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2009年交通大学自主招生考试数学试题


2009 年交通大学自主招生考试数学试题

一、填空题: (每题 5 分,共 50 分) 1.第一位将欧几里得的《几何原本》译成中文的中国明代学者是____ ;毕业于上海交通大学,在拓扑 学和机器证明上作出突出贡献的是____. 2.某商店失窃,赵、钱、孙、李四人涉案被拘审,四人口供如下:赵说“孙是窃贼”钱说“李是窃贼” ; 孙说“如果我作案,那么李是主犯”

;李说“我没有偷” .已知四个口供中只有一个是假的,可以断定, 说假话的是________;作案者是____. 3.在边长为 80 cm 的正方形地砖上随机投掷一枚半径为 10 cm 的圆盘,圆盘中心始终在地砖内,则圆盘 压在地砖边上的概率是____. 4.如图,用两个钢珠测算一圆柱形工件的内直径 D ,若半径为 r1 的钢珠上端与孔口平面距离为 H1 ,半 径为 r2 的钢珠上端与孔口平面距离为 H 2 ,则 D ? ________. 5.如果抛物线 y ? ax ? bx ? c 过 A ? ?3, 2? 、 B ? 5, 2 ? 两点,那么 6 5a ? 3 5b ? 1 ? ____.
2

OB 、 OC 、 OD , 6. 从空间一点 O 发出 4 条射线 OA 、 其两两所成的角均相等, 则这些角的大小是 arctan x ? arccos x 7.已知 ,则 x ? ____.



8.设 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列,从中选出部分项以原次序可组成等比数列 ak1 , ak2 ,?, akm ,若

k1 ? 1, k2 ? 5, k3 ? 17 ,则 k1 ? k2 ? ??? ? km ?
9.设 x ?

. .

1 1 ? 2 cos A ,则 x n ? n ? x x

10.函数 y ?

1 ? x2 的值域是 2? x
x



二、解答题: (本大题共 50 分) 1. (本题 10 分)众所周知,指数函数 a 恒大于 0.且有如下性质 x1 ? x2 ,若实数 a 1 ? a 2 ;对任意二
x x

实 数 x1 , x2 , 有 a 1

x ? x2

? a x1 a x2 . 如 果 一 个 函 数 f ? x ? 满 足 类 似 两 个 性 质 , 即 : 若 实 数 x1 ? x2 , 则

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ;对任意二实数 x1 , x2 ,有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? f ? x2 ? .能否判断 f ? x ? 也恒大于 0?说
明你的理由.

2.(本题 10 分)已知 m ≤2 2, n ? 0 ,求 y ? ? 8 ? m2 ?

? ?

16 ? 2 ? ? ? m ? n ? 的最小值. n?

2

1

3.( 本 题 10 分 ) 求 有 限 集 A ? ?a1, a2 , ???an ? , 其 中 a1 , a2 , ???an 为 互 不 相 等 的 正 整 数 , 使 得

a1a2 ??? an ? a1 ? a2 ???? ? an .

4.(本题 10 分)设 n 与 k 均为正整数,令 fk ? n? ? 1k ? 2k ????? nk .已知

f1 ? n ? ? 1 ? 2 ? ??? ? n ?

n2 n n3 n 2 n ? , f 2 ? n ? ? 12 ? 22 ? ??? ? n2 ? ? ? , 2 2 3 2 6 n 4 n3 n 2 ? ? ,试观察上述各式右端的多项式的系数,说出其特点,进而求出 4 2 4

f3 ? n ? ? 13 ? 23 ? ??? ? n3 ?

f4 ? n? .

5. (本题 10 分)下图是一个由 9 个小的九官格组成的 9×9 的方格,请运用已经显示的数字,确定每个 空格中的数字,使之符合以下个条件:(1)每一行和每一列中的 9 个数字必须是不重复的 1 到 9;(2)每一 个小九官格中的 9 个数字必须是不重复的 l 到 9.你填写的每一个数字都必须是依推理唯一确定的.本题 你只要填满任何 4 个小九官格就算完成.

2

2009 年交通大学自主招生考试试题参考答案
一、填空越(每题 5 分,共 50 分) 1.[答案]徐光启;吴文俊. 2.[答案]李;李和孙.

