 厂交 于点  A 、  , 直线 f   与抛物线 ,交 于点 C 、 D, 以A B 、   C D为直径 的o  、 oⅣ 的公 共弦所在 的直 线 

,   (  ) =   ) ,  

(  ) = 厂 ( 一   ) …) .  
- - —   -

n 个 

则  (  )=— — .  

记为 Z . 求点  到直线 z 距离 的最小值.  
1 1 . ( 2 0 分) 设 n ( n 12 > ) 为 给定 正整 数.  

5 . 在 正 方体 A B C D— A l B 。 C   D l 中, 已知  棱长为 1 , 点 E在 A , D 1 上, 点 F在 C D上 , A l E  


2 E D 1 , D F= 2 F C . 则 三棱 锥 B—F E C l 的体  6 . 从集合 { 1 , 2 , …, 2   0 1 4 } 中随机 地 、 不 

求  s i n  

的值.  

积为— — .  
放 回地取 出三个 数 a 。 、 a : 、 a , , 然后 再 从剩 下 





试 

( 4 0分 ) 已知 a 、 b 、 C∈ R+ , 且 

的2   0 1 1 个 数 中 同样 随机地 、 不 放 回地取 出   三个数 b 1 、 b 2 、 b 3 . 则将 a l × a 2 × a 3 为长 、 宽、  

4a b c=a+b+C+1 .  

高的砖 能放进以 b 。 × b : × b   为长 、 宽、 高的盒 
子中的概率为— — .   7 . 已知椭 圆  +   = 1 , 与  轴交于点 A 、  

证明 : ∑( 口   + 口 ) ≥ 2∑ a b , 其中,   “ ∑” 表 示 轮 换 对 称和 .  
二、 ( 4 0分 ) 如图 1 , △A B C的内切 圆o,   与三边 B C 、 C A 、 A B分别 切 于点  、 E 、 F , 直线 

B, 过椭 圆上一 点 P( P不 与 A 、 B重合 ) 作椭  圆的切线 Z , 过点 A 、 B分别作  轴 的垂 线 , 与 

A , 、   与O, 分别交 于点 A   、 A 0 、 曰   、   o ( I   l   <l  0   I , I   B B l   l <I 胎0   I ) . 过点 A 0 、   作边 

4 2  

中 等 数 学 

A B的 平 行 线 分 别 与 o , 交于 点 C   、 C   , 联 结 


C  , 过点  作 C   F的一条 垂线与 C   4  

( 2   + 而
2 x  
l  

/  4 一   ) f   2 Y   1 /   1 > 1  


交于点 C , , 过点 F作 C   F的一条垂线 与C 日 B   交于 点 C   . 设 直线 A C  与 直 线 B C  交于 点 
C   , 类似地 , 得 到 点  、  . 证明: △/ 4   B   C   的  外 接 圆半 径 是 o , 半 径 的 2倍 .  

_ 、  
, )  
V 


√ ? +   4   ≥ — J = 、 = + =   4     2 V  
当  :   时,  
) ,  

+ —— .  

( 2   + 而
A。 D  C 
≥ 一 .   Y 

) f  

一 一

2\   ,  

l= 1 .  

y   J  

而  ) = 2 x+√ 4 戈   + 1 单 调递增 , 故 
1  

罔 1  

从而 ,  + y ≥y+   1≥2
. 

三、 ( 5 0分 ) 平面上有任意三点不共线 的  1 2个 点 , 以其 中任 意一 点为 始点 , 另一 点 为  终点作 向量 , 且作 出所有这样的向量. 若 三边 
向量 和 为 零 向 量 , 则称 该 三 角形 为 “ 零 三 角 

当  = Y =1 时, 上式等号成立.  

因 为 0 < 一  ̄   / 2   0 1 =< 4  詈 z   , 所 以 ,
0 <s i n   <   <t a n   .  

形” . 求 以这 1 2个点 为顶点 的零三 角形个 数 
的 最 大 值.  

四、 ( 5 0分 ) 证明 : 存 在无 穷多个素数 , 使  得对于这些 素 数 中 的每一 个 P, 至 少存 在一 
个 n∈ Z+ , 满 足 
p   l ( 2   0 1 4  + 2   0 1 4 ) .  
又 
.  

√ 2   0 1 4 , / 2   0 1 4  
则 

一  

J e   0 1 4  

> 2   0 1 4 .  
√2   0 1 4  

1  
2   工  
.  

1  
2   l  

参 考 答 案 
第 一 试 


S l n —_ 二 二二=

 

t an —_ = =二二=二 

 ̄ / 2   0 1 4  
<1+2   01 4 =2   01 5.  

