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第一章 1.3.1二项式定理


1.3 二项式定理

1.3.1 二项式定理

一、问题引入 1999年9月,马云先生带着一个18人的团队和 50万人民币在杭州湖畔花苑开始了阿里巴巴神话. 到2009年9月10日,此时的阿里巴巴总部员工已经 达到了17 000人,公司市值100亿美金.经过10年的 快速发展期后,公司将进入稳定发展期,预计每年 公司市值将比前一年增加百分

之十. 问:按这样的发展速度,到20周年庆典时,该

二项式定理,又称牛顿二项式定理, 由艾萨克·牛顿于1664,1665年间提 出. 二项式定理在组合理论、开高次方、 高阶等差数列求和,以及差分法中

牛顿

都有广泛的应用.

1.使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程,

掌握二项式系数,字母的次数,展开式项数的规
律.(重点)

2.能够应用二项式定理对二项式进行展开.
3.掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式 定理的过程.(难点)

n ( a ? b ) 探究点1 二项式定理 的展开式. 2 (a ? b) ? ? a 2 ? 2 ab ? b 2

(a ? b ) ? ? (a ? b ) (a ? b )? ?
3
2

(a ? b ) ? ? (a ? b ) (a ? b )? ?
4
3

(a ? b)

(a ? b )n ? ?

… …

100

??

此法 有困难

多项式乘法的再认识 ?问题1: (a1 + a 2 )(b1 + b 2 ) 的展开式是什么? 展开式有几项?每一项是怎样构成的? ?问题2: (a 1 + a 2 )(b1 + b 2 )(c1 + c 2 ) 展开式中每

一项是怎样构成的?展开式有几项?

a b a b a b a b a b a b a b a b a b
规律: 每个括号内任取一个字母相乘 构成了展开式中的每一项.

探究点2 ① 项: ② 系数: 分 析a 2 b

( a ? b ) 3 展开式的推导.

(a ? b )3 ? ( a ? b )( a ? b )( a ? b )

a

3
0 3

a b
1 3

2

ab

2

b

3
3 3

k ? 0 ,1, 2 , 3
k C3

a 3? k b k

C C C C ( a ? b )( a ? b )( a ? b )

2 3

( a ? b )( a ? b )( a ? b ) ( a ? b )( a ? b )( a ? b )

C

1 3

3 0 3 1 2 2 2 3 3 ( a ? b ) ? C a ? C a b ? C ab ? C ③ 展开式: 3 3 3 3b

探究点3

(a+b )
0 3

4

展开式的推导 .

0 2 2 2 1 2 (a ? b )2 ? C 2 ab ? C C a ? 2 2b

3 ( a ? b ) ? C a ? C a b ? C ab ? C b
3

3

1 3

2

2 3

2

3 3

2 2 2 3 4 4 a b ? C4 ab 3 ? C 4 (a ? b ) ? C a ? C a b ? C4 b
4

0 4 4

1 4

3

(a ? b ) ? ?
n

探究点4

(a ? b) ? (a ? b)(a ? b)
n

( a ? b ) n 展开式的推导.
n个(a ? b)

(a ? b)
k

①项:
②系数:

a

n

a

0 Cn

b ? a b k 1 ? Cn Cn
k个 ( a ? b )中 选 b
n ? k 个 ( a ? b )中 选 a

n ?1

n? k

? b n ? Cn
k Cn

n

分析 a n ? k b k
n个 ( a ? b )相 乘

③展开式:

0 n 1 n ?1 k n? k k n n (a ? b )n ? C n a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N * )

二项式定理
0 n 1 n ?1 k n? k k n n (a ? b )n ? C n a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N * )

①项数: 共有n+1项 各项的次数都等于n, ②次数: 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列,次数由0递增到n .

③二项式系数:

k Cn ( k ? { 0 ,1, 2 , ? , n })

杨辉,南宋时期杰出的 数学家和数学教育家

④二项展开式的通项:

k n? k k Tk ? 1 ? C n a b

二项式定理
0 n 1 n ?1 k n? k k n n (a ? b )n ? C n a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N * )

0 n 1 n ?1 k n? k (a ? b )n ? C ?n a ? Cn a (? b) ? ? ? C n a (? b)k n ? ? ? Cn (? b)n

1 (1 ? x ) n ? C ?0 n ? Cn x ?

