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北京海淀2012-2013学年高一期中考试数学试题


2012—2013 学年度第一学期期中练习 高一数学
选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合要求的,把答案填在答题卡. 1.已知集合 A ? ?x | x( x ? 1) ? 0? ,那么 A. 0 ? A B. 1? A C. ?1? A ( ) D. 0 ? A ( B、 a ? 1
2

/>
2.已知函数 f ? x ? ? x2 ,那么 f ? a ? 1? 的值为 A、 a ? a ? 2
2



C、 a ? 2 a ? 2
2

D、 a ? 2a ? 1
2

3.已知集合 A 到 B 的映射 f : x ? y ? 2 x ? 1 ,那么集合 A 中元素 2 在 B 中所对应的元素是( A.2 4.下列各式错误 的是 .. A. 30.8 ? 30.7 C. 0.75?0.1 ? 0.750.1 B.5 C.6 D.8 ( )



B. log 0.5 0.4 ? log 0.5 0.6 D. lg1.6 ? lg1.4 )

5.在同一坐标系中,函数 y ? log3 x 与 y ? log 1 x 的图象之间的关系是(
3

A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称

B.关于 x 轴对称 D.关于直线 y ? x 对称 )

6. 下列函数 f ( x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0 ,? ?) ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ? x2 ? ”的是( A. f ( x) ? ( x ? 1)2 B. f ( x ) ?
1 x

C. f ( x ) ? 2 x

D. f ( x) ? lg( x ? 1) )

7. 设 a 为常数,函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3 ,若 f ( x ? a ) 为偶函数,则 a 等于(

A. ?1 B.1 C.2 D. ?2 1) 内存在一个零点,则实数 a 的取值范围是( 8.已知函数 f ( x) ? 2ax ? 1 ? 3a 在 (0 ,
1 A. ? a ? 1 3



B. a ?

1 3
y -1 O 1 x

1 D a ?1 3 9. 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)(其中 a ? b ) ,若 f ( x) 的图象如右图所示,则

C. a ? 1 或 a ?

函数 g ( x) ? a ? b 的图象是(
x



1

y 1 O A x O B

y 1 x O C

y 1 x O D

y 1 x

0) 为增函数, f (?1) ? 0 , 10. 设定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是偶函数, 且 f ( x) 在 (?? , 则不等式 x ? f ( x) < 0

的解集为(
0) A. (?1,


(1,? ?)

0? B. ? ?1, 0] D. [?1,

?1,? ?? ?1,? ??

C. ? ?1,0 ?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分, 11.函数 y ?
1 ? x ? 1 的定义域是_____________. x
2

12.计算: 3log3 9 ? log 1 4 ? 8 3 ? ______________.
2

3] 的值域是_____________. 13.函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1, x ? [1 ,

?2 x , x ≤ 0 , 1 14.已知函数 f ( x) ? ? 若 f (a) ? ,则实数 a ? ____________. 2 x ? 1 , x ? 0 , ?
1? ? 15.已知幂函数的图象经过点 ? 2 , ? ,则函数的解析式 f ( x) ? ______________. 8? ?
2 16.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x, 其中 a ? 1 ? x ? a ? 1 , a ?R . 设集合

M ? {(m, f (n)) | m, n ?[a ? 1, a ? 1]},若 M 中的所有点围成的平面区域面积为 S ,
则 S 的最小值为________________ 三、解答题:本大题共 4 小题,共 36 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 6 分) 设集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? a} ,若
2

(1) A ? B ,求 a 的取值范围. (2) A

B ? ? ,求 a 的取值范围.

2

18. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? log2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) . (I) 求函数 f ( x) 的定义域; (II) 判断函数 f ( x) 的奇偶性;

(III)求 f (

2 ) 的值. 2

19. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?
x . x ?1 ⑴ 求 f ( f (3)) 的值; ⑵ 判断函数在 (1,? ?) 上单调性,并用定义加以证明. x 的图像在 x 轴上方? x ?1

(3)当 x 取什么值时, f ( x) ?

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 y ? a
2x

? 2a x ?1(a ? 0, 且 a ? 1) 在区间 ??1,1? 上的最大值是 7,求 a 的值

3

2012—2013 学年度第一学期期中练习 高一数学
一、选择题 ADBCBBDCAA 二、填空题 11.

答案

?x | x ? ?1且x ? 0?

12.0

13.[0.15]

14. ? 1,

3 2

15. y ? x ?3

16.2

(1) 17.解:

A ? {x |1 ? x ? 2} ,....................2 分

A? B

? a ? 2 .....................................................................4 分
(2) A

B ? ? ,? a ? 1 ......................................6 分
?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0
? x ? ?1 , ?1 ? x
……………………………….1 分

18.解: ( I ) 因为 ?

所以 ?

得到 ?1 ? x ? 1

…………………….2 分

所以函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ( II ) 函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) , 当 x ? ( ?1,1) 时, ? x ? (?1,1)

…………………….3 分

………… …….4 分

因为 f (? x) ? log2 (1 ? (? x)) ? log2 (1 ? (? x)) …………….5 分

? log2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x)

? f ( x)

…………….6 分

所以函数 f ( x) ? log2 (1 ? x) ? log2 (1 ? x) 是偶函数 …….7 分 ( III ) 因为 f (

2 2 2 ) ? log 2 (1 ? ) ? log 2 (1 ? ) 2 2 2 2 2 )(1 ? )] 2 2
…………….9 分

? log 2 [(1 ?

1 ? log 2 (1 ? ) 2
4

? log 2
= ?1

1 2

3 19.解:(1) f ( f (3)) ? f ( ) ? 3 ................................................2 分 2

(2)函数在 (1,? ?) 上单调递减...........................................3 分 证明:设 x1 , x 2 是 (1,??) 上的任意两个实数,且 x1 ? x 2 ,则................4 分

?x ? x1 ? x2 ? 0

?y ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ?

1 1 x2 ? x1 ?1 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ....................6 分

由 x1 , x2 ? (1,??) ,得 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ,且 x2 ? x1 ? ?x ? 0 于是 ?y ? 0 所以, f ( x ) ? (3) f ( x) ?

x 在 (1,??) 上是减函数 .......................... ........8 分 x ?1
x ? 1或x ? 0

x ?0 x ?1



........................................................10 分

20.
x 解:设 t ? a ,则 y ? f (t ) ? t 2 ? 2t-1=(t+1)2 ? 2 ...............2 分

(1)当 0<a ? 1 时,

?1 ? x ? 1 ,? a ? t ?

1 a

f t) 此时, ( 在 [ a , ] 上是增函数................................4 分

? ymax
? a=

1 a 1 2 1 1 2 ? f ( ) ? 2 ? ? 8 ? 0 ,? ? 2, 或 ? ?4 (舍) a a a a a

1 ............................................................................6 分 2 1 (2)当 a >1 时, ?1 ? x ? 1 ,? ? t ? a a 1 f t) 此时, ( 在 [ a , ] 上是增函数 a

? ymax ? f (a) ? a 2 ? 2a ? 8 ? 0 .............8 分

?a ? 2, 或a ? ?4 ,(舍)...................9 分
5

综上所述: a=2 .或 a=

1 ...........................................................................10 分 2

6


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