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福建省上杭县第一中学2015-2016学年高二上学期期末模拟练习(理)数学试题


福建省上杭县第一中学 2015-2016 学年高二上学期期末模拟练习 理科数学 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.等比数列 ?an ? 中, S2 ? 7, S6 ? 91,则 S4 ? ( A.28 B.32 C.35 ) D.49

2 x

2.设 p : y ? c 是 R 上的单调递减函数; q :函数 g ? x ? ? lg 2cx ? 2 x ? 1 的值域为 R .如

?

?

果“ p 且 q ”为假命题, “ p 或 q ”为真命题,则正实数 c 的取值范围是( A. ? ,1?



?1 ? ?2 ?

B. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

C. ? 0, ? ? ?1, ?? ? 2

? ?

1? ?

D. ? 0, ? )

? ?

1? 2?

3.若三角形三边长分别是 4cm, 6cm,8cm ,则此三角形是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.形状不定的三角形 )

4.设抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A.4 B.6 C.8 D.12

2 2 5.已知 a, b, c 都是实数,则在命题“若 a ? b ,则 ac ? bc ”与它的逆命题、否命题、逆否

命题四个命题中,真命题的个数是( A.4 B.2

) C.1 D.0

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9, S5 ? 30 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 B.42 C.36 D.27



?x ? y ? 5 ? 0 ? 8.若不等式组 ? y ? a 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的值范围是( ?0 ? x ? 3 ?
A. a ? 5 B. a ? 8 C. a ? 5 或 a ? 8 D. 5 ? a ? 8



9.在 ?ABC 中,角 C , B 所对的边长为 c, b ,则“ c ? b ”是“ c cos C ? b cos B ”的( 条件 A.充分不必要 10.已知椭圆 E : B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A 、 B a 2 b2
) .

两点.若 AB 的中点坐标为 ?1, ?1? ,则 E 的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

11.在函数 y ? f ? x ? 的图象上有点列 ? xn , yn ? ,若数列 ?xn ? 是等差数列,数列 ? yn ? 是等比数 列,则函数 y ? f ? x ? 的解析式可能为( A. f ? x ? ? 2x ? 1 B. f ? x ? ? 4x
2

) C. f ? x ? ? log3 x

?3? D. f ? x ? ? ? ? ?4?

x

12 .已知 A, B, P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上不同的三点,且 A, B 连线经过坐标原点,若直线 a 2 b2
2 ,则该双曲线的离心率为( 3
C. 2 D. )

PA, PB 的斜率乘积 k PA ? k PB ?
A.

5 2

B.

6 2

15 3

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若数列 ?an ? 为等差数列, a10 ? 4, a18 ? 12 ,则 a8 ? ________.

? x ? 1, ? 14.在约束条件 ? y ? 2, 下, z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 1,则 ab 的最大值等 ? x ? y ? 1 ? 0, ?
于________

x2 y 2 2 2 15 .若双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线与圆 ? x ? 2 ? ? y ? 3 相切,则此双曲线的离心率为 a b
________

16.设函数 f ? x ? ? 2x ? cos x, ?an ? 是公差为

? 的等差数列, f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? f ? a3 ? ? 3? , 4

则 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ??????? f ? a10 ? ? ________; 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知 p : x ? 3 ? 2 ; q : ? x ? m ?1?? x ? m ?1? ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的充分而不必要条件, 求实数 m 的范围. 18. ?ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (1)求边 AB 的长; (2)若 ?ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

19.某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示. 用煤(吨) 甲产品 乙产品 7 3 用电(千瓦) 产值(万元) 20 50 8 12

但国家每天分配给该厂的煤、电有限,每天供煤至多 56 吨,供电至多 450 千瓦,问该厂如何 安排生产,使得该厂日产量最大?最大日产量为多少? 20.已知数列 ?an ? 为等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且满足 16 ? a1 ? a4 ? ? 7 ? 0, S1, S3 , S2 成等 差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
?1 (2)已知 bn ? n ? n ? N? ? ,记 cn ? ? ?1? bn an ,求数列 ?cn ? 前 n 项和 f ? n ? . n

21 .如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC 为等边三角形,侧棱 AA1 ? 平面 ABC ,

AB ? 2, AA1 ? 2 3 , D 、 E 分别为 AA1 、 BC1 的中点.
(Ⅰ)求证: DE ? 平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求 BC 与平面 BC1D 所成角; (Ⅲ)求三棱锥 C ? BC1D 的体积.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

x2 y 2 22.已知 F 1 作倾斜角 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? 是椭圆的 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 左、右焦点,过点 F a b
为 ? 的动直线 l 交椭圆于 A, B 两点.当 ? ? (1)求椭圆的离心率及椭圆的标准方程; (2)求 ?ABF2 面积的最大值,并求出使面积达到最大值时直线 l 的方程.

?
4

时, AF1 ? 2 ? 3 F1 B ,且 AB ? 3 .

????

?

?

????

上杭一中 2015—2016 学年第一学期 高二数学理科期末练习试题参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1—5:AACBB 6—10:AADAD 11—12:DD

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.2

14.

1 8

15.2

16.

