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【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章 3.3.3函数的最大(小)值与导数基础过关训练 新人教A版选修1-1


3.3.3
一、基础过关

函数的最大(小)值与导数

1.函数 f(x)=-x +4x+7,在 x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是 A.f(2),f(3) C.f(2),f(5)
3 2

2

(

)

B.f(3),f(5) D.f(5),f(3)

2.f(x)=x -3x +2 在区间[-1,1]上的最大值是 ( A.-2 ) D.4 (
2

B.0 C.2 ln x 3.函数 y= 的最大值为

x

)

A.e

-1

B.e
2

C.e

D.

10 3

4.函数 y= (

4x 在定义域内 x +1

)

A.有最大值 2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.有最大值 2,最小值-2 D.无最值 15 2 5.已知函数 y=-x -2x+3 在区间[a,2]上的最大值为 ,则 a 等于 4 3 1 1 1 3 A.- B. C.- D. 或- 2 2 2 2 2 6.函数 f(x)=xe 的最小值为________. 7.已知 f(x)=-x +mx+1 在区间[-2, -1]上最大值就是函数 f(x)的极大值, m 的取值 则 范围是________. 二、能力提升 8.设直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时
2 2

(

)

x

t 的值为(
A.1

) 1 B. 2
x
3

C.

5 2

D.

2 2

9.已知函数 f(x)=e -2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 10.已知函数 f(x)=2x -6x +a 在[-2,2]上有最小值-37,求 a 的值及 f(x)在[-2,2]上 的最大值. 11.已知函数 f(x)=x -ax +bx+c(a,b,c∈R). (1)若函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值,试求 a,b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求 c 的取值范围. 12.函数 f(x)=x +ax +b 的图象在点 P(1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行. (1)求 a,b;
1
3 2 3 2 2

(2)求函数 f(x)在[0,t] (t>0)内的最大值和最小值. 三、探究与拓展 13.已知函数 f(x)=(x-k)e . (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
x

2

答案 1 1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.- e 7.[-4,-2] 8.D
2

9.(-∞,2ln 2-2] 10.解 f′(x)=6x -12x=6x(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

-2

(-2,0)

0

(0,2)

2

+ -40+a ↗

0 极大值 a

- ↘

0 -8+a

∴当 x=-2 时,f(x)min=-40+a=-37,得 a=3. 当 x=0 时,f(x)最大值为 3. 11.解 (1)f′(x)=3x -2ax+b, ∵函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值, ∴-1,3 是方程 3x -2ax+b=0 的两根.
2 2

?-1+3=2a ? 3 ∴? b ? ?-1×3=3
3

,∴?

?a=3 ? ? ?b=-9

.

(2)由(1)知 f(x)=x -3x -9x+c,

2

f′(x)=3x2-6x-9.
当 x 变化时,f′(x),f(x)随 x 的变化如下表: (-∞,- 1) + ↗

x f′(x) f(x)

-1 0 极大值 c+5

(-1,3) - ↘

3 0 极小值 c-27

(3,+∞) + ↗

而 f(-2)=c-2,f(6)=c+54, ∴当 x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为 c+54, 要使 f(x)<2|c|恒成立,只要 c+54<2|c|即可, 当 c≥0 时,c+54<2c,∴c>54; 当 c<0 时,c+54<-2c,∴c<-18. ∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞),此即为参数 c 的取值范围. ? ?f? 1? =0 2 12.解 (1)f′(x)=3x +2ax,由已知条件? ? ?f′? 1? =-3
?a+b+1=0 ? 即? ? ?2a+3=-3

,解得?
3 2

?a=-3 ? ? ?b=2

.

(2)由(1)知 f(x)=x -3x +2,
3

f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). f′(x)与 f(x)随 x 变化情况如下: x f′(x) f(x)
因此根据 f(x)图象, 当 0<t≤2 时,f(x)的最大值为 f(0)=2, 最小值为 f(t)=t -3t +2; 当 2<t≤3 时,f(x)的最大值为 f(0)=2,最小值为 f(2)=-2; 当 t>3 时,f(x)的最大值为 f(t)=t -3t +2,最小值为 f(2)=-2. 13.解 (1)f′(x)=(x-k+1)e . 令 f′(x)=0,得 x=k-1,
x
3 2 3 2

(-∞,0) + ?↗

0 0 2

(0, 2) - ↘

(2, 2 0 -2 + ∞) + ↗

由 f(x)=f(0),解得 x=0,或 x=3.

f(x)与 f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)
(-∞,k- 1) - ↘?

k-1
0 -e
k-1

(k-1, +∞) + ↗

所以 f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时,由(1)知 f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1)上单调递 增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-e
k-1

.

当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.

4


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