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解三角形(2013高考题)


2013 年全国各地高考真题汇编(理科)
解三角形(理科)
(13 四川高考)在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是(
2 2 2

)

A、 (0,

?
6

]

B、 [

?
6

,? )

C、 (0,

?
6

]

D、 [

?
3

,? )
2

(13 辽宁高考) ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c , a sin A sin B ? b cos A ? 则

2a

b ?( a

) B、 2 2 C、 3 D、 2

A、 2 3

(13 天津高考)如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? AD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2 BD ,则 sin C 的值为( A. ) B.

3 3

3 6

C.

6 3
2 2

D.

6 6

(13 重庆高考)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a, b, c 满足 (a ? b) ? c ? 4 ,且 C=60°, 则 ab 的值为( A. ) B. 8 ? 4 3 C. 1 D.

4 3

2 3
.
? ?

(13 全国课标)在

? ABC 中, B ? 60 , AC ?
?

3 ,则 AB ? 2BC 的最大值为

(13 上海高考)在相距 2 千米的 A 、 B 两点处测量目标点 C ,若 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 60 , 则 A 、 C 两点之间的距离为
o

千米.

(13 安徽高考) 已知 ?ABC 的一个内角为 120 , 并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则 ?ABC 的面积为___ (13 北京高考) 在 ?ABC 中, 若 b ? 5 ,? B ?

? n A ? ____________;a ? _______________。 ,tan A ? 2 , 则 si 4

(13 福建高考)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等于______。 (13 湖北高考)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 , b ? 2 , cos C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos? A ? C ? 的值. (13 江西高考)在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin (1) 求 sin C 的值; (2)若 a ? b ? 4(a ? b) ? 8 ,求边 c 的值.
2 2

1 . 4

C . 2

(13 浙江高考)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b, c .

2013 年全国各地高考真题汇编(理科)
已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ?, 且 ac ? (1)当 p ?

1 2 b . 4

5 , b ? 1 时,求 a, c 的值; 4

(2) 若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; (13 山东高考)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c .已知

cos A ? 2cos C 2 c ? a . ? cos B b

sin C 的值; sin A 1 (2)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 4
(1)求 (13 全国大纲) ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .已知 A ? C ? 90 , a ? c ? (13 江苏高考)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . (1)若 sin( A ? (2)若 cos A ?
?

2b ,求 C .

?
6

) ? 2cos A ,求 A 的值;

1 , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

(13 广州调研)已知 VABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 a ? 1,b ? 2, B ? (1) 求 sin A 的值; (2) 求 cos 2C 的值. (13 佛山质检)如图,在△ ABC 中, ?C ? 45 , D 为 BC 中点, BC ? 2 .
?

?
3

.

A

记锐角 ?ADB ? ? .且满足 cos 2? ? ? (1)求 cos ? ; (2)求 BC 边上高的值.

7 . 25

C

D

B

12.已知角 ? ? (0, ? ) ,向量 m ? (2 , cos ? ) ,

??

?? ? ? n ? (cos 2 ? , 1 ) ,且 m ? n ? 1, f ( x) ? 3 sin x ? cos x 。 (Ⅰ)求角 ? 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ? ? ) 的单调递减区间。

2013 年全国各地高考真题汇编(理科)
参考答案
(13 四川高考)答案:C 解析:由正弦定理 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C 得:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc,? cos A ?
0? A?

b2 ? c2 ? a2 1 ? ,又 0 ? A ? ? 2bc 2

?
3


2 2

(13 辽宁高考)解:由正弦定理有 sin A sin B ? sin B cos A ? 理有

2 sin A ,即 sin B ? 2 sin A ,再由正弦定

b ? 2 ,选 D。 a
3 6 ,? sin ?BDC ? 3 3

(13 天津高考)答案:D 解:设 BD ? x, 由条件在 ?ABD 中,由余弦定理可得到 cos ?ADB ?