7 . 16 80 ? 80 ? 60 ? 60 60 ? 10 ? 2 ? 80 ? 10 ? 2 [解答] P ? (或 ) . 80 ? 80 80 ? 80
3.[答案] 4.[答案] r1 ? r2 ?

? r1 ? r1 ? ? ? H 2 ? r2 ? H1 ? r1 ?
2

2



[解答]如图, O1O2 ? r 1 ?r 2,O 1M ? H 2 ? r 2 ? H1 ? r 1, ∴ D ? r1 ? r2 ? MO2 ? r1 ? r2 ? 5.[答案] ?1 . [解答]依题意, 抛物线的对称轴是 x ? 1 , 所以 ? 所以 6 5a ? 3 5b ?1 ? ?1.

? r1 ? r1 ? ? ? H 2 ? r2 ? H1 ? r1 ?
2

2



b ? 1 ? 2a ? b ? 0 . 2a

1 . 3 B、 C、 D 构成正四而体的四个顶点,正四 [解答 1]在四条射线上截取 OA ? OB ? OC ? OD ? 1 , 则 A、
6.[答案] ? ? arccos 面 体 梭 长 AB ?

1 2 6 , 易 得 cos ?AOB ? ? , 所 求 角 为 3 3

? ? arccos .
[解答 2]如图,在正方体中截取正四面体 ABCD ,设 O 是正方体的 中心,易得

1 3

1 1 cos ?AOB ? ? ,所以 ?AOB ? ? ? arccos . 3 3
7.[答案]

?1 ? 5 2
1 ? x2 ?1 ? 5 ?1 ? 5 2 或x ? (舍) . ? x ? x2 ? 2 x 2

[解答] tan ? arccos x ? ? x,

∴x?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 或? (舍,∵ 0≤x≤1 ) .∴ x ? . 2 2 2
m

8.[答案] 3 ? m ? 1 .
2 [解答]由 a5 ? a1a17 ? ? a1 ? 4d ? ? a1 ? a1 ? 16d ? ,得 a1 ? 2d . 2

3

等比数列公比 q ?

a5 ? 3 , akn ? ? kn ?1? d ? 2d 3n?1 . a1

所以 kn ? 2 3n?1 , k1 ? k2 ???? ? km ? 3m ? m ?1 . 9.[答案] 2 cos nA .

? x ? cos A ? i sin A, ? [解答 1]解方程,得 ? 1 ? cos A ? i sin A, ? ?x
∴x ?
n

1 ? cos nA ? i sin nA ? cos nA ? i sin nA ? 2 cos nA . xn 1 n [解答 2]用数学归纳法证明: x ? n ? 2 cos nA . (过程略) x

10.[答案] ? 0,

? ?

3? ? 3 ?
sin ? ,表示半圆上一点( cos ? ,sin ? ) 与 cos ? ? 2

[解答 1] x ∈ ??1,1? ,令 x ? cos ? ,? ??0, ? ? ,则 y ? 点 ? ?2,0 ? 连线的斜率,由图形知 y ? ? 0,

? ?

3? ?. 3 ?
sin ? . cos ? ? 2
2

[解答 2]因 x ∈ ??1,1? ,令 x ? cos ? , ? ??0, ? ? ,则 y ?
2

由辅助角公式,得 sin ? ? y cos ? ? 1 ? y sin ?? ? ? ? ? 2 y ,所以 1 ? y ≥ 2 y . 又因为 y≥0 ,所以 y ? ? 0,

? ?

3? ?. 3 ?

二、解答题(本大题共 50 分) 1.[解答]

f ? x ? ? 0 恒成立,下面证明这个结论.
2

取 x1 ? x2 ? 0 ,则 f

? 0? ? f ? 0? ,∴ f ? 0? ? 1或 f ? 0? ? 0 .

若 f ? 0? ? 0 ,则 f ? x ? 0? ? f ? x ? f ? 0? ? 0 ,即 f ? x ? ? 0 ,与题设性质矛盾. ∴ f ? 0? ? 1. 取 x1 ? x2 ?

x 2? x? ,则 f ? x ? ? f ? ?≥0 . 2 ?2?

若f?