55? 2 ? 2 2

三、解答题 17.解:通过解绝对值不等式化简命题 p ,求出非 p ;通过解二次不等式化简命题 q ,求出 非 q ;通过非 p 是非 q 的充分而不必要条件得到两个条件端点值的大小关系,求出 m 的范围 解:由题意 p : ?2 ? x ? 3 ? 2 ,∴ 1 ? x ? 5 .∴非 p : x ? 1 或 x ? 5 . q : m ? 1 ? x ? m ? 1 , ∴非 q : x ? m ? 1 或 x ? m ? 1 .又∵非 p 是非 q 的充分而不必要条件, m ? 1 ? 1 且 m ? 1 ? 5 , ∴2? m ? 4 18. (Ⅰ)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 两式相减,得 AB ? 1 . ( Ⅱ ) 由 ?ABC 的 面 积 ①, BC ? AC ? 2AB ②,

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C , 得 B C ? A C? , 由 余 弦 定 理 , 得 2 6 3
2

2 AC 2 ? BC 2 ? AB2 ? AC ? BC ? ? 2 AC ? BC ? AB 1 cos C ? ? ? 2 AC ? BC 2 AC ? BC 2

所以 C ? 60? .. (1 分)

19.设该厂每天安排生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,则日产值 z ? 8 x ? 12 y ,

?7 x ? 3 y ? 56 ? 线性约束条件为 ? 20 x ? 50 y ? 450 . ? x ? 0, y ? 0 ?
作出可行域. (7 分)

(4 分)

8 z x? , (8 分) 12 12 z 由图可知,当直线 l 经过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 取最大值. 12
把 z ? 8 x ? 12 y 变形为一组平行直线系 l : y ? ? 解方程组 ?

(10 分)

?7 x ? 3 y ? 56 ,得交点 M (5,7) ?20 x ? 50 y ? 450
(13 分)

(11 分)

zmax ? 8 ? 5 ? 12 ? 7 ? 124 .

1 ∴ q ? ? 或 q ? 0 (舍去) 2
(2)∵ bn ? n, an ? ? ? ? ,∴
2 3

7 1 ? 1? ? a1 ? a4 ? a1 ?1 ? q 3 ? ,∴ a1 ? ? , an ? ? ? ? 又? 16 2 ? 2?

n

? 1? ? 2?

n

bn ? n ? 2n an
n

8分

∴ f ? n? ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? ?? n ? 2 ,

2 f ? n? ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? ? n ?1? ? 2n ? n ? 2n?1 ,
∴ ? f ? n? ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? n ? 2
2 3 n n?1



11 分

∴ f ? n? ? ? ?

? 2 ? 2n?1 ? ? n ? 2n?1 ? ? ? n ? 1? ? 2n?1 ? 2 ? 1? 2 ?

12 分

21. (Ⅰ)设 BC 中点为 F ,连结 AF , EF ,∴ EF ? CC1 , EF ? 而 AD ? CC1 , AD ?

1 CC1 , 2

1 CC1 ,∴ EF ? AD, EF ? AD ,∴四边形 AFED 为平行四边形, 2

∴ DE ? AF ,又 QVABC 为等边三角形,∴ AF ? BC ,而 CC1 ? 平面 ABC

CC1 ? AF ,而 BC ? CC1 ? C ,∴ AF ? 平面 BB1C1C ,∴ DE ? 平面 BB1C1C

4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,平面 AFED ? 平面 BB1C1C ,过 C 作 CM ? BC1 于 M 点,则 CM ? 平

BC 与 平 面 BC 面 BC1D , ∴ ?CBC 1 就是 1 D 所 成 的 角 , t a n?CBC1 ?

CC1 ? BC

3, ∴

?CBC1 ? 60?

8分

(Ⅲ) QVC ? BC1D ? VD ? BCC1 ?

1 1 1 SVBCC1 ? DE ? ? ? 2 ? 3 ? 2 3 ? 2 3 3 2

22.解: (1)直线 l 的方程为 x ? y ? c ,

?x ? y ? c ? 2 2 2 2 4 由 ? x2 y 2 ,消去 x 得, ? a ? b ? y ? 2b cy ? b ? 0 , ? 2 ? 2 ?1 ?a b
2b 2c 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 2 ①, a ? b2
又由 AF1 ? 2 ? 3 F1 B 得

?b 4 y1 y2 ? 2 ②, a ? b2

????

?

?

????

y1 ? ? 2 ? 3 ③, y2

?

?

由①②得

? y1 ? y2 ?
y1 y2
2

2

?

y1 y2 ?4c 2 ? ?2? 2 ? ?2 ,∴ a2 ? b2 ? 2c2 , a2 ? 3b2 y2 y1 a ? b2

∴ 2a ? 3c ,∴ e ?
2

6 . 3
4b 4 c 2 ? 4b 4 ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? b2 ? 4ab 2 ? a ? 3, a 2 ? b2

AB ? 2 y1 ? y2 ? 2 ?
2

∴ b ? 3 ,∴椭圆标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 3

? x ? my ? 6 ? ( 2 ) 设 直 线 l 的 方 程 为 x ? my ? 6 , 由 ? x 2 y 2 , 消 去 x 得 , ? ? 1 ? 3 ?9

? m ? 3? y ? 2 6my ? 3 ? 0 , y1 ? y2 ?
2 2

24m2 ? 12 ? m2 ? 3? m2 ? 3

?

6 m2 ? 1 , m2 ? 3

1 6 m2 ? 1 6 6 6 6 S?ABF2 ? ? 2c ? y1 ? y2 ? 6 ? ? ? ?3 3 2 2 2 m ?3 2 2 2 m ?1 ? m2 ? 1


m2 ? 1 ?

2 m2 ? 1

,即 m ? ?1 时,使 ?ABF2 面积达到最大值,此时直线 l 的方程为

y ?? x? 6 .

?

?


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