?C x ?
k n k

?C x
n n

n

一、二项式定理及相关概念
0 n 1 n ?1 k n ?k k n n C a ? C a b ??? C a b ??? C n n n nb 1.二项式定理:(a+b) =_______________________________.

n

二项展开式 ,展 2.展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的___________

(n+1) 项. 开式中一共有______
k C n (k ? 0,1,2,?,n) 3.二项式系数:各项的系数_______________.

思考:二项式系数与项的系数有什么区别? 提示:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项
?,Cn,它只与各项的项数有关,而与a, 式系数是指 Cn,Cn,
0 1 n

b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的部分,它不仅 与各项的二项式系数有关,而且也与a,b的值有关.

二、二项展开式的通项 1.(a+b) 的通项:(a+b) 展开式中第k+1项Tk+1= ___________ (k=0,1,2,?,n) 称为二项展开式的通项公式. __________________ 2.(a-b)n的通项:将-b看成b代入二项式定理中,得到(a- b)n,展开式中第k+1项Tk+1=____________.
n-k k a b ? ?1? Ck n k

n

n

n-k k Ck b na

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.( (2) Cn a
k n-k

)

bk 是(a+b)n展开式中的第k项.(

) )

(3)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.(

提示:(1)错误.从整体看,(a+b)n与(b+a)n相同,但具体
k n-k k a b, 到某一项是不同的,如(a+b)n的第k+1项 Tk+1=Cn k n-k k b a . 解题时,题中给出的二项 (b+a)n的第k+1项 Tk+1=Cn

式的两项是不能随意变换的.
n-k k n a b (2)错误. Ck 是 (a+b) 展开式中的第k+1项,而不是第k n

项.
1 2 k n ?,Cn , ?,Cn . (3)正确.二项式系数依次为 C0 n,Cn,Cn,

答案:(1)×

(2)×

(3)√

1 6 ) 例1 求 ( 2 x ? x

类型一

二项式定理的应用

的展开式.

解: 方法一:直接展开 1 6 1 0 6 1 5 (2 x ? ) ? C 6 (2 x ) ? C 6 (2 x ) (? ) x x

1 2 1 3 3 3 ? C (2 x ) ( ? ) ? C6 (2 x ) ( ? ) x x
2 6 4
4 6 2

1 4 1 5 1 6 5 6 ? C (2 x ) (? ) ? C 6 ( 2 x )( ? ) ? C 6 (? ) x x x 60 12 1 3 2 ? 64x ? 192x ? 240x ? 160 ? ? 2 ? 3. x x x

方法二:先化简后展开 1 6 2x ? 1 6 1 (2 x ? ) ?( ) ? 3 ( 2 x ? 1) 6 x x x

1 6 1 5 2 4 ? 3 [( 2 x ) ? C 6 ( 2 x ) ? C 6 ( 2 x ) x ? C 63 ( 2 x ) 3 ? C 64 ( 2 x ) 2 ? C 65 ( 2 x ) ? C 66 ]
60 12 1 ? 64x ? 192x ? 240x ? 160 ? ? 2 ? 3. x x x
3 2

【跟踪训练1】 1.设S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1,它等 于( ) B.(x-1)4 D.(x+1)4

A.(x-2)4 C.x4

1 4 ). 2.用二项式定理展开 (2 x ? x

【解析】1.选C.S=[(x-1)+1]4=x4. 2.方法一:直接利用二项式定理展开并化简:
1 4 1 0 1 1 4 1 3 ) =C0 (2 x ) ( ) + C (2 x ) ( ) 4 4 x x x 1 2 1 3 2 3 1 0 +C2 (2 x ) ( ) + C (2 x ) ( ) +C4 4 4 4 (2 x ) ? x x 1 4 8 1 ( ) =16x 2+32x+24+ + 2 . x x x (2 x ?

