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【名师解析】【2013天水一中三模】甘肃省天水一中2013届高三第三次检测考试数学(文)试题 扫描版


数学(文)试卷
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在下列各题的四个选项中,只有一项是最符合题 意的)

【答案】B 【 解析】因为 A ? B ? { x | x ? A且x ? B } ,又 A ? {2,3}, B ? {1,3,4} ,所以 A ? B ? {2} 。

【答案】C 【 解析】 因为 ( x ? 2)i ? y ? ?1 ? i , 所以 ?

?? y ? ?1 4 2 x? y 所以 (1 ? i ) , 即x ? 3, y ? 1 , ? ?1 ? i ? ? ? 2i ? ? ?4 。 ?x ? 2 ? 1

【答案】B 【 解析】该豆子落在区域 B 中的概率为: P ?

16 ? ? ?12 ? ? 1? 。 4? 4 16

【答案】C 【 解析】由题意,设过原点的直线为 y=kx,即 kx-y=0,因为过原点的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 有公

3 3 ? 5? ,? ) 。 ,所以直线的倾斜角的取值范围是 [0, ] ? [ ?k? 6 6 3 3 k 2 ? 12 S S 1 1 5. 设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 4 ? ,则 8 等于 ( )A. 9 S8 3 S16 1 1 3 B. C. D. 8 3 10
共点,所以

2k ? 0

? 1, 解得-

【答案】D

第1页

S4 1 ? ,不妨设 S8 3 所以数列 S 4 , S8 ? S 4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 的公差为 m, 所以 S12 ? S8 ? 3m, S16 ? S12 ? 4m , S 4 ? m, 则S8 ? 3m , S 3 所以 S16 ? 10m ,所以 8 ? 。 S16 10
【 解析】因为 {a n } 是等差数列,所以 S 4 , S8 ? S 4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 是等差数列,又 6.已知 a, b, c, d 是实数,则“ a ? b 且 c ? d ”是“ a ? c ? b ? d ? b ? c ? a ? d ”的 A.充分不必要条件 【答案】A 【 解析】因为 c ? d ,所以 c ? d ? 0 ,又 a ? b ,所以两边同时乘以 ? c ? d ? ,得: a ? c ? d ? ? b ? c ? d ? , 即 a ? c ? b ? d ? b ? c ? a ? d ;若 a ? c ? b ? d ? b ? c ? a ? d ,则 a ? c ? d ? ? b ? c ? d ? ,所以也可能 a ? b 且 B.必要不充分条件 C.充要条件 ( )

D.既不充分也不必要条件

c ? d 。因此选 A。

【答案】D 【 解 析 】 令 t ? sin x cos x ?

1 sin 2 x , 则 y ? log 1 t , 因 为 y ? log 1 t 是 单 调 递 减 函 数 , 所 以 2 2 2

? ?? ? y ? log 1 ? sin x cos x ? 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? k ? Z 。 4 2? ? 2

【答案】B 【 解析】 第一次循环:S ? S ? 2 ? 1, n ? n ? 1 ? 2, 满足条件S ? P , 再次循环; n ?1 第二次循环: S ? S ? 2 ? 3, n ? n ? 1 ? 3, 满足条件S ? P ,再次循 环;
第2页
n ?1

第三次循环: S ? S ? 2 第四次循环: S ? S ? 2

n ?1 n ?1

? 7, n ? n ? 1 ? 4, 满足条件S ? P ,再次循环; ? 15, n ? n ? 1 ? 5 ,此时不满足条件 S ? P ,结束循环,所以输出的 n 的值为 5.

【答案】C 【 解析】由三视图知:原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥,三棱柱的底面为边长是 2 的等边三角形, 高为 2,所以该几何体的表面积为 S ?

1 1 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 12 ? 3 。 2 2 2

【答案】A 【 解析】命题(1)错误,直线 n 可能与平面 α 平行,可能相交,可能在平面内;命题(2)错误,直线 n 可能与平面 α 平行,也可能在平面内;命题(3)错误;命题(4)正确。因此选 A。

【答案】D 【 解 析 】 构 造 函 数 f ? x ? ? x sin x , 易 知 函 数 f ? x ? ? x sin x 是 偶 函 数 , 且

? ?? f ? ? x ? ? sin x ? x cos x, 当x ? ?0, ? 时 , 函 数 f ? ? x ? >0 , 所 以 函 数 f ? x ? ? x sin x 在 ? 2? ? ? ? ? ?? 2 2 ? ? 2 , 0 ? ? , 在 ?0, ? ? ,所以由 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 得 ? sin ? ? ? sin ? ,所以 ? ? ? 。 ? ? ? 2?

第3页

【答案】A 【 解析】因为 M 在抛物线上,所以设点 M x, 2 px ,又因为到抛物线焦点 ?
2

?

?