在 ?BCD 中由正弦定理有 sin C ? (13 重庆高考)答案:A

6 。 6

解析:由 (a ? b) ? c ? 4 得: a ? b ? c ? 4 ? 2ab ,又由余弦定理得: a ? b ? c ? ab
2 2

2

2

2

2

2

2

所以 4 ? 2ab ? ab ,则 ab ?

4 。 3

(13 全国课标) 【答案】 2 7 【解析】依题意知 A ? C ?

2? 2? 2? ? ? ,? C ? ? A? 0 ? A ? ? ,由正弦定理可得 3 3 3 ? ?

BC ? sin A

AB 3 ? 2? ? ? ? 2,? AB ? 2sin ? ? A ? , BC ? 2sin A ? 2 ? ? ? ? 3 ? sin ? ? A ? sin 3 3 ? ?

? ? 2? ? ? AB ? 2 BC ? 2sin ? ? A ? ? 4sin A ? 5sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin ? A ? ? ? ? 2 7 ,当 A ? ? ? 时" 2 ? 3 ?
="成立. (13 上海高考) 【答案】 6 【解析】 ?C ? 45 , 由正弦定理:
?

AC AB ? ? AC ? 6 . ? sin 60 sin 45?

(13 安徽高考)解:设三边长为 m, m ? 4, m ? 8(m ? 0) ,则 120 ? 的对边为 m ? 8 ,由余弦定理可得:

2013 年全国各地高考真题汇编(理科)
(m ? 8) 2 ? (m ? 4) 2 ? m2 ? 2 ? m(m ? 4) cos120 ? ,化简得: m 2 ? 2m ? 24 ? 0
又 m ? 0 ,解得 m ? 6 ? S ?

1 ? 6 ?10 ? sin120 ? ? 15 3 2

(13 北京高考)解:由 tan A ? 2 ,可求得 sin A ?

2 5 ,由正弦定理可求得 a ? 2 10 5

(13 福建高考)答案: 2 (13 湖北高考)解析: (Ⅰ)∵ c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ? ∴c ? 2 ∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 . (Ⅱ)∵ cos C ?

1 ?4 4

15 1 ?1? 2 ,∴ sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ? ? ? , 4 4 ?4?

2

∴ sin A ?

a sin C ? c

15 4 ? 15 2 8
2

∵ a ? c ,∴ A ? C ,故 A 为锐角,

? 15 ? 7 ? ∴ cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? ? 8 ? ?8 ? ?
2

∴ cos? A ? C ? ? cos A cosC ? sin A sin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 4 16

(13 江西高考)解: (1)已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin

C 2 C C C C C C C ? 2 sin cos ? cos2 ? sin2 ? cos2 ? sin2 ? sin 2 2 2 2 2 2 2
C C C C C? C C ? cos ? 2 sin2 ? sin ? 0 ? sin ? 2 cos ? 2 sin ? 1? ? 0 2 2 2 2 2? 2 2 ?
C ?0 2
2

整理即有: 2 sin

又 C 为 ?ABC 中的角,? sin

C C 1 C? 1 C C C C 1 ? C ? sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? ?2 sin cos ? cos2 ? sin 2 ? 2 2 2 2 2? 4 2 2 2 2 4 ?

? 2 sin

C C 3 3 cos ? ? sin C ? 2 2 4 4
2 2

(2)? a ? b ? 4?a ? b? ? 8

? a 2 ? b 2 ? 4a ? 4b ? 4 ? 4 ? 0 ? ?a ? 2? ? ?b ? 2? ? 0 ? a ? 2, b ? 2
2 2

2013 年全国各地高考真题汇编(理科)
由(1)中有 sin

C C C ? C ? ? ? ? cos ? 0 及 ? (0, ) 得 ? ( , ) ,? C ? ( , ? ) 2 2 2 2 2 4 2 2
2

又? cos C ? ? 1 ? sin C ? ? (13 浙江高考) 解: (1)当 p ?

