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数列选择填空题


1

数列练习题
1.已知数列{an}中,a1=2, an+1-an=3(n∈N*)则数列{an}的通项 an 的表达式是( A.3n-1 A B.3n-2 C.3n-5 D. 2 ? 3
n ?1



a1=2, an+1-an=3(n∈N*)则数列{an}的通项 an=3n-1

r />2.若 f ( x) ? 3x ? 2 ,则 f A. D

?1

[ f ( x)] 为
C.





x?8 9

B.9x-8

x?2 3

D.X

f ( x) ? 3x ? 2 ,则 f ?1[ f ( x)] ? f ?1[3x ? 2] ? 3(3x ? 2) ? 2 = 9x-8

3.若 a、b、c∈R 且 a>b,则下列不等式中一定成立的( A.a+b≥b-c B B. (a-b)c ≥0
2

) D.ac≥bc

c2 C. >0 a?b

a、b、c∈R 且 a>b,则(a-b)>0, c2≥0 ,∴(a-b)c2≥0
2

4.如果 a、b、c 成等比数列,那么关于 x 的方程 ax +bx+c=0 A.一定有两不等实根 C.一定无实根 C B.一定有两相等实根 D.有两符号不相同的实根
2

(

)

2 2 a、 b、 c 成等比数列, 那么关于 x 的方程 ax +bx+c=0 的 ? ? b ? 4ac ? ?3b ? 0 .

5.如果等比数列{an}的首项为正数,公比大于 1,那么数列{log 1 an}是
2

(

)

A.递增的等差数列 C.递增的等比数列 B

B.递减的等差数列 D.递减的等比数列

等比数列{an}的首项为正数,公比大于 1,那么数列{log 1 an}是递减的等差数列
2

2

6.已知函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如图所示,则不等式 B. (?5, 25]

f ( x) ) ? 0 的解集是( g ( x) y y ? f ( x)
y ? g ( x)

A. [5, 25] C. (?15, ?5)

(5, 25]

D. (?15, ?5] [5, 25]

?15

?5 o

5

25 x

C

如图函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像,不等式

f ( x) ?0 g ( x)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ?? 或? ? 解集是 (?15, ?5) (5, 25] ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0

7. 若两个等差数列 {an } 、 且满足 {bn } 的前 n 项和分别为 An 、 Bn , 的值为( A. ) B.

An 4n ? 2 a ? a13 , 则 5 ? Bn 5n ? 5 b5 ? b13
19 20

7 8

7 9

C.

8 7

D.

A

两个等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和分别为 An 、 Bn ,且满足

An 4n ? 2 , ? Bn 5n ? 5



a5 ? a13 A17 4 ?17 ? 2 7 = ? ? b5 ? b13 B17 5 ?17 ? 5 8

8. 设 f ( x) 是定义在 R 上恒不为零的函数, 对任意实数 x 、y ? R , 都有 f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) , 若 a1 ?

1 , an ? f (n) ( n ? N? ) ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 的取值范围是( 2
?1 ? B. ? , 2 ? ?2 ?



?1 ? A. ? , 2 ? ?2 ?
C

?1 ? C. ? , 1 ? ?2 ?

?1 ? D. ? ,1? ?2 ?

f ( x) 是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意实数 x 、 y ? R ,
都有 f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) , a1 ?

1 , an ? f (n) ( n ? N? ) 2

3

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 2 ? 1 ? ( 1 )n an ?1 ? f (n ? 1) ? f (1) f (n) ? an ? Sn ? 2 1 2 2 1? 2
?1 ? 则数列 {an } 的前 n 项和的取值范围是 ? , 1? . ?2 ?

9 . 设 M 是 具 有 以 下 性 质 的 函 数 f ( x) 的 全 体 : 对 于 任 意 s ? 0, t ? 0 , 都 有

f ( s)? f ( t ) ?

f (? s .给出函数 t) f1 ( x) ? log2 x, f 2 ( x) ? 2 x ? 1. 下列判断正确的是(
B. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M D. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M



A. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M C. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M 判断正确的是 f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M

D 对于任意 s ? 0, t ? 0 , 都有 f ( s) ? f (t ) ? f ( s ? t ) . f1 ( x) ? log2 x, f 2 ( x) ? 2 x ? 1.