?p ? , 0 ? 的距离为 p,所以有 ?2 ?

p? p ?3 p ? 2 ? 舍 ? ,设 A ? x1 , y1 ?,B ? x2 , y2 ? ,因为 M 为 AB 的中点,所 ? x ? ? ? 2 px ? p , 解得x ? 或x ? 2? 2 2 ? y ? y2 以 x1 ? x2 ? p, y1 ? y2 ? 2 p , 所 以 1 ? 2 , 又 因 为 AB 是 双 曲 线 上 的 点 , 所 以 满 足 x1 ? x2

? x1 ? ? y1 ? ? x2 ? ? y2 ? , ? ? - ? ? ? 1, ? ? - ? ? ? 1 ?a? ?b? ?a? ? b ? y ?y c2 ? a2 e2 ? 1 。 ? 2 ? 1 2 ? 2k ? e 2 ? 1, 所以k ? a2 x1 ? x2 2

2

2

2

2



? y22 ? y12 ?? x22 ? x12? ?

b2 a2



【答案】2 【 解析】因为 a n ?1 ?

1 ? an 1 ? an -1 -1 ????①,所以 an ? ????②,把②代入①得: an +1 ? ,即 1 ? an 1 ? an -1 an -1


an ?1an ?1 ? ?1



a1 ? 2







a1 ? a5 ? a 9 ? 2, a 3 ? a 7 ? a 9 ? ?

a1 ? a2…a 9 ? ? a1 ? a3? ?? a5 ? a 7? ? a9 ?? a 2 ? a 4? ? a 6 ? a8 ?2 。 ? ?

1 2







【答案】2
第4页

x?1 ? 2 x ? 2, ? 【 解析】 画出函数 f ( x ) ? ? 2 当 x>1 时的图像和函数 g ( x) ? ln ? x ? 1? 的图像, 如下图, ? x ? 4 x ? 3, x ? 1 ?
由图可知:两函数有 2 个交点。

【答案】 a ? ?1

?x ? y ? 2 ? 【 解析】令 z ? x ? 2 y ,画出约束条件 ? x ? y ? 2 的可行域,由可行域知:目标函数过点(1,-1)时, ?x ? 1 ? 取最小值,最小值为-1。所以要使 x ? 2 y ? a 恒成立,只需使目标函数 的最小值大于等于 a 即可,所以 a 的取值范围为 a ? -1 。

【答案】(2)(3) 【 解析】 (1)错误,应为系统抽样; (2) (3)正确; (4)对于回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 , 当 x 每增加一个单位时,y 平均增加 0.2 个单位; (5)错误,方差越大数据越分散。
^

第5页

第6页

第7页

答案
第8页

1-6 13. 2

BCBCAD

7-12 DBCADA 14.2 15. a ? ?1 16. (2)(3)

17 解: (1)∵acosB+bcosA=b,由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB, ∴sin(A+B)=sinB,--------3 分 即 sinC=sinB,∴b=c,∴C=B.--------------6 分 (2)△BCD 中,用正弦定理可得 = ,由第一问知道 C=B,而 BD 是角平分线,



=2cos.---------8 分

由于三角形内角和为 180°,设 A=x,B=2α =C,那么 4α +x=180°,故 α +=45°.--9 分 ∵sin=,∴cos=,∴cosα =cos(45°﹣)=cos45°cos+sin45°sin= ∴ =2cos=2cosα = .---------------12 分
-------4 分



18.(1)

优秀

非优秀

合计

甲班

10

50

60

乙班

20

30

50

合计

30

80

110
110(10×30-20×50)2

(2) 根据列联表中的数据, 得到 K = ≈7.487

2

60×50×30×80

<10.828.因此按 99.9%的

可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” -----------8 分 (3)设“抽到 9 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数 为(x,y).所有的基本事件有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、?、(6,6)共 36 个. 事件 A 包含的基本事件有:(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(5,5)、(4,6)(6,4)共

7 7 ,即抽到 9 号或 10 号的概率为 .-------12 分 36 36 1 S ?ACD h V A? PCD V P ? ACD S ? ?ACD ? ? 3 19 解: (1) 1 V P ? ABCD V P ? ABCD S ABCD S ABCD h 3 1 AD ? h / S ?ACD 2 2 又由 BC : AD ? 1 : 2 则 = ? 1 3 S ABCD ( AD ? BC ) ? h / 2
7 个.所以 P(A)=

P A
第9页

D
O Q

B

C

所以

V A? PCD 2 ? V P ? ABCD 3

4分

N

M

(2)存在,当 M 为 PD 中点时满足 CM //平面 PAB 证明:取 PA 中点 N,PD 中点 M,连接 NB,NM,MC 则 MN //
?

1 1 AD , 又由 BC // AD , ? 2 2
?

