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高三数学试卷答案


参考答案和评分标准 一、选择题 1. B 2. D 8. B 二、填空题 9. 5 10. ?1760
6

3. C

4. D

5. C

6. A

7. A

11.

i ? 10 (答案不唯一)

12.

24

13. 14. 1

5 ?1

15.

??TBA ? ?BTO

三、解答题 16. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2sin2 x ? 2sin x cos x ? 1 ? cos 2x ? sin 2x
? 1 ? 2(sin 2 x cos

?

? cos 2 x sin ) ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) …..4 4 4 4

?

?



所以函数
1 ? 2 …………..6

f ( x)

的最小正周期为 ? ,最大值为

分 Ⅱ ) 由 分
?
2


2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

(k ? Z ) ………………………………7


k? ?

?
8

? x ? k? ?

3? (k ? Z ) 8

…………………………………………

………9 分 由
2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

3? (k ? Z ) ……………………………………. 2

.10 分 得
k? ? 3? 7? ? x ? k? ? (k ? Z ) 8 8

………………………………………

……….11 分 所以,单调增区间
[k? ? 3? 7? , k? ? ]( k ? Z ) 8 8

[k? ?

?
8

, k? ?

3? ]( k ? Z ) 8

;单调减区间

. ………………………………………………………………… ………………………12 分 17. ..1 分 因为函数
f ?(2) ? 0 …….2 f ( x)











f ?( x) ? 6x2 ? 6ax ? 3b ,………………………………………………



x ?1



x?2

取得极值,则有

f ?(1) ? 0





即? ? 解
b?4

6 ? 6a ? 3b ? 0 ?24 ? 12a ? 3b ? 0



a ? ?3



……………………………………………………………..5

分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ?12x ? 8c ,
f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2)

………………………………

……..6 分 当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当
f ?( x ? x ? (2,3)





) 0 ………………………………………………..8 分

所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c ,
f (3) ? 9 ? 8c





x ?[

0

时 ,

3

, ] 分

f ( x)











f (3) ? 9 ? 8c …………………..10

因为对于任意的 x ?[0,3] ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以 9 ? 8c ? c2 ,解得 c ? ?1 或 c ? 9 , 因 此 c 的 取 值 范 分 围 为

(??, ?1) ? (9, ??) …………………………………12

18. 解法一: (Ⅰ)? 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面三边长 AC=3, BC=4,AB=5,
? AC ? BC ,


CC1 ? AC

ABC ? A1B1C1

是 直 三 棱 柱 , 所 以 ,

………………………2 分
? AC ? BC1 ;…….4

AC ? 面 BCC1B1 , BC1 ? 面 BC1



(Ⅱ)设 CB1 与 C1B 和交点为 E,连结 DE,
?D

是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,? DE // AC1 …….7 分 分
B1

? DE ? 平面 CDB1 , AC1 ? 平面 CDB1 ,? AC1 // 平面 CDB1 ;…9
z

(Ⅲ)? DE // AC1 ,??CED 为 AC1 与 B1C 所成的角…11 分, C1 1 5 1 5 在 ?CED 中, ED ? AC1 ? , CD ? AB ? ,
2 2 2 2
A1 E

1 CE ? CB1 ? 2 2 , 2

? cos ?CED ?

CE 2 ? ED 2 ? CD 2 8 2 2 ? ? 5 2 ? EC ? ED 5 2?2 2 ? 2
A

C B D

y

?
2 2 5

异 面 直 线

AC1



B1C

所 成 x角 的 余 弦 值 为

………………………..14 分

解法二: ? 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , 底面三边长 AC=3, BC=4, AB=5,
? AC ? BC

,且 ,

BC1

在 平 面 ABC 内 的 射 影 为 BC , BC ,
C1C

? AC ? BC1 ;….3

分 两 两 垂

?

AC

直。………………………………………………4 分 如图,以 C 为坐标原点,直线 AC,BC, C1C 分别为 x 轴,y 轴, 轴, z 建立空间直角坐标系, C(0,0,0) ,A(3, 0, 0) ,C1 (0,0, 4) , 则
5 B(0, 4, 0) , B1 (0, 4, 4) , D( ,2,0) …6 分 2? ???? ??? ? (Ⅰ) AC ? (?3,0,0) ,BC1 ? (0, ?4,4) , AC ? BC1 ? 0 , AC ? BC1 ……8 ? ? ?

分 (Ⅱ)设 CB1 与 C1B 和交点为 E,连结 E(0, 2, 2) 。
???? ???? 1 ???? ? ???? ? 3 ? DE ? ( ? , 0, 2) , AC1 ? (?3,0,4) ? DE ? AC1 ,? DE // AC1 2 2
? DE ?

平 面

, AC1 ? C D1 B 分
????

平 面

, ? AC1 // C D1 B

平 面

C D1 ………………..11 B

(Ⅲ)? AC1 ? (?3,0, 4) , CB1 ? (0, 4, 4)
cos ? AC1 , CB1 ?? AC1 ? CB1 AC1 ? CB1
AC1

???? ?

