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江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三上学期期中调研测试数学理试题


泰兴市第三高级中学 2013-2014 学年度期中调研测试
高三数学(理)试题
1、已知复数 z ? x ? yi( x, y ? R) ,且 (1 ? 2i) z ? 5 ,则 x ? y ? 2、已知集合 M ? x 5 ? 2 x ? 3 ? N ▲ ▲
2013.10.29

13、设等差数列 ?an ? 的首项及公差均是正整数 ,前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , a4 ? 6 , S3 ? 12 ,则 a2013 = ...



一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)

x ?1 ?ln x, ? 14、已知函数 f ( x) ? ? 1 ( a 为常数, e 为自然对数的底数)的图象在点 A(e,1) 处的切线 ( x ? 2)( x ? a ), x ? 1 ? ?e
与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数 a 的取值范围是 ▲ 二、解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分 14 分) 已知 a, b, c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2) (1)若 | c |? 2 5 ,且 c // a ,求: c 的坐标 (2)若 | b |?

?

*

? ,则 M 的所有非空真子集的个数是


3、已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? ?? ,则 sin a7 = 4、给出下列几个命题: ① | a |?| b | 是 a ? b 的必要不充分条件;

5 ,且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 2

②若 A、B、C、D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a ? b ? a ? c 则 b ? c ④ a ? b 的充要条件是 ?

? ? a // b ? ?| a |?| b |

; 16. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 c ? a ? b ? ab .
2 2 2

⑤若 i, j 为互相垂直的单位向量, a ? i ? 2 j , b ? i ? ? j ,则 a, b 的夹角为锐角的充要条件是 ? ? ? ??, 其中,正确命题的序号是 ▲ ▲

? ?

1? ? 2?

(Ⅰ)若 tan A ? tan B ?

x 5、设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 1 ,若 f (a) ? 3 ,则实数 a 的值为

3 (1 ? tan A ? tan B) ,求角 B ; 3

(Ⅱ)设 m ? (sin A,1) , n ? (3,cos 2 A) ,试求 m ? n 的最大值.

6、已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是 ▲ 7、若命题“ ?x ? R ,使 x ? ax ? 1 ? 0 ”的否定是假命题,则实数 a 的取值范围是 ▲ 8、方程 x lg( x ? 2) ? 1 有 ▲ 个不同的实数根
2

.

9、已知 a ? (1, sin 2 x),b ? (2, sin 2x) ,其中 x ? ? 0, ? ? ,若 a ? b ? a ? b ,则 tan x = ▲ 10、已知 f ?x ? 是定义在 ?? 2,2? 上的函数,且对任意实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,恒有 最大值为 1,则满足 f ?log2 x ? ? 1 的解集为 ▲

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,且 f ?x ? 的 x1 ? x2

17、(本小题满分 15 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b 2 的取值范围.

11、如图, 在等腰三角形 ABC 中, 底边 BC ? 2 , AD ? DC ,

1 1 EB , 若 BD ? AC ? ? , 则 CE ? AB = ▲ 2 2 ? ? 12、将函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ) ( ? ? 0 )的图象向左平移 个单位, 3 3? ? 得到函数 y ? g ( x) 的图象,若 y ? g ( x) 在 [0, ] 上为增函数,则 ? 的最大值为 4 AE ?



18、(本小题满分 15 分) 如图,在半径为 3 、圆心角为 60° 的扇形的 AB 弧上任取一点 P , 作扇形的内接矩形 PNMQ ,使点 Q 在 OA 上,点 M , N 在 OB 上, 设矩形 PNMQ 的面积为 y . (Ⅰ) 按下列要求写出函数关系式: ① 设 PN ? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; ② 设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式. (Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求 y 的最大值.
P x B N A

20、(本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的奇数项是首项为 1 的等差数列,偶数项是首项为 2 的等比数列.数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,
Q x

且满足 S3 ? a4 , a3 ? a5 ? 2 ? a4 (1)求数列 {an } 的通项公式;
O

?
M

(2)求数列 {an } 前 2 k 项和 S 2 k ; (3)在数列 {an } 中,是否存在连续的三项 am , am?1 , am? 2 ,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条 件的正整数 m 的值;若不存在,说明理由

19、(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b (a,b 均为正常数). (1)求证:函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数在 x ? ? 处有极值, 3 ①对于一切 x ? ?0,π ? ,不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 恒成立,求 b 的取值范围; ? ? 2? ? ②若函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 3 3

?