所以 MN // BC , 所以 MNBC 为平行四边形则 BN // CM 又由 BN ? 平面 PAB , CM ? 平面 PAB 所以 CM //平面 PAB (3)取 AB 中点 O,连 PO,OD,AC,且 OD,AC 交于 Q 由已知 Rt?AOD ? Rt?ABC

8分

? ?AOD ? ?ACB ? ?AOD ? ?OAQ ?
又由 AC ? PO ? AC ? 面 POD

?
2

? AC ? OD

10 分

AC ? PD

12 分
2

20.(1)由题意知:抛物线方程为: y ? 4 x 且 P ?? 1,0 ? 设 A( x 1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 由已知直线 l 斜率存在设 l : y ? k ( x ? 1) 代入 y ? 4 x 得
2

-------1 分

k 2 x 2 ? ( 2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ? ? 0 ? ?1 ? k ? 1 ? ( 2k 2 ? 4) ? x1 ? x 2 ? ? ? k2 ? x1 x 2 ? 1 ?

-------- 3 分

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

h?


k 1? k2

-------- 5 分

1 5 4 41 AB h ? 得 k ? ? 满足 ? ? 0 -------- 6 分 2 2 41
y1 y2 k ( x1 ? 1)( x 2 ? a ) ? k ( x 2 ? 1)( x1 ? a ) ? ? ----x1 ? a x 2 ? a ( x1 ? a )( x 2 ? a )

(2)假设存在 T (a , o ) 满足题意,则

k AT ? k BT ?
?

------8 分

? k ? 2 x1 x 2 ? (a ? 1)? x1 ? x 2 ? ? 2a
4 ? 2k ? 2a k2 整理得: a ? 1 ? 0 ?a ? 1
即 k ? 2 ? (a ? 1)
2

k ? 2 x 1 x 2 ? (a ? 1)( x 1 ? x 2 ) ? 2a ( x 1 ? a )( x 2 ? a )

?

?0

?? 0
----------10 分

?? 0

第 10 页

? 存在 T(1,0)----------------12 分
21.(1)解:f'(x)=lnx+1(x>0) ,令 f'(x)=0,得 ∵当 ∴当 时,
2

. 时,f'(x)>0,

时,f'(x)<0;当

.---------------------- 4 分 .

(2)F(x)=ax +lnx+1(x>0) , ①当 a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时, 令 F'(x)>0,得 2ax +1>0,解得 令 F'(x)<0,得 2ax +1<0,解得
2 2

; .

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在 上单调递增,在 上单调递减.

--------------------------------------------8 分 (3) 设切点 T(x0,y0)则 kAT=f′(x0) , ∴ 即 e x0+lnx0+1=0
2

设 h(x)=e x+lnx+1,当 x>0 时 h′(x)>0, ∴h(x)是单调递增函数 (10 分) ∴h(x)=0 最多只有一个根, 又 ∴ 由 f'(x0)=﹣1 得切线方程是 . (12 分) ,

2

22. 证明: (Ⅰ)连接 OC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OCA ? ?OAC . 2 分 又因为 AD ? CE ,所以 ?ACD ? ?CAD ? 90 ,
0

又因为 AC 平分 ?BAD ,所以 ?OAC ? ?CAD ,

4分 5分
0

o 所以 ?OCA ? ?ACD ? 90 ,即 OC ? CE ,所以 CE 是 e O 的切线.

(Ⅱ)连接 BC ,因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?BCA ? ?ADC ? 90 , 因为 ?OAC ? ?CAD , 8分

第 11 页

AC AD ? 2 所以△ ABC ∽△ ACD ,所以 AB AC ,即 AC ? AB ? AD .
2

10 分
2 2

23.(1)由 ? ? 6 cos ? 得 ? ? 6 ? cos ? ,所以 C2 的直角坐标方程是 x ? y ? 6 x ? 0 --2 分 由已知得 C1 的直角坐标方程是

x2 ? y2 ? 1 , a2

当 ? ? 0 时射线与曲线 C1 , C2 交点的直角坐标为 ? a, 0 ? , ? 6, 0 ? ,-----------3 分

x2 ? AB ? 4,? a ? 2 ? C1 的直角坐标方程是 ? y 2 ? 1 .①---------------5 分 4

1 ? ?x ? 1 ? 2 t ? (t为参数) ② -------7 分 (2) m 的参数方程为 ? ?y ? 3 t ? 2 ?
将②带入①得 13t 2 ? 4t ? 12 ? 0 ,设 D, E 点的参数是 t1,t2 ,则

t1 ? t 2 ? ?

4 12 , t1t 2 ? ? ? 0 -------8 分 13 13 4 ?|| PD | ? | PE ||?| t1 ? t 2 |? -------10 分 13
解之得 为所求.-----------------4 分

24 解: (Ⅰ)由|x﹣a|≤m 得 a﹣m≤x≤a+m, 所以

(Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|, 所以 f(x)+t≥f(x+t)?|x|﹣|x﹣2|≤t,

?2, x ? 2 ? 令 h( x) ?| x | ? | x ? 2 |? ?2 x ? 2,0 ? x ? 2 ---------6 分 ?? 2, x ? 0 ?
所以,当 t ? 2 时,不等式①恒成立,解集为 R;-------8 分 当 0 ? t ? 2 时,解集为 {x | x ?

t ? 1} --------10 分 2

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