7 2 2 ,? c ? a ? b ? 2ab cos C ? 7 ? 1 4
5 1 5 5 , b ? 1 时,由正弦定理有 a ? c ? b ? ,又 ac ? b 2 ,所以 4 4 4 4

5 ?a ? 1 ? 1 ? ?a ? ac ? ,联立解得 ? 4。 5 ,或 ? 4 c ? ? ? 4 ? ?c ? 1
(2)由正弦定理有 a ? c ? pb ,由余弦定理有

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B
? p 2b 2 ? b2 b2 c o s B 3 1 2 ? ,即 p ? ? cos B ,而角 B 为锐角,则 0 ? cos B ? 1, 2 2 2 2

6 3 ? p? 2。 ? ? p 2 ? 2 ,又 p ? 0 ,? 2 2
(13 山东高考) 【解析】 (Ⅰ)由正弦定理得 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B,

c ? 2 R sin C ,





c

A ?o s C? ? c B o s b

2

=

c c

2sin a o C ? sin sA sin B

,

2



B ? C ,)即 sin C ? 2sin A , sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , 即 有 sin(A ? B )? 2 sin(
所以

sin C =2. sin A

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

c sin C =2,即 c ? 2a ,又因为 b ? 2 ,所以由余弦定理得: ? a sin A 1 1 b2 ? c2 ? a 2 ? 2ac cos B , 即 22 ? 4a 2 ? a 2 ? 2a ? 2a ? , 解 得 a ? 1 , 所 以 c=2, 又 因 为 cos B ? , 所 以 4 4

sinB =

1 1 15 15 15 ,故 ?ABC 的面积为 S= ac sin B ? ?1? 2 ? = . 2 2 4 4 4

(13 全国大纲) 【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式,考查考生对 基础知识、基本技能的掌握情况. 【解析】由 a ? c ?

2b 及正弦定理可得

sin A ? sin C ? 2 sin B ,又由 A ? C ? 90? , B ? 180 ? ( A ? C ) ,故
cos C ? sin C ? 2 sin( A ? C ) = 2 sin(90? ? 2C ) = 2 cos 2C

2013 年全国各地高考真题汇编(理科)
?
因为

2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , cos(45? ? C ) ? cos 2C 2 2
? ,所以 0? ? C ? 9 0 ? 2C ? 4 5 ? C , C ? 15
?

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较 低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根 据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化. (13 江苏高考) 解: (1) 由 si n( A ? ) 2c ?os

?

6

A 得:sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

?

3 1 sin A ? cos A ? 2 cos A 2 2

所以

3 3 ? sin A ? cos A ,则 tan A ? 3 ,而 0 ? A ? ? ,所以 A ? 2 2 3

(2)由余弦定理有: cos A ? 由余弦定理得: cos C ? 故 sin C ? 1 ? sin C ?
2

b 2 ? c 2 ? a 2 9c 2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? ,所以 a 2 ? 8c 2 2 2bc 6c 3

a 2 ? b 2 ? c 2 8c 2 ? 9c 2 ? c 2 2 2 ? ? 2ab 3 2 ? 2 2c ? 3c

1 3

(13广州调研)(本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识,考查化归与 转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ a ? 1,b ? 2, B ?

?
3

,

依据正弦定理得:

a b ? , sin A sin B
,解得 sin A ?

…………… 1 分



1 ? sin A

2 3 2

3 . 4

…………… 3 分

2013 年全国各地高考真题汇编(理科)

? ?

5 ? 3 13 . 16

…………… 12 分

(13 茂 名一模)如图,角 A 为钝角,且 sin A ? 两边上不同于点 A 的动点。

3 ,点 P 、 Q 分别是在角 A 的 5

(1)若 AP =5, PQ = 3 5 ,求 AQ 的长; (2)设 ?APQ ? ? , ?AQP ? ? , 且 cos? ?

12 , 求 sin(2? ? ? ) 的值. 13

2013 年全国各地高考真题汇编(理科)

(13 佛山质检)解析: (1)∵ cos 2? ? 2cos ? ?1 ? ?
2

∵ ? ? (0,

?
2

7 9 2 ,∴ cos ? ? , 25 25
-----------------5 分

) ,∴ cos ? ?

3 . 5
2

(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos ? ?

4 , 5

2013 年全国各地高考真题汇编(理科)


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