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向量的应用 教案


向量的应用
邻水县九龙中学 姜文勇

一、考纲解读 1、会用向量的几何运算与坐标运算解决向量与函数、数列、不 等式、三角函数、解析几何等的交汇问题; 2、会将向量的几何表示转化为坐标表示,从而更加有效地解决 一些圆锥曲线问题; 3、强化“转化与化归思想”的运用,提高综合运用知识解决问 题的能力. 二、复习指导 1、重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算; 2、重视平面向量体现出的数形结合思想方法; 3、体验向量在解题中的工具性特点. 三、教学方法 讲练结合 四、教学辅助工具 多媒体 五、教学过程 1、知识梳理 理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用,能将当前的问 题转化为可用向量解决的问题,培养学生的创新精神和应用能力;同 时完成复习书知识点部分. 温馨提示

许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理 .它不仅能解 决数学学科本身的问题,跨学科应用也是它的一个特点. 2、基础自测 完成复习书上的基础自测部分,然后我们看答案,对个别题进行 点拨. 3、例题解析 类型一、向量与函数 例 1 、已知向量 a ? ?x 2 , x ? 1?, b ? ?1 ? x, t ? ,若函数 f ?x? ? a ? b 在区间 (-1,1)上是增函数,求 t 的取值范围 审题视点:由向量的坐标表示可以转化出函数的解析式,根据函数的 单调性运用函数的导数分析,将问题转化为恒成立问题,进一步转化 为最值问题求解 解析:由定义得: f ?x? ? x 2 ?1 ? x? ? t ?x ? 1? ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t ∴ f ??x? ? ?3x 2 ? 2x ? t ∵ f ?x ?在?- 1,1? 上是增函数 ∴ f ??x? ? 0在?- 1,1? 上恒成立 ∴ t ? 3x 2 ? 2x在?- 1,1? 上恒成立 ∵在 ?- 1,1?上g ?x? ? 3x 2 ? 2x ? 5 ∴t ? 5 即 t 得取值范围是 ?5,???

方法总结:利用函数的点调性分离参数,以及运用基本函数的性质分 析和解决问题.
? ? ? 变式 1、设 a, b 是两个非零向量,如果函数 f ?x ? ? ? ? x a ? b ? ? ? a ? xb ? ? ? ? ?

的图像是一条直线,则必有 A、 a ? b B、 a ∥ b C、 a ? b

( D、 a ? b



评析:先将函数 f ?x ? 表示为曲线方程形式,在根据方程所表示的曲线 特征知 a ? b ? 0 ,从而得出结果 类型二、向量与三角函数 例 2、已知向量 a ? ?sin ? ,1?, b ? ?1, cos? ?, ? (1) 若 a ? b ,求 ? (2) 求 a ? b 的最大值 审题视点:1、由向量与向量的关系建立出等式,从而求出 ? 2、先将所求代数式用 ? 表示出来,在借助函数的思想求 解出最大值 解析: (1) 、由 a ? b 得 sin ? ? cos ? ? 0 ∴ tan ? ? ?1 ∵?
?
2 ?? ?

答案:A

?
2

?? ?

?
2

?
2

∴? ? ?

?
4

(2) 、由题意的 a ? b ? ?sin ? ? 1,1 ? cos? ?
?? ∴ a ? b ? ?sin ? ? 1?2 ? ?1 ? cos? ?2 ? 3 ? 2?sin ? ? cos? ? ? 3 ? 2 2 sin? ?? ? ?
? 4?

?? ∴当 sin? ?? ? ? ? 1 时 a ? b 取得最大值
? 4?

∴当 ? ?

?
4

时, a ? b 取得最大值 2 ? 1

方法总结:通过向量的坐标运算,将向量问题转化为三角函数问题, 再借助于三角函数求最值的思想求解.

