koorio.com
海量文库 文档专家
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章向量数量积的坐标运算与度量公式课件


2.3.3

2.3.3

向量数量积的坐标运算与度量公式

【学习要求】 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的 坐标表示进行向量数量积的运算.
本 2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距 课 时 离公式. 栏 目 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 开 关 【学法指导】

平面向量数量积的定义及其坐标表示, 提供了数量积运算的两种 不同的途径. 准确地把握这两种途径, 根据不同的条件选择不同 的途径,可以优化解题过程.同时,平面向量数量积的两种形式 沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直 等有关问题的有力工具.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.3

1.平面向量数量积的坐标表示
本 课 时 栏 目 开 关

若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b= 2.两个向量垂直的坐标表示

x1x2+y1y2 .

即两个向量的数量积等于 相应坐标乘积的和 . 设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a⊥b? x1x2+y1y2=0 .

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.3

3.平面向量的模 (1)向量模公式:设 a=(x1,y1),则|a|=
本 课 时 栏 目 开 关
2 x1+y2 1

.

(2)两点间距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2), → ?x2-x1?2+?y2-y1?2 . 则|AB|= 4.向量的夹角公式 设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ, x1x2+y1y2 a· b |a||b| = x2+y2 x2+y2 1 1 2 2 则 cos θ= .

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.3

探究点一
本 课 时 栏 目 开 关

平面向量数量积的坐标表示

问题

已知两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用 a

与 b 的坐标表示 a· b?

答 ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,
∴a· b=(x1i+y1j)· 2i+y2j) (x =x1x2i2+x1y2i· 2y1j· 1y2j2. j+x i+y 又∵i· i=1,j· j=1,i· i=0, j=j· ∴a· 1x2+y1y2. b=x

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二

本 课 时 栏 目 开 关

2.3.3

平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式

问题 1 若 a=(x,y),试用 x,y 表示|a|.
∵a=xi+yj, ∴a2=(xi+yj)2=(xi)2+2xyi· j+(yj)2 =x2i2+2xyi· 2j2. j+y 又∵i2=1,j2=1,i· j=0, ∴a2=x2+y2,∴|a|2=x2+y2, ∴|a|= x2+y2.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.3

问题 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2)为平面内任意两点,试推导平 面内两点间的距离公式. → → → 答 如图,∵AB=OB-OA
=(x2,y2)-(x1,y1) =(x2-x1,y2-y1), → ∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.

本 课 时 栏 目 开 关

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 平面向量夹角的坐标表示

2.3.3

设 a,b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与
本 课 时 栏 目 开 关

b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得: x1x2+y1y2 a· b x2+y2· x2+y2 . 1 1 2 2 cos θ= = |a||b| 特别地,若 a⊥b,则有 x1x2+y1y2=0 ; 反之,若 x1x2+y1y2=0 ,则 a⊥b.

3 π 4 例如, (1)若 a=(3,0), b=(-5,5), a 与 b 的夹角为________. 则
直角 (2)已知 A(1,2), B(2,3), C(-2,5), 则△ABC 的形状是________
三角形

研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题] 例 1 已知 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求 a(b· c)及(a· b)c.
本 课 时 栏 目 开 关

2.3.3

解 (1)设 a=λb=(λ,2λ) (λ>0),则有 a· b=λ+4λ=10, ∴λ=2,∴a=(2,4).
(2)∵b· c=1×2-2×1=0, a· b=1×2+2×4=10, ∴a(b· c)=0a=0, (a· b)c=10(2,-1)=(20,-10).

小结

两个向量的数量积是实数,这和前面三种运算性质不

同. 同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.3

跟踪训练 1 若 a=(2,3),b=(-1,-2),c=(2,1),则(a· c b)· (-16,-8) (-8,-12) =____________;a· c)=____________. (b·
本 课 时 栏 目 开 关

解析 ∵a· b=2×(-1)+3×(-2)=-8, ∴(a· c=-8×(2,1)=(-16,-8). b)· ∵b· c=(-1)×2+(-2)×1=-4, ∴a· c)=(2,3)×(-4)=(-8,-12). (b·

研一研·问题探究、课堂更高效
例2

2.3.3

已知 a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数 λ 的取值范围,

使得:(1)a 与 b 的夹角为直角;(2)a 与 b 的夹角为钝角;(3)a 与 b 的夹角为锐角.

解 设 a 与 b 的夹角为 θ,
本 课 时 栏 目 开 关

则 a· b=(1,2)· (1,λ)=1+2λ.
(1)因为 a 与 b 的夹角为直角,所以 cos θ=0, 1 所以 a· b=0,所以 1+2λ=0,所以 λ=- . 2 (2)因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 cos θ<0 且 cos θ≠-1,
所以 a· 且 a 与 b 不反向. b<0 1 由 a· 得 1+2λ<0,故 λ<-2, b<0
由 a 与 b 共线得 λ=2,故 a 与 b 不可能反向.

研一研·问题探究、课堂更高效
所以 λ
? 1? 的取值范围为?-∞,-2?. ? ?

2.3.3

(3)因为 a 与 b 的夹角为锐角,所以 cos θ>0,且 cos θ≠1,
本 课 时 栏 目 开 关

所以 a· 且 a,b 不同向. b>0 1 由 a· b>0,得 λ>-2,由 a 与 b 同向得 λ=2. 所以 λ
? 1 ? 的取值范围为?-2,2?∪(2,+∞). ? ?

