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1.2.2组合(二)课件


复习巩固:
1、组合定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成 一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2、组合数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) m m n Cn ? Cn ? m ? Am m! m !(n ? m)!

我们规定:Cn ? 1.
0

定理 1:

C ?C
n

m

n?m n

例1:一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则,比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问: (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守 门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?

? (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成 的学员上场方案种数为 C11 ? 12376
17

? (2)教练员可以分两部完成这件事: 第1步,从17名学员中选出11人组成上场小 11 组,共有C 种选法; 17 第2步,从选出的11人中选出1名守门员,共有 1 C11 种选法。 所以,教练员安排这件事的方式种数为

C ? C ? 136136
11 17 1 11

例2.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线 2 段共有多少条? C10 ? 45 (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条? 2

A10 ? 90

C 例3.(1)凸五边形有多少条对角线?
2 n

2 5

? 5 ? 10 ? 5 ? 5

(2)凸n( n>3)边形有多少条对角线?

C ?n

例4:在100件产品中有98件合格品,2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法 C
?

3 100

100 ? 99 ? 98 ? ? 161700 3 ? 2 ?1

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
1 2 C2 ? C98 ? 9506

说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类 法或间接法求解。

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有 多少种?
直接法:包括1件次品和2件次品两种情况。 根据分类计数原理,抽出3件中至少1件是次 品的抽法种数为

C ? C ? C ? C ? 9604
1 2 2 98 2 2 1 98

间接法:至少1件是次品的抽法种数,也就 是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中 都是合格品的抽法种数,即:

C

3 100

? C ? 9604
3 98

(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多 少种?
直接法:包括1件次品和0件次品两种情况。 根据分类计数原理,抽出3件中至多1件是次 品的抽法种数为

C ?C ? C
1 2 2 98

3 98

间接法:至多1件是次品的抽法种数,也就 是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中 都是次品的抽法种数,即:

C

3 100

? C ?C
2 2

1 98

变式练习
按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法? 3 2 (1)甲、乙、丙三人必须当选; C3 C9 ? 36 0 5 (2)甲、乙、丙三人不能当选; C3 C9 ? 126 (3)甲必须当选,乙、丙不能当选;C11C94 ? 126 (4)甲、乙、丙三人只有一人当选; C1C 4 ? 378 3 9 (5)甲、乙、丙三人至多2人当选; (6)甲、乙、丙三人至少1人当选;
3 1 4 5 (5)方法一:C32C9 ? C3 C9 ? C30C9 ? 756

方法二:C ? C C ? 756 1 4 (6)方法一:C C ? C C ? C3C9 ? 666 方法二:C ? C C ? 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9

C ? C ? C ? 14656
5 20 5 12 5 8

例5、某医院有内科医生12名,外科医生8名,现要 派5人参加支边医疗队,至少要有1名内科医生和1名 外科医生参加,有多少种选法? 例6:(1)平面内有9个点,其中4个点在一条直线 上,此外没有3个点在一条直线上,过这9个点可确 定多少条直线?可以作多少个三角形?

C ?C ? C ?C ? C ?C ? C ?C
1 12 4 8 2 12 3 8 3 12 2 8 4 12
840,3696,6160, 3960

1 8

例7、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任 意取出4只,试求满足如下条件各有多少种情况: (1)4只鞋子恰有两双;

C ? 28
2 8
4 8 4

(2) 4只鞋子没有成双的; C ? 2 ? 1120 (3) 4只鞋子只有一双。

C ? C ? 2 ? 672
1 8 2 7 2

课堂练习:
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习,每个车间2人, 若甲必须分到一车间,乙和丙不能分到二车间,则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中 9 至多有一个人参加,则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队,如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生,则不同的选法种数 为( C ) 3 2 3 3 2 3 A.(C8 ? C7 )(C7 ? C82 ) B.(C8 ? C7 ) ? (C7 ? C82 )
3 2 3 2 C.C8 C7 ? C7 C8

3 2 1 D.C8 C7 C11

4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员, 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有( ) D

AC . A

2 5

3 3

B.2C A

3 5

3 3

C. A

3 5

D.2C A ? A
2 5 3 3

3 5


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