10.如图,在公路 MN 的两侧有四个村镇:A1、B1、C1、D1 通过小路和公路相连,各路口分 别是 A、B、C、D,现要在公路上建一个长途汽车 站,为使各村镇村民到汽车站所走的路程总和最 小,汽车站应建在( ) A.A 处 B.B 处 C.B、C 间的任何一处(包括 B、C) D.A、B 之间的任何一处(包括 A、B) C 各路口分别是 A、B、C、D,要在公路上建 一个长途汽车站,使各村镇村民到汽 车站所走的路程总和最小,汽车站应建在 B、C 间的任何一处(包括 B、C)

S3 S2 11.(理)(2011· 江西南昌市调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数 3 2 列{an}的公差是( 1 A. 2 ) B.1 C.2 D.3

4

[答案] C n?n-1? [解析] 设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ d, 2 Sn d ∴{ }是首项为 a1,公差为 的等差数列, n 2 S3 S2 d ∵ - =1,∴ =1,∴d=2. 3 2 2

12.(2011· 辽宁沈阳二中检测,辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an
+1

1 (n∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+a9)的值是( 3 A.-5 [答案] A 1 B.- 5 C.5

) 1 D. 5

[分析] 根据数列满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*).由对数的运算法则,得出 an+1 与 an 的关系,判断数列的类型,再结合 a2+a4+a6=9 得出 a5+a7+a9 的值. [解析] 由 log3an+1=log3an+1(n∈N*)得,an+1=3an,∵an>0,∴数列{an}是公比等于 3 的等比数列, ∴a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35, 1 ∴log (a5+a7+a9)=-log335=-5. 3

13.(理)(2011· 安徽百校论坛联考)已知 a>0,b>0,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a, b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是( A.ab=AG C.ab≤AG [答案] C a+b [解析] 由条件知, a+b=2A, ab=G2, ∴A= ≥ ab=G>0, ∴AG≥G2, 即 AG≥ab, 2 故选 C. [点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式,不等式与数列交汇的题目要特别注意等 差(等比)数列的公式及性质的运用. 1 14.(2011· 潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2, a3,a1 成 2 a3+a4 等差数列,则 的值为( a4+a5 ) ) B.ab≥AG D.不能确定

5

1- 5 A. 2 C. 5-1 2

B. D.

5+1 2 5+1 5-1 或 2 2

[答案] C 1 [解析] ∵a2, a3,a1 成等差数列,∴a3=a2+a1, 2 ∵{an}是公比为 q 的等比数列,∴a1q2=a1q+a1,∴q2-q-1=0,∵q>0,∴q= 5-1 . 2

15.(2011· 北京日坛中学月考)已知数列{an}满足 a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2), 则该数列前 2011 项的和 S2011 等于( A.1341 [答案] A [解析] 列举数列各项为:1,1,0,1,1,0,?. ∵2011=3×670+1,∴S2011=2×670+1=1341. B.669 ) C.1340 D.1339

16 . ( 理 )(2011· 安徽皖南八校联考 ) 设 {an} 是公比为 q 的等比数列,令 bn = an + 1(n = 1,2,?),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 q 等于( 4 A.- 3 2 3 C.- 或- 3 2 [答案] C [解析] 集合{-53,-23,19,37,82}中的各元素减去 1 得到集合{-54,-24,18,36,81}, 3 2 其中-24,36,-54,81 或 81,-54,36,-24 成等比数列,∴q=- 或- . 2 3 3 B.- 2 3 4 D.- 或- 4 3 )

17. (理)(2010· 西南师大附中月考)在等差数列{an}中, 其前 n 项和是 Sn, 若 S15>0, S16<0, S1 S2 S15 则在 , ,?, 中最大的是( a1 a2 a15 S1 A. a1 [答案] B 16?a1+a16? [解析] 由于 S15=15a8>0,S16= =8(a8+a9)<0,所以可得 a8>0,a9<0. 2 S8 B. a8 ) S9 C. a9 S15 D. a15

6

S1 S2 S8 S9 S10 S15 这样 >0, >0,?, >0, <0, <0,?, <0,? a1 a2 a8 a9 a10 a15 S1 S2 S15 S8 而 0<S1<S2<?<S8,a1>a2>?>a8>0,所以在 , ,?, 中最大的是 ,故选 B. a1 a2 a15 a8

sinA 2cosC+cosA 18.(2011· 江西新余四中期末)在△ABC 中, = 是角 A、B、C 成等差数 cosA 2sinC-sinA 列的( )

A.充分非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] sinA 2cosC+cosA = ?2sinAsinC-sin2A=2cosAcosC+cos2A?2cos(A+C)+1= cosA 2sinC-sinA

1 π sinA 0?cosB= ?B= ?A+C=2B?A、B、C 成等差数列.但当 A、B、C 成等差数列时, 2 3 cosA 2cosC+cosA π π π = 不一定成立,如 A= 、B= 、C= .故是充分非必要条件.故选 A. 2 3 6 2sinC-sinA