小结

由于两个非零向量a,b的夹角θ满足0° ≤θ≤180° ,所以 a· b 用cos θ= 来判断,可将θ分五种情况:cos θ=1,θ=0° ; |a||b| cos θ=0,θ=90° ;cos θ=-1,θ=180° ;cos θ<0且cos θ≠ -1,θ为钝角;cos θ>0且cos θ≠1,θ为锐角.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.3

跟踪训练 2 已知 a=(1,-1),b=(λ,1),若 a 与 b 的夹角 α 为钝角,求 λ 的取值范围. 解 ∵a=(1,-1),b=(λ,1),
本 课 时 栏 目 开 关

∴|a|= 2,|b|= 1+λ2,a· b=λ-1.
∵a,b 的夹角 α 为钝角. ?λ-1<0 ?λ<1 ? ? ∴? ,即? 2 . 2 ?λ +2λ+1≠0 ? 2 1+λ ≠1-λ ? ?
∴λ<1 且 λ≠-1.
∴λ 的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).

本 课 时 栏 目 开 关

2.3.3 研一研·问题探究、课堂更高效 例 3 已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD → 为 BC 边上的高,求|AD|与点 D 的坐标. 解 设 D 点坐标为(x,y), → → → 则AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2), → → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ,使BD=λBC, 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3). ?x-3=-6λ ? ∴? . ?y-2=-3λ ? ∴x-3=2(y-2),即 x-2y+1=0. ① → → 又∵AD⊥BC,∴AD· =0, BC
即(x-2,y+1)· (-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0.

研一研·问题探究、课堂更高效
即 2x+y-3=0.
?x=1 ? 由①②可得? ?y=1 ?

2.3.3




本 课 时 栏 目 开 关

→ 即D点坐标为(1,1),AD=(-1,2). → ∴|AD|= ?-1?2+22= 5, → 即|AD|= 5,D(1,1).

小结

在几何里利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题

型,其处理方法:设出点的坐标,利用垂直及模长列出方程组 进行求解.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.3

本 课 时 栏 目 开 关

跟踪训练 3 以原点和 A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB, → ∠B=90° ,求点 B 和AB的坐标. → → 解 设 B(x,y),∴OB=(x,y),AB=(x-5,y-2). → 则|OB|= x2+y2, → |AB|= ?x-5?2+?y-2?2. → → 又∵|AB|=|OB|,
∴ ?x-5?2+?y-2?2= x2+y2.
可得 10x+4y=29, → → 又∵且OB⊥AB, → → ∴OB· =0,∴x(x-5)+y(y-2)=0, AB
即 x2-5x+y2-2y=0,





研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.3

本 课 时 栏 目 开 关

3 ? ?x1=2, 由①②解得? ?y1=7, 2 ?
?3 7? ?7 3? ∴B?2,2?或?2,-2?. ? ? ? ?

7 ? ?x2=2, 或? ?y2=-3. 2 ?

7? → ? 7 3? → ? 3 ∴AB=?-2,2?或AB=?-2,-2?.
? ? ? ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.3.3

1. 已知 a=(3,-1),b=(1,-2),则 a 与 b 的夹角为 ( B ) 本 π π π π 课 A. B. C. D. 6 4 3 2 时
栏 目 开 关

解析 ∵|a|= 10,|b|= 5,a· b=5.
a· b 5 2 ∴cos〈a,b〉=|a||b|= = . 10× 5 2 π ∴a 与 b 的夹角为 . 4

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.3.3

2. 已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直, 则|a|等于
本 课 时 栏 目 开 关

( C ) B. 2 C.2 D.4

A.1

解析 ∵(2a-b)· b=2a· b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2- 3=0, ∴n=± 3.

∴|a|= 12+n2=2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.3.3

→ → 3. 在△ABC 中,∠C=90° ,AB=(k,1),AC=(2,3),则 k 的

5 值为________.
本 课 时 栏 目 开 关

→ → → 解析 ∵BC=AC-AB=(2,3)-(k,1)=(2-k,2), → AC=(2,3), → → ∴BC· =2(2-k)+6=0,∴k=5. AC

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.3.3

4. 已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a-(a· b)b,则|c| 8 2 =________.
本 课 时 栏 目 开 关

解析 ∵a=(2,4),b=(-1,2),
∴a· b=2×(-1)+4×2=6, ∴c=a-6b, ∴c2=a2-12a· b+36b2=20-12×6+36×5=128.
∴|c|=8 2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.3.3

1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法 解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依
本 课 时 栏 目 开 关

据和有力的工具支持.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长 度等几何问题, 在学习中要不断地提高利用向量工具解决数 学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可 以对比学习、记忆.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2).则 a∥b ?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0.


推荐相关:

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章向量的正交分解与向量直角坐标运算_数学_高中教育_教育专区。2.2.2 一、基础过关 向量正...


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章 2.1.1向量的概念_数学_高中教育_教育专区。第二章 § 2.1 平面向量 向量的线性运算向量...


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章 2.1.1第二章 2.1.2向量的加法_数学_高中教育_教育专区。2.1.2 一、基础过关 向量的...


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章 2.4.1向量在几何中的应用 隐藏>> § 2.4 2.4.1 一、基础过关 向量的应用向量在几何中的...


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章 2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件_数学_高中教育_教育专区。2.2.3 一、基础过关 用...


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4综合检测_数学_高中教育_教育专区。综合检测一、选择题 5 1. 已知△ABC 中,tan A=- ,则 cos A...


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第三章 3.1.3两角和与差的正切_数学_高中教育_教育专区。3.1.3 一、基础过关 两角和与差的正切 ...


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章 1.2.1三角函数的定义_数学_高中教育_教育专区。§ 1.2 任意角的三角函数三角函数的定义 ...


《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版...

《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第一章1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算_其它课程_高中教育_教育专区。1.1.2 弧度制和弧度制与...


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章 1.2.4诱导公式(一)_数学_高中教育_教育专区。1.2.4 一、基础过关 1. sin 585° 的值...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com