?

泰兴市第三高级中学 2013-2014 学年度期中调研测试
高三数学(理)试题参考答案
2013.10.29

即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . …………………………………………………4 分

所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? . 3 ………………………………7 分

1、 ?1 ;2、 2 ;3、 ?

3 ;4、 (1), (2) ;5、 a ? ?1 ;6、 ?2 ;7、 a ? 2或a ? ?2 2

(2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , ………………………………………8 分

4 2 8、2;9、1;10、 (0, 4) ;11、 ? ;12、2;13、4026;14、 (??, ?3 ? 2 2) (?3 ? 2 2, ) 3 3
15、解:设 c ? ( x, y) 由 c // a及 | c |? 2 5 得

故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? . …………………12 分 ? ? 2? 3 3 2 ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 .…………15 分 2 4 2 3 3 3 3

?1? y ? 2 ? x ? 0 ? x ? 2 ? x ? ?2 ,? ? 或? ? 2 2 y ? 4 x ? y ? 20 ? ? y ? ?4 ?
所以, c ? (2, 4)或c ? (?2, ?4) ------------------------------------7 分 (2)∵ a ? 2b 与 2a ? b 垂直,∴ (a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0 即 2a ? 3a ? b ? 2b ? 0 ;∴ a ? b ? ?
2 2

18、解:(Ⅰ) ① 因为 QM ? PN ? x ,所以 OM ?

5 2

QM x ? , 0 tan 60 3 x 2 又 ON ? 3 ? x2 ,所以 MN ? ON ? OM ? 3 ? x ? ……2 分 3

a ?b ∴ cos ? ? ? ?1,∵ ? ?[0, ? ] ∴ ? ? ? --------------14 分 | a || b |
2 2 2 16、解:∵ c ? a ? b ? ab ;∴ cos C ?



y ? MN ? PN ? x ? 3 ? x 2 ?

3x 2 3

(

0? x?

3 2

)















4



② 当 ?POB ? ? 时 , QM ? PN ? 3sin ? , 则 OM ?

1 ? ,∵ C ? (0, ? ) ∴ C ? 2 3

QM ? sin ? , 又 ON ? 3 cos? , 所 以 tan 600 0 ?? ?

M N? O N ?


OM ? 3 c o? s?

…6 分 s? in (

3 (1 ? tan A ? tan B) (1)∵ tan A ? tan B ? 3
∴ tan( A ? B) ? ∴ A? B ? ∴B ?

y ? MN ? PN ? 3sin ? cos? ? 3sin 2 ?

?
3

)



8



(Ⅱ)由②得 y ?

3 ? 2? 2? ? ∵ ( A ? B) ? ? ? , ? 3 ? 3 3 ?
5? 2? ,又 A ? B ? 6 3

?
6

3 3 ? 3 …………12 分 sin 2? ? (1 ? cos 2? ) = 3 sin(2? ? ) ? 2 2 6 2 ? 3 故 当 ? ? 时 , y 取 得 最 大 值 为 … … … … … … … … … 1 5 6 2



或A ? B ? ?

?
4

或B ?

3? ? (舍去)∴ B ? ------------7 分 4 4
2

(2) m ? n ? 3sin A ? cos 2 A ? 3sin A ? 1 ? 2sin A 令 sin A ? t
2

0? A?

2? ∴0 ? t ?1 3

19、(1)证明:

f (0) ? b ? 0 , f (a ? b) ? a sin(a ? b) ? a ? b ? b ? a[sin(a ? b) ? 1] ? 0

3 17 3 17 m ? n ? ?2t ? 3t ? 1 ? ?2(t ? ) 2 ? ∴ t ? 时, m ? n 的最大值为 --------14 分 4 8 4 8
17、解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B ,

? f (0) f (a ? b) ? 0
所以,函数 f ( x ) 在 ? 0, a ? b? 内至少有一个零点-------------4 分 (2) f ?( x) ? a cos x ? 1 由已知得: f ?( ) ? 0 所以 a=2,

?