变 式 2 、 设 向量 a ? ?1 ? cos? , sin ? ?, b ? ?1 ? cos? , sin ? ?, c ? ?1,0? . 其 中
? ? ?0, ? ?, ? ? ?? ,2? ?, a与c 的夹角为 ? 1 , b与c 的夹角为 ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ?
?
6



求 sin

? ??
4

的值.
a?c ac

评析:①利用 cos?1 ? 解决此题的关键;

得出 ?1与? 的关系,类似得出 ? 2与? 的关系是

②进一步得出 ? ? ?与?1 - ? 2 的关系, 从而求解 类型三、向量与解析几何

答案:-

1 2

例 3、已知抛物线 y ? x 2 上两点 A, B 满足 AP ? ? PB , ? ? 0 ,其中点 p 的坐标为 ?0,1? , OM ? OA ? OB , O 为坐标原点; 求: (1) ?AOB 的大小; (2)四边形 OAMB 的面积 S 的最小值. 审题视点:1、将角用向量来表示: ?AOB ?? OA, OB ? ,再利用
cos ? OA, OB ?? OA ? OB OA OB

求 ?AOB

2、先确定四边形 OAMB 的形状,若特殊便直接求解,若不 特殊就划分成若干个特殊的或便于求解的图像求解. 解析: (1)由 AP ? ? PB 得 A、P、B 三点共线 设直线方程为: y ? kx ? 1 A?x1 , x12 ? , B?x2 , x2 2 ? ∴由 ?
? y ? kx ? 1 ?y ? x
2

得 x 2 ? kx ? 1 ? 0

∴ x1 ? x2 ? k , x1 ? x2 ? ?1

∵ OA? OB ? x1 x2 ? x12 x2 2 ? ?1 ? 1 ? 0 ∴ OA ? OB 即 ?AOB ?
?
2

(2)由 OM ? OA ? OB 得 OAMB 是平行四边形 又由(1)得 ?AOB ?
?
2

∴四边形 OAMB 为矩形 ∴ S ? OA OB ? x12 ? x14 x2 2 ? x2 4 ? ? x1 x2 ?1 ? x12 ??1 ? x2 2 ?
? 1 ? x1 ? x2 ? ?x1 x2 ? ? 2 ? ?x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 4 ? k 2
2 2 2 2

∴当 k ? 0 时, S min ? 2 方法总结:1、注意挖掘向量语言中蕴含的几何条件 2、向量的坐标运算可以将几何问题代数解决 变式 3、 已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点, 满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总 在椭圆的内部,则椭圆的离心率的取值范围是 A、 ?0,1?
1? B、 ? ? 0, ? ? 2?

( D、 ?
? 2 ? ,1? ? 2 ? ?



C、 ? ? 0,
?

?

2? ? 2 ? ?

评析:注意向量语言即可以转化为坐标语言,也可以转化为图形语言 答案:C 规律方法小结: ⒈充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份” ,重视 向量的工具作用. ⒉利用向量解题的基本思路有两种,一是几何法:利用向量加减法的 法则,抓住几何特征解题;二是坐标法:建立适当的坐标系,将向量 用坐标表示,然后利用向量的坐标运算解题. ⒊树立和加强运用向量解题意识,尤其是与几何相关的问题,特别是

垂直和平行关系,利用向量法解决往往会更简单一些. ⒋向量与三角函数结合的问题, 通常是将向量的数量积与模经坐标运 算后转化为三角函数问题,然后用三角函数基本公式求解,其中涉及 到的有关向量的知识有:①的坐标表示及加、减法,数乘向量;②向 量的数量积;③向量平行、垂直的充要条件;④向量的模、夹角等. ⒌需要掌握一些重要结论,并灵活运用结论解题 .比如:向量的共线 定理、平面向量基本定理、三角形四心(没有包含旁心)与向量有关 的常见结论等. 板书设计 向量的应用 知识梳理: 变式 2、分析并评析 例1、 分析并寻找解题思路 变式 3、分析并评析 方法总结: 例2、 分析并寻找解题思路 本节课小结 变式 1、分析并评析

方法总结: 例3、 分析并寻找解题思路 注:充分运用多媒体展示 板书、结论、规律等 方法总结: 反思:学生能够掌握这三类题型并灵活运用,最好在黑板上板书一题


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