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【高中数学必修二】4.2.2圆与圆的位置关系


4.2.2 圆与圆的位置关系

1、点和圆的位置关系有几种?如何判定?
三种:点在圆外;点在圆上;点在圆内。
几何法:点在圆内?d<r 点在圆上?d=r 点在圆外?d>r 代数法:点在圆内?(x0 -a)2+(y0 -b)2<r2 点在圆上?(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外?(x0 -a)2+(y0 -b)2

>r2

2.判断直线和圆的位置关系:
几何方法
求圆心坐标及 半径r 圆心到直线的距离d (点到直线距离公式)
2

代数方法
? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? ? Ax ? By ? C ? 0
2

消去y(或x)

px ? qx ? t ? 0
2

?d ? r : 相交 ? ?d ? r : 相切 ?d ? r : 相离 ?

?? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 : 相切 ? ? ? 0 : 相离 ?

直线和圆的位置关系 代数方法

几何方法

类比

猜想

圆和圆的位置关系 代数方法

几何方法

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

R

R

O1 O r 2

O1 O

r

2

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

R

R

O1 O r 2

O1 O

r

2

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

O1O2>R+r
R R

O1 O r 2

O1 O

r

2

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

外切

O1O2>R+r
R R

O1 O r 2

O1 O

r

2

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

外切

O1O2>R+r
R

O1O2=R+r
R

O1 O r 2

O1 O

r

2

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

外切

相交

O1O2>R+r
R

O1O2=R+r
R

O1 O r 2

O1 O

r

2

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

外切

相交

O1O2>R+r
R

O1O2=R+r
R

R-r<O1O2<R+r

O1 O r 2

O1 O

r

2

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

外切

相交

O1O2>R+r
R

O1O2=R+r
R

R-r<O1O2<R+r

O1 O r 2

O1 O

r

2

内切

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

外切

相交

O1O2>R+r
R

O1O2=R+r
R

R-r<O1O2<R+r

O1 O r 2

O1 O

r

2

内切

O1O2=R-r

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

外切

相交

O1O2>R+r
R

O1O2=R+r
R

R-r<O1O2<R+r

O1 O r 2

O1 O

r

2

内切

内含

O1O2=R-r

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

外切

相交

O1O2>R+r
R

O1O2=R+r
R

R-r<O1O2<R+r

O1 O r 2

O1 O

r

2

内切

内含

O1O2=R-r

0≤O1O2<R-r

从图形上看圆与圆的五种位置关系:
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

外切

相交

O1O2>R+r
R

O1O2=R+r
R

R-r<O1O2<R+r
R

O1 O r 2

O1 O

r

2

O 1O 2r

内切

内含

同心圆

(一种特殊的内含)

O1O2=R-r

0≤O1O2<R-r

O1O2=0

判断两圆位置关系

外离

d>R+r d=R+r

R O1

r O2

外切 内切

R O1

r O2

d=R-r
0≤d<R-r

R

O1 O

r

2

内含

R

O1 O r 2

相交

R-r<d<R+r

R O1

r O2

判断两圆位置关系
几何方法

外离

d>R+r d=R+r

R O1

r O2

外切 内切

R O1

r O2

d=R-r
0≤d<R-r

R

O1 O

r

2

内含

R

O1 O r 2

相交

R-r<d<R+r

R O1

r O2

判断两圆位置关系
几何方法

外离

d>R+r d=R+r

R O1

r O2

外切
两圆心坐标及半径

R O1

r O2

内切

d=R-r
0≤d<R-r

R

O1 O

r

2

内含

R

O1 O r 2

相交

R-r<d<R+r

R O1

r O2

判断两圆位置关系
几何方法

外离

d>R+r d=R+r

R O1

r O2

外切
两圆心坐标及半径

R O1

r O2

内切
圆心距d (两点间距离公式)

d=R-r
0≤d<R-r

R

O1 O

r

2

内含

R

O1 O r 2

相交

R-r<d<R+r

R O1

r O2

判断两圆位置关系
几何方法

外离

d>R+r d=R+r

R O1

r O2

外切
两圆心坐标及半径

R O1

r O2

内切
圆心距d (两点间距离公式)

d=R-r
0≤d<R-r

R

O1 O

r

2

内含

R

O1 O r 2

判断d和r1,r2的 关系,下结论

相交

R-r<d<R+r

R O1

r O2

判断两圆位置关系
几何方法

外离

d>R+r d=R+r

R O1

r O2

外切
两圆心坐标及半径

R O1

r O2

内切
圆心距d (两点间距离公式)

d=R-r
0≤d<R-r

R

O1 O

r

2

内含

R

O1 O r 2

比较d和r1,r2的 大小,下结论

相交

R-r<d<R+r

R O1

r O2

建议:结合图形记忆

C1: (x-x1)2+(y-y1)2=r12; C2: (x-x2)2+(y-y2)2=r22
圆心距: C1C 2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2 2

相离 ? C1C 2 ? r1 ? r2
判断圆与圆的 位置关系的实 际操作

外切? C1C2 ? r1 ? r2

相交 ? r1 ? r2 ? C1C 2 ? r1 ? r2
内切 ? C1C 2 ? r1 ? r2
内 含 ? C 1 C 2 ? r1 ? r2

C1: (x-x1)2+(y-y1)2=r12; C2: (x-x2)2+(y-y2)2=r22
圆心距: C1C 2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2 2