19.(理)(2010· 海口调研)已知 F1、F2 分别是双曲线 x2-

y2 =1 的左、右焦点,P 是双曲 24 )

线上的一点,若|PF2|、|PF1|、|F1F2|是公差为正数的等差数列,则△F1PF2 的面积为( A.24 [答案] A B.22 C.18 D.12

[解析] 由题意可知|PF2|<|PF1|,所以点 P 在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2,又 |PF2|+|F1F2|=2|PF1|,即|PF2|+10=2|PF1|,联立解得|PF1|=8,|PF2|=6,所以△F1PF2 是以 1 点 P 为直角顶点的直角三角形,所以面积为 ×8×6=24. 2

1 20.(理)(2011· 海南嘉积中学模拟、四川广元诊断)若数列{an}满足:an+1=1- 且 a1=2, an 则 a2011 等于( A.1 [答案] C ) 1 B.- 2 C.2 1 D. 2

7

1 1 [解析] a1=2,a2= ,a3=-1,a4=2,a5= ,a6=-1,?依次类推,数列{an}的周 2 2 期是 3,而 2011=3×670+1,故 a2011=a1=2.

21.(理)(2011· 豫南九校联考)设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,则 ab1+ab2+?+ab10=( A.1033 [答案] A [解析] an=2+(n-1)×1=n+1,bn=1×2n 1=2n 1,
- -

) D.2058

B.1034

C.2057

ab1+ab2+?+ab10=a1+a2+a4+?+a29=(1+1)+(2+1)+(22+1)+?+(29+1)=10 1×?210-1? + 2-1 =210+9=1033.

22.函数 y ? lg 2

1? x 的定义域的区间长为 x ?1 1? x 函数 y ? lg 的定义域是 (?1,1) . x ?1



23.已知 f(x)=

1 1 1 x2 ,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f( )+f( )+f( )=__________________. 2 3 2 4 1? x

3.5

f(x)=

x2 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 1? ? 1 ? f ( ) ?? f ( x) ? f ( ) ? 1 , 2 1 1? x 1? x x x 1 ? [ ]2 x
1 1 1 )+f( )+f( )=3+ f(1)=3.5. 3 2 4

则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(

24.已知不等式 ( x ? y )( ?

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x , y 恒成立,则正实数 a 的最小值为____. y

4

1 a 81 ( x ? y)( ? ) ? 9 ? 4 a ? 9 ? a ? ,则正实数 a 的最小值为 4. x y 16

8

25.定义符号运算 “#” 满足 x # y ? ax ? by(a, b 是常数) , 且 2#2 ? 4,3#1 ? 8 , 那么 2 #( ?3) 的值是___________. 9 符号运算“#”满足 x # y ? ax ? by(a, b 是常数) ,且 2#2 ? 4,3#1 ? 8 ,

? 2a ? 2b ? 4,3a ? b ? 8 ? a ? 3, b ? ?1 那么 2 #( ?3) =9.

26. 设 数 列 {an } 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , 其 前 n 项 的 积 为 Tn , 并 且 满 足 条 件

a1 ? 1, a99 a1 0 0 ? 1 ? 0,

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论:A.0<q<1;B. T198 ? 1 ;C. a99a101 ? 1 ; a100 ? 1


D.使 Tn ? 1成立的最小自然数 n 等于 199. 其中正确结论的编号是

ACD

设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列,其前 n 项的积为 Tn ,并且满足条件

a1 ? 1, a99 a100 ? 1 ? 0,

a99 ? 1 a q 98 ? 1 ? 0 ? a12 q197 ? 1, 1 99 ? 0 ? 0 ? q ?1. a100 ? 1 a1q ? 1

T198 ? 1 不确定, a99a101 ? 1 正确, Tn ? 1成立的最小自然数 n 等于 199 正确

27.(理)(2010· 无锡模拟)已知正项数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,若以(an,Sn) 1 为坐标的点在曲线 y= x(x+1)上,则数列{an}的通项公式为________. 2 [答案] an=n 1 1 1 [解析] 由条件知,Sn= an(an+1),∴Sn-1= an-1(an-1+1) (n≥2),两式相减得 an= 2 2 2
2 (a2 n-an-1+an-an-1),整理得 an-an-1=1,∵a1=1,∴an=n.