 ̄ / 2   0 1 4  



1 . 0 ≤一 ÷.  
二 

故  1


l 龇 n  1  j l  
2  

一] = 2   0 1 4 .  

注意到 ,   1  + 0   I 12 >   l  I  

(  +0 ) 2 ≥4   2  

3   一2a x一口 2 ≤0  

(  一 Ⅱ ) ( 3 x+ 0 ) ≤0 .  

4 ‘ 南 ’  
记口   =  (  ) , 口 t =  
%  ’  

当  ∈[ 。 , 0+ 2 ] 时, 3  +0 ≤0 .  
故4 a+ 6 ≤o   0 ≤一   .  
2. 2 .  

, 且 

注意到 ,  

则 一 1 : 士 +  
0n   0 

l  

0 





1  

2 0 1 5年第 3期 

4 3  

去  \ (   0   一  / 1 + ? )   2 : . . ? =   \ 0 l   厂 ,     为C 3 , 则0 3 可为 C 4 或c 5 .  


0 2 若为 c 2 , 则n 3 可为 c 3 或c 4 或c 5 ; 口 2 若  故符合要求 的取法有 5 种, 概率 
5   1  
’  
2   2  

【 (  
n  

“   : f \   1 +   1 /  
1  
‘  

p  



(  

一  
1  

7 专+  = 1 (   ≠ ±  ) ?  
如 图 3, 设 P(   。 , Y o ) .  
C   I  ,   \  T S 

于是 , f 6 (  )=n   =  

(   +   一   ‘  
5 .   .  

如图 2 , 过 点 F作  。上 C   D。 , 联 结  B   F 。 , 与E C l 交于点 K .  
C 



 

JB  
图 3  

易知 , f c 。 :   +   _1 .  
CI  

易知 , Bl   F l 上E C 1 , E C 1 上面 B F K .  

因为 B F与 E C   异面垂 直 , 且距 离 为 l ,  
B F: E C 1 :  
V z棱  



[   ,  ] .  

, 所以,  
1   ECl ‘ . s  

千皂  一   ±   Q D一   - X O  



阿 cl  

嵌P Q   f / A C .  

=  

(  
?  

=   .  

易 知 , Q (   。 ,   ) . 从 而 , 一 s (   。 ,   ) .  
所以, 点 S的轨迹方程为 

6 ?  

≥ +  = 1 (   ≠ ±  ) ?  
8. 3 1 4 9
. 

不妨设 口 1 <0 2 <0 3 , b 1 <b 2<b 3 , 当且仅 

当0 l < b 1 , 0 2 < b 2 , 0 3 < b 3 时砖可放入盒 中.   设 c l < c 2 < …< c 6 是从 { 1 , 2 , …, 2   0 1 4 }   中选 出 的六个 数 , 再 从 中选 出三个 , 有 C  =  
2 0种方 法. 这 三个 作 为 a   、 口   、 口 , , 剩 下 三 个 

注意 到 ,  

( 1 +  + X 2 )   5 0 =( 1 + 戈+   2 ) ( 1 +  +   2 )   4 9  


( 1 +  +  ) ∑d k   .  

作为 b 。 、 b   、 b , . 符合要求 的 0   只能为 c 。 .  

令  =1 . 则 

中 等 数 学 

c 3  = 3   .  

由 I



=   4 y,
。  




4  

一4 =。 .  

二、 9 . 注意到 ,  
a3

【 ) ,:

+l  

设/ 4 (  1 , Y 1 ) , 8( x 2 , Y 2 ) .  


。  = n  一 。z + 

l 0,  

贝 0  l +   2 = 4 k 1 .  

= 



+ ? ) - a n _ 1  ̄   是+ 1 . 则  

, 一



于是  ,   M   :   丁

  : 2 k 。 l ,  

Y M =. j } l  M +2 =2 k  +2 .  

故 M( 2 k 。 , 2 k   + 2 ) .   类似地 , N( 2 k   , 2 k  + 2 ) .  
1.  

a 

b 3=4, b 4=  

+ 1:6, a  + l=a n b  一a  


n2  

注意到 , Y G = 一l ,  
戈  +  F  
G  

故a   + 1 +a   一 l =0   6  
小   a n + l+a   一 1   a n b n  
● 

^ f+  Ⅳ   2 k l+2 k 2   2   2  

2  

an 1  


an



1  



kl+k 2=2 .  

令c   =  n + 1 .  

=  

=  

-c n  

因此 , G ( 2 , 一1 ) .  

又因为公共弦与两圆的连心线垂直 
k M N=  

从而 , C 川 = c  =… = c 3 : 2 。   故  a   + 1 =口 R 6 n —a n _ l =a R ? 2 a n 一 1 一a n 一 1  
= a 


二  )
2 k     ,一 2 k   1  

:  +  : 2
一 l… z   一, ,  
,  



( 2 a  一1 ) ( 凡 ≥2 ) .  