(2 x ? 方法二:

1 4 2x ? 1 4 1 ) =( ) = 2 (2x ? 1) 4 x x x

1 4 0 3 1 2 2 1 3 1 2 3 = 2 [C0 2x 1 + C 2x 1 + C 2x 1 + C 2x 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 x 1 0 4 4 +C4 ? 2x ? 1 ]= 2 (16x 4+32x 3+24x 2+8x+ 1) x 8 1 = 16x 2+32x+24+ + 2 . x x

类型二

利用通项公式求某些特定项或其系数

例2 求 ( x ?

1 9 ) 的展开式中 x

x 3 的系数.

分析:本题是一道利用二项式定理求某一项
的系数问题,可以写出通项,让x的指数为3
1 r r n-r r r n-2r 求解 r,来求该项的系数 . : Tr+1 = C n x (- ) =(-1) C nx x
r r 9-2r =(-1) C9x ,

令9 - 2r = 3,得r = 3,
3 3 则x3项的系数为 (-1) C9 = -84.

例2



(1 ? 2 x ) 7 的展开式的第4项的系数和第4项

的二项式系数. 分析:本题是考查二项式系数和系数的问题.
7 ( 1 ? 2 x ) 的展开式的第4项是 解:

3 3 T3?1 ? C7 ? 17 ?3 ? (2 x ) 3 ? C7 ? 23 ? x 3 ? 280 x 3 ,

所以展开式第4项的系数是280,
3 C 而展开式第4项的二项式系数是 7 ? 35.

【跟踪训练2】 1.(2013·江西高考) (x 2 ? A.80 B.-80
2 5 ) 展开式中的常数项为( 3 x

)

C.40

D.-40

2.(2013·安徽高考)若 (x ? 则实数a=________.

a 8 4 ) 的展开式中 x 的系数为7, 3 x

2 k 2 5? k 【解析】1.选C.设展开式的通项为 Tk?1 ? C ? ( ? 3 ) ? ? x ? x
k 5

k 10?5k ? ? ?2 ? C5 x , k

所以当10-5k=0,即k=2时,Tk+1为常数.
2 即 Tk?1 ? ? ?2 ? C5 ? 40. 2

1 4 ? k 8? k a k 8-k k k 8-k k k k 2.因为 Tk?1 ? C8 x ? ( 3 ) ? C8 x ? x 3 ? a ? C8 x 3 ? a , x 4 8 ? k ? 4, 令 则k=3, 3 1 3 3 a ? . 所以 C8a ? 7, 解得 2 1 答案: 2

类型三

利用二项式定理解决整除及余数问题

【典型例题3】 1.(2013·哈尔滨高二检测)已知2×1010+a(0≤a<11)能被 11整除,则实数a的值为______.

2.求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.

【解析】1.根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于 2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项式定理展开式 可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整 除,可知a=9. 答案:9

2.因为32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(1+8)n+1-8n-9
1 2 2 3 3 n n ? C0 n ?1 ? C n ?1 ? 8 ? C n ?1 ? 8 ? C n ?1 ? 8 ??? C n ?1 ? 8 ?1 n ?1 ?Cn ? 8n ? 9 n ?1 ? 8

2 3 3 n n n ?1 ? 1 ? (n ? 1) ? 8 ? C2 ? 8 ? C ? 8 ??? C ? 8 ? 8 ? 8n ? 9 n?1 n?1 n?1 2 3 3 n n n ?1 ? C2 ? 8 ? C ? 8 ??? C ? 8 ? 8 n?1 n?1 n?1 3 n n ?2 n ?1 ? 82 (C2 ? C ? 8 ??? C ? 8 ? 8 ). n?1 n?1 n?1

又 Cn?1 ? Cn?1 ? 8 ??? Cn?1 ? 8
2 3 n

n?2

? 8n?1 是整数,

所以32n+2-8n-9能被64整除.

求解复杂的二项式问题

【典型例题4】
1.(2013·兰州高二检测)若[x2-(a-1)x-1]5的展开式中没 有x的奇次幂项,则含x8项的系数为( A.5 2. 1 ? x
3

) D.-10 ) D.4 246

B.-5

C.10

?

?

6

(1 ?