? x? ? x x? ? x? ? x? ? ? 0 ,则 f ? 0 ? ? f ? ? ? ? f ? ? f ? ? ? ? 0 ,矛盾. ?2? ?2 2? ?2? ? 2?

4

∴f?

? x? ? ? 0 ,∴ f ? x ? ? 0 恒成立, ?2?

2.[解答]令 A m, 8 ? m2 ,B ? n,

?

?

? 16 ? 2 ? ,点 A 在半圆 C1: x ? y ? 8 ? y≥0? 上,点 B 在双曲线 C2: ? n?

y?

16 ? x ? 0 ? 上. x
原题转化为:在 C1、C2 上各取一点 A、B,求 y ? AB 的最小值. 先求点 B 到点(0,0)的最小值.∵ BO ? n ?
2 2
2

162 ≥32 ,当 B 为(4,4)时, BO min ? 2 ? 4 2 , n2
2

联结 OB 交 C1 于点 A(2,2).所以取 A(2,2)、B(4,4)时, AB min ? 8 ,即 m ? 2, n ?4 时, ymin ? 8 . 3.[解答]不妨设 a1 ? a2 ? ??? ? an . ∵当 n ≥4 时, ? n ?1?!an ? n ,∴ a1a2 ??? an≥? n ?1?!an ? nan ? a1 ? a2 ????? an . ∴ n ≥4 时,集合 A 不存在. 当 n ? 3 时, a1a2 a3 ? a1 ? a2 ? a3 . 若 a2 ≥3,则 a1a2a3≥3a3 ? a1 ? a2 ? a3 ,集合 A 不存在, ∴ a2 ? 2 ,则 a1 ? 1 ,解得 a3 ? 3 .∴A ? ?1, 2,3? . 当 n ? 2 时, a1a2 ? a1 ? a2 ,∴ ? a1 ?1?? a2 ?1? ? 1.∴ a1 ? a2 ? 2 .矛盾,集合 A 不存在. 当 n ? 1 时,此时 A ? ?a1? ,无论 a1 取何正整数值,集合 A 都成立. 综上所述,集合 A={1,2,3}或 A ? ?a1? (共中 a1 取任一正整数值) . 4.[解答 1]特点:① f k ? n ? 可表示为 n 的 k ? 1 次多项式,且首项系数为 ②常数项为 0,第 k 次项系数为 ③各项系数和为 1. 设 f4 ? n ? ?

1 ; k ?1

1 ; 2

n2 1 4 ? n ? bn3 ? cn 2 ? dn ? 14 ? 24 ? ??? ? n 4 . 5 2

用 n ? 1、2、3 分别代入,得

5

3 ?1 1 ? 1 ? ? 5 ? 2 ? b ? c ? d ? 1, ?b ? c ? d ? 10 , b? , ? ? ? 3 ? 13 ? 32 ? ? ?8b ? 4c ? 2d ? , ? ?c ? 0, ? ? 8 ? 8b ? 4c ? 2d ? 17, 5 ?5 ? ? 1 89 ? 243 81 ? ?d ? ? . 30 ? 5 ? 2 ? 27b ? 9c ? 3d ? 98. ?27b ? 9c ? 3d ? 10 . ? ? ?
所以 f 4 ? n ? ?

1 5 1 4 1 3 1 n ? n ? n ? n. 5 2 3 30

[解答 2]特点同解答 1.
5 4 3 ∵ ? k ? 1? ? k ? 5k ? 10k ? 5k ? 1, k ? 1, 2,3, ???, n, 5

将这 n 个等式相加,得

i ? 1? ?? ??
i ?1

n

5

? i 5 ? ? 5 f 4 ? n ? ? 10 f3 ? n ? ? 10 f 2 ? n ? ? 5 f1 ? n ? ? n ? ? n ? 1? ? 1 , ?
5

n2 ? n ? 1? n ? n ? 1?? 2n ? 1? n ? n ? 1? ∴ 5 f 4 ? n ? ? ? n ? 1? ? 1 ? 10 ? 10 ?5 ?n 4 6 2
2 5

?n ?

2

? n? 6

? 6n

3

1 1 1 1 ? 9n2 ? n ? 1? ? f 4 ? n ? ? n5 ? n4 ? n3 ? n . 5 2 3 30

5.[解答]如下表:

6


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