3

所以 f(x)=2sinx﹣x+b---------------------------------------------------------5 分

①不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 恒成立可化为:sinx﹣cosx﹣x>﹣b 记函数 g(x)=sinx﹣cosx﹣x, x ? [0,

若 am ? a2k ?1 ,则由 am ? am?2 ? 2am?1 ,得 (2k ?1) ? (2k ? 1) ? 2 ? 2 ? 3k ?1 化简得 k ? 3
k ?1

?
2

]

------------------------------------------------------------14 分

2 ? g ?( x) ? cos x ? sin x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 1, x ?[0, ]x ? ? [ , ], ? sin( x ? ) ? 1 4 2 4 4 4 2 4
1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 ,所以 g ?( x) ? 0 在 [0, ] 恒成立--------------------8 分 4 2
函数 g ( x) 在 [0,

?

?

?

? 3?

令 Tk ?

k k ?1 k 1 ? 2k , (k ? N ? ) ,则 Tk ?1 ? Tk ? k ? k ?1 ? k ? 0 k ?1 3 3 3 3
,故只有 T1 ? 1,此时 k ? 1, m ? 2 ?1 ? 1 ? 1

?

?

因此, 1 ? T1 ? T2 ? T3 ?

?

综上,在数列 {an } 中,仅存在连续的三项 a1 , a2 , a3 ,按原来的顺序成等差数列,此时正整数 m 的值为 1-----------------------------------------------------------16 分

2

] 上是增函数,最小值为 g(0)=﹣1

所以 b>1, 所以 b 的取值范围是(1,+∞)-------------------------------------10 分 ②由 (

m ? 1 2m ? 1 m ?1 2m ? 1 ?, ? ) 得: ?? ? ,所以 m>0------------------11 分 3 3 3 3

令 f′(x)=2cosx﹣1>0,可得 2k? ?

, k ? Z -----------------13 分 3 3 m ? 1 2m ? 1 ?, ? )上是单调增函数, ∵函数 f(x)在区间( 3 3 m ?1 ? 2m ? 1 ? ? ? 2 k? ? 且 ? ? 2k? ? -------------------------------------14 分 ∴ 3 3 3 3
∴6k≤m≤3k+1 ∵m>0,∴3k+1>0,6k≤3k+1 ∴k=0 ∴0<m≤1---------------------------16 分

?

? x ? 2 k? ?

?

20、解:(1)设等差数列的公差为 d ,等比数列的公比为 q , 则 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 1 ? d , a4 ? 2q, a5 ? 1 ? 2d

S3 ? a4 ,?1 ? 2(1 ? d ) ? 2q,即4 ? d ? 2q
又 a3 ? a5 ? 2 ? a4 , (1 ? d )(1 ? 2d ) ? 2 ? 2q,即3d ? 2q ,解得 d ? 2, q ? 3 ∴对于 k ? N ,有 a2k ?1 ? 1 ? (k ?1) ? 2 ? 2k ?1, a2k ? 2 ? 3k ?1
?

n, n ? 2k ? 1 ? ? 故 an ? ? , k ? N ? ----------------------5 分 n ?1 2 ? ? 2 ? 3 , n ? 2k
(1 ? 2k ? 1)k 2(1 ? 3k ) ? ? k 2 ? 1 ? 3k -----------------8 分 (2) S2 k ? 2 1? 3
(3)在数列 {an } 中,仅存在连续的三项 a1 , a2 , a3 ,按原来的顺序成等差数列,此时正整数 m 的值为 1, 下面说明理由-----------------------------------------------10 分 若 am ? a2k ,则由 am ? am?2 ? 2am?1 ,得 2 ? 3 化简得 4 ? 3
k ?1

k ?1

? 2 ? 3k ? 2(2k ? 1)

? 2k ? 1,此式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立-----12 分


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