π? ?π ? 28.(2011· 苏北九校联考)已知 α∈? ?0,2?∪?2,π?,且 sinα,sin2α,sin4α 成等比数列,则 α 的值为________. [答案] 2π 3

[解析] 由题意, sin22α=sinα· sin4α, ∴sin22α=2sinα· sin2α· cos2α, 即 sin2α=2sinα· cos2α, ∴2sinαcosα=2sinα· cos2α,即 cosα=cos2α,

9

∴2cos2α-1=cosα.∴(2cosα+1)(cosα-1)=0. 1 2π ∴cosα=- ,∴α= . 2 3

29. (本题满分 12 分){an}为等差数列,公差 d>0,Sn 是数列{an}的前 n 项和,已知

a1a4 ? 27, S4 ? 24 ,
(1)求数列{an}的通项公式 an ; (2)令 bn ? 解:(1) S4 ?

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn . an an ?1
4(a1 ? a4 ) ? 24,? a1 ? a4 ? 12 2

又 a1a4 ? 27 , d>0,∴ a1 ? 3, a4 ? 9, d ? 2, ,∴ an ? 2n ? 1. (2) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
?(
n 1 1 1 1 1 ? )] ? ( ? )= . 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 6n ? 9
2

1 1 1 1 1 Tn ? [( ? ) ? ( ? ) ? 2 3 5 5 7

3 , 2 ) 29. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 8) x ? a ? ab , 当 x ? (?
当 x ? (??, ?3)

时,f ( x) ? 0 ;

(2,+?) 时, f ( x) ? 0 .

(1)求 f ( x) 在 [0,1] 内的值域; (2) c 为何值时 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R .
2

解:由题意可知 f ( x) ? ax ? (b ? 8) x ? a ? ab ? 0 的两根分别为 ?3, 2 ,且 a ? 0 ,则由韦
2

b ?8 ? ?3 ? 2 ? ? ? ?a ? ?3 ? a ?? 达定理可得: ? . ab ? a b ? 5 ? ??3 ? 2 ? ? ? a ?
故 f ( x) ? ?3x ? 3x ? 18 ? ?3( x ? ) ?
2 2

1 2

75 , 4

(1) f ( x) 在 [0,1] 内单调递减,故 f ( x)min ? f (1) ? 12, f ( x)max ? f (0) ? 18, 故 f ( x) 在 [0,1] 内的值域为 [12,18] .

10

( 2 ) g ( x) ? ax2 ? bx ? c ? ?3x2 ? 5x ? c , 则要 使 g ( x) ? 0 的解 集为 R , 只需要 方程

?3x2 ? 5x ? c ? 0 的判别式 ? ? 0 ,即 ? ? 25 ? 12c ? 0 ,解得 c ? ?
∴当 c ? ?

25 . 12

25 2 时, ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R . 12

30. (本题满分 13 分)若数列 ?an ? 对任意 n ? N ,满足
*

列 ?an ? 为等差比数列. 列 ?an ? 是否为等差比数列;

an ? 2 ? an ?1 ? k (k 为常数),则称数 an ?1 ? an

(1)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S n ? 2(an ? 1) ,求数列 ?an ? 的通项公式,并判断数 (2)若数列 ?an ? 为等差数列,试判断数列 ?an ? 是否一定为等差比数列,并说明理由; (3)试写出一个等差比数列的通项公式 an ,使此数列既不是等差数列,也不是等比数列,并 证明之. 解: (1)当 n ? 2 时, S n ? 2(an ? 1) ①-②得: S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ①, S n?1 ? 2(an?1 ? 1) ②

所以 an ? 2an ? 2an?1 ,∴
*

an ? 2. a n ?1

又 S1 ? a1 ? 2(a1 ? 1) ,所以 a1 ? 2 ,所以 an ? 2 n ( n ? N ) ∵任给 n ? N ,
*

an? 2 ? an?1 2 n? 2 ? 2 n?1 ? n?1 ? 2 ∴数列 {an } 为等差比数列 an?1 ? an 2 ? 2n

(2)令等差数列 {an } 的公差为 d ,则 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? d . 当 d ? 0 时,

an? 2 ? an?1 d ,所以数列 {an } 是等差比数列 ? ? 1 (1 为常数) a n?1 ? a n d

当 d ? 0 ,即数列 {an } 是常数数列时,不是等差比数列 (3)通项如 an ? aq ? b ( a , b 为非零的常数)形式的数列,如 an ? 2 ? 3 ? 1 ,既不是等
n n

差数列,也不是等比数列,但

an? 2 ? an?1 2 ? 3n? 2 ? 1 ? 2 ? 3n?1 ? 1 ? ? 3 为常数, an?1 ? an 2 ? 3n?1 ? 1 ? 2 ? 3n ? 1

11

数列 {an } 是等差比数列(只要写出一个通项即可)


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