相离 ? C1C 2 ? r1 ? r2
判断圆与圆的 位置关系的实 际操作

外切? C1C2 ? r1 ? r2

相交 ? r1 ? r2 ? C1C 2 ? r1 ? r2
内切 ? C1C 2 ? r1 ? r2
内 含 ? C 1 C 2 ? r1 ? r2

注意:实际操作时不能明确两圆半径大小关系时, 半径差要加绝对值符号。

圆与圆的位置关系的判定:
几何方法
两圆心坐标及半径

代数方法

圆心距d (两点间距离公式)



判断d和r1,r2的 关系,下结论

判断C1和C2的位置关系: 2 2 C1 : x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0
C2 : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0
2 2

解:联立两个方程组得
2 2 ? x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ? 作差有 ? 2 2 ? ?x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0

? ?? ? ?? 2? ? 4 ?1? ?? 3? ? 16 ? 0
2

? x ? 2 y ?1 ? 0 ? x ? 2x ? 3 ? 0
2

所以圆C1与圆C2有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2)

判断C1和C2的位置关系:
C1 : x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0
2 2 2 2

C2 : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0
(1)当Δ>0时,有两个交点,两圆相交.

(2)当Δ=0时,有一个交点,两圆位置关系如何? 内切或外切 (3)当Δ<0时,没有交点,两圆位置关系如何? 内含或外离

? 几何方法 判断两圆位置关系 ? 代数方法 ?
各有何优劣,如何选用? (1)当Δ>0时,有两个交点,两圆相交. (2)当Δ=0时,有一个交点,两圆位置关系如何? 内切或外切 (3)当Δ<0时,没有交点,两圆位置关系如何? 内含或外离
几何方法直观,容易判断圆的位置关系,但不能求 出交点坐标; 代数方法能求出交点坐标,但Δ=0,Δ<0时,不能具 体确定圆的位置关系。

圆与圆的位置关系的判定:
几何方法
两圆心坐标及半径

代数方法
? ( x ? a1 )2 ? ( y ? b1 )2 ? r12 ? 2 2 2 ?( x ? a2 ) ? ( y ? b2 ) ? r2
消去y(或x)

圆心距d (两点间距离公式)

px ? qx ? r ? 0
2

比较d和r1,r2的 大小,下结论

? ? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 :内切或外切 ?? ? 0 : 外离或内含 ?

一个重要的圆系----共点圆系
过两圆C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 和圆C 2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
2 2

?x

的公共点的圆系方程:
2 2

?? ? ?1?

? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
2 2

? ?

?

此圆系方程少一个圆C2

特别地,在该圆系方程中,当? ? ?1时, 两圆相减(保证两个圆x 2、y 2的系数相同)得: 方程?D1 ? D2 ?x ? ?E1 ? E 2 ? y ? ?F1 ? F2 ? ? 0 ?两圆相交时:表示公共弦所在直线方程 ? ?两圆相切时:表示过切点的公切线方程

例1:求过两圆 x 2 + y 2 -4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 -2y -4 = 0 的交点,
(1)且过点 (- 1 , 1)的圆的方程。
解:设所求圆方程为

??1 ? ? ?x ? ?1 ? ? ?y ? 4x ? ?2 ? 2? ?y ? 4? ? 0
2 2

?x ? y
2

2

? 4x ? 2 y ? ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0
2 2

? ?

?

??1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4??1? ? ?2 ? 2? ? ? 4? ? 0 ?? ? 2 4 2 8 2 2 故所求圆方程为 x ? y ? x ? y ? ? 0 3 3 3

例1:求过两圆 x 2 + y 2 -4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 -2y -4 = 0 的交点,
(2)且圆心在直线 2x + 4y = 1上的圆方程。
解:设所求圆方程为

??1 ? ? ?x ? ?1 ? ? ?y ? 4x ? ?2 ? 2? ?y ? 4? ? 0
2 2

?x ? y
2

2

? 4x ? 2 y ? ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0
2 2

? ?


?

2 ? ?1 1 由圆心( , )代入2 x ? 4 y ? 1 ? ? ? 1? ? 1? ? 3 故所求圆方程为 x 2 ? y 2 ? 3x ? y ?1 ? 0

例2:求过圆 x2+y2-10x-15=0 ① 与圆x2+y2-15x+5y-30=0 ② 的交点的直线方程.

分析: 用方程① — 方程②,
可知公共弦所在的直线为

x? y?3?0

练习、已知圆 C1: x2+y2 +4x– 3=0与 圆 C2: 2x2+2y2 –4y –3 =0 (1)求过两圆交点,且圆心在直线2x –y –4=0上的圆 (2)求两圆公共弦所在的直线方程 (3)求公共弦的长

小结:判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径

代数方法
? ( x ? a1 )2 ? ( y ? b1 )2 ? r12 ? 2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ? 2 2 2
消去y(或x)

圆心距d (两点间距离公式)

px 2 ? qx ? r ? 0

比较d和r1,r2的 大小,下结论

? ? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 :内切或外切 ?? ? 0 : 相离或内含 ?

一个重要的圆系----共点圆系
过两圆C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 和圆C 2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
2 2

?x

的公共点的圆系方程:
2 2

?? ? ?1?

? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
2 2

? ?

?

此圆系方程少一个圆C2

特别地,在该圆系方程中,当? ? ?1时, 两圆相减(保证两个圆x 2、y 2的系数相同)得: 方程?D1 ? D2 ?x ? ?E1 ? E 2 ? y ? ?F1 ? F2 ? ? 0 ?两圆相交时:表示公共弦所在直线方程 ? ?两圆相切时:表示过切点的公切线方程


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