?

2 2 5
B1C

?
2 2 5

异 面 直 线



所 成 角 的 余 弦 值 为

………………………………14 分

19. 解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为
Y1

5 0.8

10 0.2

Y2

2 0.2

8 0.5

12 0.3

P

P

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6

………………………………………….

1分

DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 …………………………...3
EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8



………………………………..4


DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 ………..6



(Ⅱ) 分

x 100 ? x f ( x) ? D( Y1 ) ? D( Y2 ) 100 100

………………………….8

x 2 100 ? x 2 ?( ) DY1 ? ( ) DY2 100 100

……………………………………….

10 分
? 4 [ x 2 ? 3(100 ? x) 2 ] 2 100 4 ? (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) 2 100

……………………………………..1

2分 当
x? 600 ? 75 2? 4





f (x ? )

为3





值。…………………………14 分 20. 解: (1)设 M ( x, y) ,则 F1M ? ( x ? c, y), F2 M ? ( x ? c, y) 由
F1M ? F2 M ? 0 ? x 2 ? y 2 ? c 2 ? y 2 ? c 2 ? x 2

… … ………………………

…….1 分 又
y2 ? ? b2 a2

M









, 分



b2 ………………………………………………2 x2


c 2 ? x 2 ? b2 ? b2 2 a 2 b2 x ? x2 ? a2 ? 2 2 a c



……………………………………

…..3 分


0 ? 2?

0 ? x2 ? a2

∴ ……………………………….4 分

1 2 ?1? ? e ? 1, 2 e2


0 ? e ? 1,? 2 ? e ?1 2

………………………………………………

………….5 分 (2)①当 e ?
2 2

时得椭圆为

x2 y 2 ? ?1 2b2 b2

设 H ( x, y) 是椭圆上一点, 则 HN 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? (2b 2 ? 2 y 2 ) ? ( y ? 3) 2 ? ?( y ? 3) 2 ? 2b 2 ? 18, (?b ? y ? b) ………6 分 设 0 ? b ? 3 ,则 ?3 ? ?b ? 0 ,当 y ? ?b 时, HN 2 ? b 2 ? 6b ? 9, ,由题意得 max
b 2 ? 6b ? 9 ? 50



b ? ?3 ? 5 2





0?b?3



盾,……………………………………………7 分 设 b ? 3 得 ?b ? ?3 ,当 y ? ?3 时, HN 2 ? 2b 2 ? 18, ,由 2b max (合题薏) ∴
x2 y 2 ? ?1 32 16
2

?18 ?50

得b

2

? 16,













……………………………………………………8 分
x2 y 2 ? ?1 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 32 ? 0 32 16 y ? kx ? m

②.设 l : y ? kx ? m 由 而
? ? 0 ? m2 ? 32k 2 ? 16

…… …… …………………………………
3? ? 3 ?

……….9 分 又 A、B 两点关于过点 P ? 0, ? ?
?

、Q 的直线对称

∴k 分 ∴
yQ ?

PQ

??

1 k

,设 A( x , y ), B ( x , y ),则 x
1 1 2 2

Q

??

2km m , yQ ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

……………10

3 2 3 ? ? 1 ? m ? 1 ? 2k ? xQ k 3

……………………………………………

…11 分 ∴
? 1 ? 2k 2 ? ? 3 ? ? 47 ? ? 32k 2 ? 16 ? 0 ? k 2 ? ? 2 ?
2

…………………………….12

分 又
0?k ? 94 2
k?0





?

94 ?k ?0 2



……………………………………13 分 k 的 取 值 范 围 是
? 94 ?k ?0 2

∴ 需 求 的
0?k ? 94 2



………………………14 分
f( 2 ? 3an 1 2 )? ? an ? …………………………… an 3 3

21 解: (1)? an?1 ? 2分
?{an }

是以

2 3

为公差,首项

a1 ? 1

的等差数

列………………………3 分
? an ? 2 1 n? 3 3

……………………………………………

…………4 分 (2) Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ??? a2n?1a2n ? a2na2n?1
? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? ? a2n (a2n?1a2n?1 )

4 4 ? ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 n ) ? ? 3 3

5 4n 1 n( ? ? ) 3 3 3 ? ? 4 (2n2 ? 3n) ……8 2 9

分 (3)当 n ? 2 时, bn ?
1 1 9 1 1 ? ? ( ? ) an?1an ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 2 2n ? 1 2n ? 1 3 3 3 3

当 n ? 1 时,上式同样成立
? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 9 1 1 1 1 1 9 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1

……… ………….11 分
m ? 2002 2 0 , 91( ? 1 ) ? m2? 即 对一切 n ? N * 成立, 2 2 2 n? 1 2 9 1 (1 ? ) 又 随 n 递 增 , 且 2 2n ? 1 9 1 9 (1 ? )? ……………………12 分 2 2n ? 1 2 9 m ? 2002 ? ? ? , m ? 2011 , m最小 ? 2011 ………………… ? 2 2 ? Sn ?

14 分


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