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2.1.3 分层抽样


2.1.3

分层抽样

假设某地区有 高中生2400人,初 近视率% 80 中生10900人,小 学生11000人,此 60 地教育部门为了了 解本地区中小学的 40 近视情况及其形成 20 原因,要从本地区 的小学生中抽取 0 1%的学生进行调 小学 初中 高中 你认为哪些因素影响学生视 查,你认为应当怎 力?抽样要考虑和因素? 样抽

取样本?

导 思

1.分层抽样的概念 在抽样时,将总体分成 互不交叉的层,然后按照 从各层 独立 地抽取一定数量的个 一定的比例 , 体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种 抽样方法是一种分层抽样.

2.分层抽样的适用条件 分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息,并充 分考虑保持 样本结构 与 总体结构 的一致 性,这对提高样本的代表性非常重要.当总体是 由 差异明显 的几个部分组成时,往往选用分层 抽样的方法.

特点:
1 、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采 用的抽样方法,进行分层抽样时应注意以下几点: ( 1 )分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况 而定,总的原则是,层内样本的差异要小,面层之间的 样本差异要大,且互不重叠。 ( 2 )为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用 同一抽样比等可能抽样。 ( 3 )在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽 样的方法进行抽样。 2 、分层抽样的优点是:使样本具有较强的代表性, 并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法,因此分层抽 样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。

分层抽样的具体步骤是什么?
步骤1:根据已经掌握的信息,将总体分成互 不相交的层 分层 步骤2:根据总体的个体数N和样本容量n计算抽 样比k= n:N 求比 步骤3:确定每一层应抽取的个体数目,并使每一 层应抽取的个体数目之和为样本容量n 定数 步骤4:按步骤3确定的数目在各层中随机抽取个 体,合在一起得到容量为n样本 抽样

每层样本数量与每层个体数量 的比与样本容量与总体容量的 比相等。

对点讲练
知识点一 分层抽样的概念 例1 某社区有 700 户家庭,其中高收入家庭 225 户,中等收入家庭 400 户,低收入家庭 75 户,为 了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容 量为 100 户的样本,记作①;某中学高二年级有 12 名足球运动员,要从中选出 3 人调查学习负担情况, 记作②;从某厂生产的 802 辆轿车中抽取 8 辆测试 某项性能,记作③.则完成上述 3 项应采用的抽样方 法是 ( ) A.①用简单随机抽样,②用系统抽样,③用分层抽样 B.①用分层抽样,②用简单随机抽样,③用系统抽样 C.①用简单随机抽样,②用分层抽样,③用系统抽样 D.①用分层抽样,②用系统抽样,③用简单随机抽样

解析 对于①,总体由高收入家庭、中等收入家庭和 低收入家庭差异明显的三部分组成, 而所调查的指标 与收入情况密切相关,所以应采用分层抽样. 对于 ②,总体中的个体数较少,而且所调查内容对 12 名调查对象是平等的,应用简单随机抽样. 对于③,总体中的个体数较多,应用系统抽样.故选 B.

答案

B

知识点二 例2

分层抽样法的应用

某学校有在编人员 160 人,其中行政人员 16

人,教师 112 人,后勤人员 32 人,教育部门为了 了解学校机构的改革意见, 要从中抽取一个容量为 20 的样本,试确定用何种方法抽取,并写出抽样 过程.
分析 样. 总体由差异明显的几部分组成, 故采用分层抽

解 因为本题样本总体分成三类:行政人员、教师、 后勤人员, 符合分层抽样的特点, 故选用分层抽样方 法.

20 1 1 因为 = ,所以从行政人员中抽取 16× =2(人), 160 8 8 1 从教师中抽取 112× = 14(人 ),从后勤人员中抽取 8 1 32× =4(人). 8 因为行政人员和后勤人员较少,可将他们分别按 1~ 16 和 1~32 编号, 然后采用抽签法分别抽取 2 人和 4 人,对教师从 000,001,…,111 编号,然后用随机数 法抽取 14 人. 这样就得到了符合要求的容量为 20 的样本.

评 检
变式迁移 2 某城市有 210 家百货商店,其中大型商 店 20 家,中型商店 40 家,小型商店 150 家.为了 掌握各商店的营业情况,计划抽取一个容量为 21 的样本, 按照分层抽样方法抽取时, 各种百货商店 分别要抽取多少家?写出抽样过程.
21 1 解 (1)样本容量与总体的个体数的比为 = ; 210 10 (2)确定各种商店要抽取的数目: 1 1 大型:20× =2(家),中型:40× =4(家), 10 10 1 小型:150× =15(家); 10 (3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型: 2 家; 中型: 4 家;小型:15 家;这样便得到了所要抽取的样本.