所以, 公 共弦的斜 率为 一   1 =一   1 直线 l :  
y一( 一1 )=一   1(  


a   为整数数列.   又a 。 、 a   为整数 , 于是 
1 O . 如 图 4, 过点  、 Ⅳ  作 准线 Y=一1的 

垂线 , 垂足分别为 E、 F .  

2 )  

+ 2 y= O .  

\ \  
一  

于是 , 点  到直线 l 的距离为  d:   ±  
0 5  

±  

4  + } )   + 篆 】   . ≥     3 √ 5  
‘ 

/0  

F  

元  

E \\    
图4  

故 当  = 一  时, 点 M 到 直线 f 的距离 

的 最 / J 、 值 为 学.  
1 1 . 令  : c o s   + i   s i n   ( 』 i } : 1   2一 , n 一 1 ) ,  
凡  n 

由抛物线的性质 , 知准线 Y =一 1 为o 
与 oⅣ 的 公 切 线. 设 两 圆 的公 共 弦 与 公 切  线交于点 G _ 则 由切 割线定理 , 知 G为 E F的 
中点 .  

( 丘 J   = c o 0 s  

+  s i s i l n  

(  =I , z , …, ?   n J . ?  

由题 意知 F o ( 0 , 1 ) .  
设l l :  =k l   +1 .  


则  “ 一 1 = O的 n 个根为 1 ,   l , z 2 , …, Z   ;  
1= O的 n+ 1个根为 1 ,  l ,  2 , …, c c J   .  

2 0 1 5年 第 3期 

4 5  

故(  一1 ) (  一  +  一  +… +1 )  


(  一1 ) (  一 z 1 ) (  一 z 2 ) …(  一 z   一 1 )  

加  试 

=   1+   +… +   一 2+   一  


(  一 z 1 ) (  一 z 2 ) …(  一  一 1 )  

=   1+   +… +   一  +  

铮 ∑( 2 a + 1 ) ( 2 b + 1 ) = I I ( 2 a + 1 )   甘4 ∑a b + 4 ∑口 + 3   = 8 a b c + 4 ∑a b + 2 ∑口 + 1  
々  4a b c=a+b+C+1.  

=1 +  ( 1+   +… +   一   )  

=1+ x ( x— z 1 ) (  一 名 2 ) …(  一 名   一 I ) .  

另一方 面 ,  
(  一1 ) (   +  一 ’ +… +1 )  


(  一1 ) (  一  1 ) (  一  2 ) …(  一   )  
1+   +… +  “ 一 ’+  


其中, “ Ⅱ” 表示轮换对称积.  

则∑ 
j  2 =3 —  

= l  
1  


(  一  1 ) (  一c c J 2 ) …(  一 c c J   )  
(  一  1 ) (  一  2 ) …(  一   ) .  

=  1 +  (  一 z 1 ) (  一 z 2 ) …(  一  一 1 )  


∑ 

∑ 

= 1  

令 = c c J l , 得  1 +  I (  l — z 1 ) (  1 一  ) …(  l —  一 1 )= 0  


∑a ( 2 a + 1 )  


(  l 一   1 ) (  l - Z 2 ) …(  l — z   一 1 ) =一1 .  

[ ∑口 ( 2 口 + 1 ) 】 ( ∑   )  

两边取模得 
1=1 wl (  l —   1 ) (  l - Z 2 ) …(  l —  一 1 )  
n —l  


≥f ∑口 )   = ∑0   + 2 ∑a b  
∑(  + 0 ) ≥ 2 ∑a b .  
二、 先证 明一个引理.  

n —l  

I   o J 。 I   I I   I   o ) 。 一  I = I I   I   o J   一  I .  
:1   七= 1  

① 

又 I  l   -Z   I  


引理
\   /.2   . 2 7 t\  

如图5 , 过oD外一点  作 o0的 

,  

2 k T t  

条切 线 A T , T为 切点 , 再 过 A作一 条直 线 

I 咖  一 嘲   J + I   m   m   J  

与oD交 于  、 C两 点 ( A B< A C ) , 过点 C作  A T的平 行线与 o0交 于点  , 过  作 D T的 


= 2 _ 2 o o s (  ̄一  )  
nt  n +  1  J  

条垂线与 D B交 于点 . 则 
B AT :   E  1  

j 

s i n  

亿 

于是 , 式① 即为 
-=  
k  1  

= L   , ‘   , ‘ 1 - 1 ,   】 J  


n( | i } 一1 )+J i }  
n 

nI   n +   1   J  

E 

故  s i n  

=  

图5  

中 等 数 学 

证 明  设 T O 与 o  0 的 另 一 个 交 点 为 


联 结  B并 延 长 , 与A T交 于 点 5 , 联 结 
, 4 BS =  
=  

而∑  = c   : = 6 6 , 故  
i=l  

阳 、   . 则 
T  BC :   DBT  DT A=   AT E.   DTT  =9 0。一  

1 2  

1  

1 2  


∑c J  ,   . = 一   { ∑( 一 \  一 ^ i   一   x i ) ,  
i:j   厶 i=】  

3 3 .  

