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高一幂函数


金尺子教育

个性化教学辅导教案
学科: 数学 任课教师:李素 授课时间:2012/07/

姓名 教学 目标
难点 重点

年级

高一

性别

课题

幂函数的性质与应用

充分了解幂函数的性质及

解题技巧 1.幂函数性质的灵活运用 2.学会利用数形结合进行解题 3.幂函数与对数函数之间的微妙联系 课前 检查 作业完成情况:优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________

一、幂函数的定义 一般地,形如 y ? x? ( x ? R )的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量, ? 是常数 . 如

y ? x , y ? x , y ? x 等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函
2

1 3

?

1 4

数. 二、函数的图像和性质

课 堂 教 学 过 程

(1) y ? x

(2) y ? x 2

1

(3) y ? x2

(4) y ? x ?1

(5) y ? x3

用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出:
y?x

y ? x2

y ? x3

y ? x2

1

y ? x ?1

定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限单调增 减性 定点(公共点)

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3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且 图象都过点(1,1); (2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且 在[0,+∞]上,是增函数 (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞) 上是减函数.

三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数 y ? loga x( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是 自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如 y ? x? ( x ?R)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量,? 是 常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R; 过点(1,0),即当 x =1, y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1) x >0 时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上, y ? x 、 y ? x2 、 y ? x3 、 y ? x 2 是增函数, 在(0,+∞)上, y ? x ?1 是减函数。 【例题导入】
2 ?5 m ?3 例 1.已知函数 f ? x ? ? m ? m ? 1 x ,当 m 为何值时, f ? x ? :

1

?

?

(1)是幂函数;(2)是幂函数,且是 ? 0, ?? ? 上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数; (5)是二次函数;

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变式训练:已知函数 f ? x ? ? m ? m x
2

?

?

m 2 ? 2 m ?3

,当 m 为何值时, f ? x ? 在第一象限内它的图像是上升

曲线。

比较大小:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.

例 2.比较大小:
1 1

(1) 1.5 2 ,1.7 2 解:

(2) (?1.2) ,(?1.25) (3) 5.25 ,5.26 ,5.26 (4) 0.53 ,30.5 ,log3 0.5
3 3

?1

?1

?2

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例 3.已知幂函数 y ? xm 解:

2

?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,求 m 的值.

例 4、设函数 f(x)=x3, (1)求它的反函数; (2)分别求出 f 1(x)=f(x),f 1(x)>f(x),f 1(x)<f(x)的实数 x 的范围.
- - -

2

1

例 5、求函数 y= x 5 +2x 5 +4(x≥-32)值域.

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【课堂习题】
1. 下列函数中不是幂函数的是( A. y ? ) C. y ? 2 x )
3

x

B. y ? x

3

D. y ? x

?1

2. 下列函数在 ? ??,0 ? 上为减函数的是( A. y ? x 3
1

B. y ? x

2

C. y ? x

D. y ? x )

?2

3. 下列幂函数中定义域为 x x ? 0 的是( A. y ? x 3
2

?

?

B. y ? x 2
- 1 2

3

C. y ? x

?

2 3

D. y ? x

?

3 2

4.函数 y=(x2-2x) A.{x|x≠0 或 x≠2}

的定义域是(



B.(-∞,0) ? (2,+∞)

C.(-∞,0)] ? [2,+∞] D.(0,2) 思路:函数可化为根式形式,即可得定义域.
1

5.函数 y=(1-x2) 2 的值域是( A.[0,+∞]
2

) C.(0,1) D.[0,1]

B.(0,1) )

6.函数 y= x 5 的单调递减区间为( A.(-∞,1) 7.若 a <a A.a≥1
1 2
- 1 2

B.(-∞,0) )

C.[0,+∞]

D.(-∞,+∞)

,则 a 的取值范围是( B.a>0

C.1>a>0

D.1≥a≥0

2 3 8.函数 y= (15+2 x-x ) 的定义域是



9.函数 y=

1 x 2-m-m
2

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是________.

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2

10、讨论函数 y= x 5 的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图.

11、比较下列各组中两个数的大小:
3 3

(1) 1.5 5 , 1.7 5 ;(2)0.71.5,0.61.5;(3) (- 1.2)



2 3

, (- 1.25)



2 3



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12.已知函数 y= 4 15 -2x-x2 . (1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间.

规律总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行 讨论; 2.对于幂函数 y= x ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置, 即所在象限,其次确定曲线的类型,即 ? <0,0< ? <1 和 ? >1 三种情况下曲线的基本形状,还要注 意 ? =0,±1 三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛 负双,大竖小横”,即 ? >0( ? ≠1)时图象是抛物线型; ? <0 时图象是双曲线型; ? >1 时图象是 竖直抛物线型;0< ? <1 时图象是横卧抛物线型.
?

课堂 检测 测试题(累计不超过 40 分钟)_______道;成绩_______;教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□ 课后 作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________ 巩固 老师的 建议:


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