知识点三 抽样方法的综合应用 例 3 下列问题中,最适合用简单随机抽样法抽样的 是 ( B ) 是 1~40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以 后为听取意见,要留下 32 名听众进行座谈 B.从 10 台冰箱中抽出 3 台进行质量检查 C. 某企业有 2 000 人. 其中管理人员 20 人, 工人 1 968 人,后勤人员 12 人.为了解企业机构改革意见, 要从中抽取一个容量为 20 的样本 D.某乡农田有山地 8 000 亩,丘陵 12 000 亩,平地 24 000 亩,洼地 4 000 亩,现抽取农田 480 亩估计 全乡农田平均产量 A.某电影院有 32 排座位,每排有 40 个座位,座位号

练习:某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、

三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查, 考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案, 使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年 级依次统一编号为 1,2,…,270;使用系统抽样时,将 学生统一随机编号 1, 2, …, 270,并将整个编号依次分 为10段.如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270
关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样

D

方法 类别

共同 特点

抽样特征

相互联系

适应范围

简单随 机抽样
系统 抽样 抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 相等

从总体中 逐个不放 回抽取 将总体分成 均衡几部分, 按规则关联 抽取 将总体分 成几层, 按比例分 层抽取 用简单随 机抽样抽 取起始号 码 用简单随 机抽样或 系统抽样 对各层抽 样

总体中 的个体 数较少 总体中 的个体 数较多 总体由 差异明 显的几 部分组 成

分层 抽样

课时作业
一、选择题 1.下列各项中属于分层抽样特点的是( B ) A.从总体中逐个抽取 B.将总体分成几层,分层进行抽取 C.将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部 分抽取 D.将总体随意分成几部分,然后随机抽取

2.某地区的高中分三类,A 类学校共有学生 4 000 人, B 类学校共有学生 2 000 人,C 类学校共有学生 3 000 人.现欲抽样分析某次考试的情况,若抽取 900 份试卷进行分析,则从 A 类学校抽取的试卷份 数应为 A.450 B.400 C.300 ( B ) D.200

4 000 解析 试卷份数应为 900× =400. 4 000+2 000+3 000

3.某中学高一年级有 540 人,高二年级有 440 人, 高三年级有 420 人,用分层抽样的方法抽取样本 容量为 70 的样本,则高一、高二、高三三个年级 分别抽取 A.28 人、24 人、18 人 B.25 人、24 人、21 人 C.26 人、24 人、20 人 D.27 人、22 人、21 人 ( D )

4.某大学数学系共有本科生 5 000 人,其中一、二、 三、 四年级的学生比为 4∶3∶2∶1.要用分层抽样 的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样 本,则应抽三年级的学生 A.80 人 B.40 人 C.60 人 (
B

)

D.20 人

5.已知某单位有职工 120 人,男职工有 90 人,现采 用分层抽样 (按男、女分层 )抽取一个样本,若已 知样本中有 27 名男职工,则样本容量为( A.30 C.40 B.36 D.无法确定

B)

二、填空题 6.某农场在三种地上种玉米,其中平地 210 亩,河 沟地 120 亩,山坡地 180 亩,估计产量时要从中 抽取 17 亩作为样本,则平地、河沟地、山坡地应 抽取的亩数分别是________ 7,4,6 .
17 17 解析 应抽取的亩数分别为 210× =7,120× 510 510 17 =4,180× =6. 510

7.计划从三个街道 20 000 人中抽取一个 200 人的样 本,现已知三个街道人数之比为 2∶3∶5,采用 分层抽样的方法抽取,则应分别抽取40,60,100 _________人.

8.有 A,B,C 三种零件,分别为 a 个,300 个,b 个.采用分层抽样法抽取一个容量为 45 的样本, A 种零件被抽取 20 个,C 种零件被抽取 10 个,则此 三种零件共有________ 900 个.

三、解答题 9. 某校高一年级 500 名学生中, 血型为 O 型的有 200 人,A 型的有 125 人,B 型的有 125 人,AB 型的 有 50 人.为了研究血型与色弱的关系,要从中抽 取一个容量为 40 的样本,应如何抽样?写出 AB 血型的样本的抽样过程.
解 因为 40÷ 500=2/25, 所以应用分层抽样法抽取血

型为 O 型的 16 人;A 型的 10 人;B 型的 10 人;AB 型的 4 人. AB 型的 4 人可这样抽取: 第一步:将 50 人随机编号,编号为 1,2,…,50;

第二步: 把以上 50 人的编号分别写在一张小纸条上, 揉成小球,制成号签; 第三步: 把得到的号签放入一个不透明的袋子中, 充 分搅匀; 第四步: 从袋子中逐个抽取四个号签, 并记录上面的 编号; 第五步:根据对应得到的编号找出要抽取的 4 人.

10.对某单位 1 000 名职工进行某项专门调查,调查 的项目与职工任职年限有关,人事部门提供了如 下资料: 任职年限 5 年以下 5~10 年 10 年以上 人数 300 500

200 1 试利用上述资料,设计一个抽样比为 的抽样方法. 10

1 解 因为抽样比为 ,故只需从 1 000 人中抽取 10 1 1 000× =100 人. 10 1 故从 5 年以下的抽 300× =30(人), 10 1 5~10 年的抽 500× =50(人), 10 1 10 年以上的抽 200× =20(人). 10

例4 某地区中小学生人数的分布情 况如下表所示(单位:人):
学段 小学 初中 高中 城市 县镇 农村 357 000 221 600 258 100 226 200 134 200 11 290 112 000 43 300 6 300

请根据上述基本数据,设计一个样本容 量为总体中个体数量的千分之一的抽样 方案.


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