由调整法 , 知{   ,  , … 
】 2 

六个取 

又  T DE =  

T DB=  

T T   B=   BT S.  

DT E =/ T B S:9 0 。 .  

5 , 六个取6 时, ∑c   . 有最小值l 5 0 .  
因此 , 以这 l 2个 点 为 顶 点 的 零 三 角 形 个 

故△ D   c J ' ) A  T B S   B S=   =  
.  

数的最大值 为 7 0 .   四、 假设结 论 不 成立 , 则 可设 P   , P : , …,   P   为整 除形 如2   0 1 4  + 2   0 1 4这样 的数 中至 

5 ( L  ̄T B A   c o A  C T A  

T B=  
. 

因此 ,   =  

:  

.  

少其 中之一 的全部素数.  
考虑 +1个数2   0 1 4   ‘ +2   0 1 4( i =l , 2 ,  


又  A B S:   D B T   =   A T E, 则 
△A B S∽ △ A T E  
B AT=/ E AT .  

,  

+1 ) . 由于这些数是有 限数 , 故存在一个 

q∈ z+ , 使得 这  +1个 数 中的任 何 一个 均  不被 p   (  =l , 2 , …,  ) 整除.  

回到 原 题.  
由引 理 知 
C  BF =   I BF,   C   AF =   I AF 

又2   0 1 4   ‘ + 2   0 1 4 可 以足够大 , 知存 在一 
个凡 , 使得 
2   01 4   +2   01 4>   ,  

△ C   A B   △ l A B  
= = >C  A =A I . C  B =I B 

其 中, P=m a x { P 1 , P 2 , …, P   } .   对于这个 足够 大的2   0 1 4   “ +2   0 1 4 , 将其 

A B为 C   , 的 中垂 线 .   由  上 A B  

素因数分解 , 知必存在某个 p   的指数大于 q .  
考虑 这 个 足 够 大 的2   0 1 4   +2   0 1 4及 
2   01 4   + 2  01 4 ,2   01 4   + 2  01 4
. . .

, 、 F、 C   三点共线 , 且 F为 C   , 的 中点  C   , = 眨  2 I F= 2 r ( r 为o, 半径 ) .   类似地 , I l l   2 r , I B   2 r .  
l 一 2 
I I  



. 

故: , 为△ / 4   C   的外 心 , 且 △    有 
外 接 圆半 径 为 o, 半 径 的 2倍 .  

他 ∑ 

2   0 1 4   ”   + 2   0 1 4 这  + 1 个 数. 由于它们 每一 
C   的 

个均被某个 J D   整除, 但p   仅有  个 , 由抽屉 
原理 , 知这  +1 个数 中必存 在两个 数被 同一  个p   (  ∈ { 1 , 2 , …,  } ) 整除 , 即 
( 2   0 1 4   ”   + 2   0 1 4 ) ,   p   I ( 2   0 1 4   ”   + 2   0 1 4 ) ,  

三、 设这 l 2个 点分 别 为 P   , P   , …, P  ,  
所 确 定 的 j 角形 共 有 c   : 个.   设以 P   ( i :1 , 2 , …, l 2) 为 始 点 的 向 量  数为  ( 0 ≤  ≤1   1 ) .  

若 以某 三点为顶点 的三角形为非零三角 

其中, 0 ≤ <, . ≤  .   故一 2   0 1 4 -2   0 1 4   =( 2   0 1 4   ”   )   …  



形, 则恰 有一个点 是此 三角形 两边 向量 的始 
点. 于是 , 以P   为顶点 之一 且为两 边始 点 的 
非零 三 角形有 c   个. 从而, 以这些 点为顶 点 


2   0 1 4   …( o r o d   p   )   ( 2   …+ 2   o 1 4) .  

= = >  

与 q的选择矛盾.   综上 , 原结论成立.   ( 华 接 春  湖 南 省 长 沙 市 长 郡 中学 ,  
4 1 0 0 0 2)  

的 三角形中 非零三角形的 总数为∑ c   . .  

因 此, 零三角 形的 个数为c   : 一 ∑c : .  


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