1 10 ) 展开式中的常数项为( 4 x

A.1

B.46

C.4 245

【解析】1.选B.因为[x2-(a-1)x-1]5的展开式中没有x的奇 次幂项,所以a-1=0,所以a=1,故二项式为(x2-1)5,其展开
r 10?2r 式通项为 Tr ?1 ? ? ?1? C5x , 令10-2r=8得r=1,故含x8的项为 r 8 8 T2=? ?1? C1 x = ? 5x , 其系数为-5. 5 1

2.选D.先求 1 ? x
3

?

?

6

的展开式中的通项为

Tr ?1 ? C (x ) ? C x , r ? 0,1,2,3,4,5,6.
r 6 r 6

1 3 r

r 3

再求 (1 ?
k 10

1 10 ) 的展开式中的通项 4 x
? 1 4 k k 10 ? k 4

Tk?1 ? C (x ) ? C x , k ? 0,1,2,3,4,?,10. 两通项相乘得:
r k C6 x C10 x r 3 ? k 4 r k ? C6 C10 x r k ? 3 4



r k 令 - ? 0,得4r=3k,这样一来,(r,k)只有三组: 3 4

(0,0),(3,4),(6,8)满足要求.
3 4 6 8 1 ? C C ? C 故常数项为: 6 10 6C10 ? 4 246.

【跟踪训练4】已知 ( x ?

2 n ) 2 x

的展开式中第5项的二项式系

数与第3项的二项式系数的比为14∶3,则展开式中的常数项
为_________.

2 2 C4 ∶ C ? 14 ∶ 3, 【解析】由已知条件得: 整理得: n -5n-50=0, n n

所以n=10,所以展开式的通项为:
Tk?1 ? C
k 10

? x?

10? k

10-5k ? 0,得k=2, 令 2

10-5k 2 k k k ? ( 2 ) ? C10 ? 2 ? x 2 , x

2 2 所以常数项为第三项 T3 ? 2 C10 ? 180.

答案:180

1.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中含x4项
的系数是 ( A ) A. -15 B. 85

C. -120

D. 274

2.(1+2x)5的展开式中,含x2项的系数等于(
A.80 B.40 C.20 D.10

)

【解析】选B.因为(1+2x)5的展开式的通项为Tr+1=
2 2 2 2 r r C5 ? x r,令r=2,得 T3=2 C5 ? x =40x , ? 2x ? =2r C5
r

故含x2项的系数为40.

3.(2013·济南高二检测) (3x ?
1 中含 3 项的系数是( x

1
3

x2

)7的展开式

) C.-21
5 7? k 3

A.7

B.-7

D.21

【解析】选D.因为展开式的通项为Tk+1=
C ? 3x ?
k 7 7? k

(?

1
3

x2

) ? ? ?1? 3
k k

7? k

Cx

k 7

, 令 7 ? 5 k ? ?3, 3

得k=6,所以系数为21.

4.(2013·天津高考) (x- 为________.

1 6 ) 的二项展开式中的常数项 x 1 k ) x

k 6-k 【解析】根据二项展开式的通项 Tk?1 ? C6 x (-

?C x
k 6

3k 6- 2

?-1? ,知当 6-
k
4

3k ? 0,即k=4时,该项为常数,此 2

4 时 T5 ? C6 ?-1? ? 15.

答案:15

【5】(2013·太原高二检测)设 x- 2 展开式中,第二 项与第四项的系数之比为1∶2,则n的值为_______.

?

?

n

【解析】 x- 2

?

?
?

n

展开式的第二项与第四项分别为

n-1 n-1 T2=C1 x ( ? 2) = ? 2 ? nx , n

T4=C x
3 n

n-3

n-3 ? - 2 = ? 2 2C3 , nx

?

3

? 2n 1 = , 依题意得 3 ?2 2Cn 2



即n2-3n-4=0,解得n=4,n=-1(舍去),故得n=4. 答案:4

7 2 5 4 3 6 1 6 3 4 5 2 1 6.若 A=3 ? C7 ? 3 +C7 ? 3 +C7 ? 3,B=C7 ? 3 +C7 ? 3 +C7 ? 3 +,

则A-B=__________.

【解析】A-B=(3-1)7=128.
答案:128


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