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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):5.5数列的综合问题


课时跟踪检测(三十四) 数列的综合问题

1.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}中连续的三项,则 数列{bn}的公比为( A. 2 C.2 ) B.4 1 D. 2

2.(2012· 郑州模拟)已知数列{an},{bn}满足 a1=1 且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n

的两个零点,则 b10 等于( A.24 C.48 ) B.32 D.64

??? ? ??? ? ??? ? 3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB =a100 OA +a101 OC ,且 A、B、C 三点
共线(该直线不过点 O),则 S200 等于( A.100 C.200 ) B.101 D.201

4.(2011· 天津高考)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N+,则 S10 的值为( A.-110 C.90 ) B.-90 D.110

5.在如图所示的表格中,如果每格填上一个数后,每一行成等差数 列,每一列成等比数列,那么 x+y+z 的值为( )

A.1 C.3

B.2 D.4

6.(2011· 上海高考)设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai 是边长为 ai,ai+1 的矩形的面积 (i=1,2,?),则{An}为等比数列的充要条件为( A.{an}是等比数列 B.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?是等比数列 C.a1,a3,?,a2n-1,?和 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列 D.a1,a3,?,a2n-1,?和 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列,且公比相同 7.(2011· 江苏高考)设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列, a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 8.(2011· 陕西高考)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻 两棵树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.使每位同学从各自树坑出发 )

前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________米.
2 9.(2013· 安徽模拟)在数列{an}中,若 a2-an-1=p(n≥2,n∈N+,p 为常数),则称{an} n

为“等方差数列”. 下列是对“等方差数列”的判断: ①若{an}是等方差数列,则{a2}是等差数列; n ②若数列{an}是等方差数列,则数列{a2}是等方差数列. n ③{(-1)n}是等方差数列; ④若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N+,k 为常数)也是等方差数列; 其中正确命题的序号为________. 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2,数列{bn}为等比数列,且首项 b1=1, b4=8. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}满足 cn=abn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

11.(2013· 金丽衢十二校联考)已知正项数列{an},{bn}满足 a1=3,a2=6,{bn}是等差 数列,且对任意正整数 n,都有 bn, an,bn+1 成等比数列. (1)求数列{bn}的通项公式; 1 1 1 (2)设 Sn= + +?+ ,试比较 Sn 与 1 的大小. a1 a2 an

bn+bn+2 12.设同时满足条件:① ≥bn+1;②bn≤M(n∈N+,M 是常数)的无穷数列{bn} 2 叫“嘉文”数列. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn ?1? (2)设 bn= +1,若数列{bn}为等比数列,求 a 的值,并证明数列?b ?为“嘉文”数列. an ? n? a (a -1)(a 为常数, a≠0, 且 a≠1). a-1 n

1 1 1.已知 x>1,y>1,且 ln x, ,ln y 成等比数列,则 xy( 4 4 A.有最大值 e C.有最大值 e 2. 若数列{an}满足 1 B.有最小值 e D.有最小值 e

)

1 ?1? - =d(n∈N+, 为常数), d 则称数列{an}为调和数列. 记数列?x ? ? n? an+1 an

为调和数列,且 x1+x2+?+x20=200,则 x5+x16=________. 3. 祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来, 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验 在 区和台湾农民创业园, 台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、 受理、 审批一站式服务,某台商到大陆一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种 经费 12 万美元,以后每年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元,设 f(n)表示前 n 年 的纯收入.(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资额) (1)从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 48 万美 元出售该厂;②纯利润总和最大时,以 16 万美元出售该厂,问哪种方案较合算?





课时跟踪检测(三十四) A级
2 1.选 C 设数列{an}的公差为 d(d≠0),由 a3=a1a7 得(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得 a1

a3 a1+2d 2a1 =2d,故数列{bn}的公比 q= = = =2. a1 a1 a1 an+2 + 2.选 D 依题意有 anan+1=2n,所以 an+1an+2=2n 1,两式相除得 =2.所以 a1,a3, an a5,?成等比数列,a2,a4,a6,?也成等比数列,而 a1=1,a2=2.所以 a10=2·4=32,a11 2 =1·5=32.又因为 an+an+1=bn,所以 b10=a10+a11=64. 2 3.选 A ∵ OB =a100 OA +a101 OC 且 A,B,C 三点共线(该直线不过点 O), ∴a100+a101=1, 200×?a1+a200? ∴S200= =100×(a1+a200)=100×1=100. 2 4.选 D 因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,所以 a2=a3a9, 7 又因为公差为-2,所以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16), 解得 a1=20,

??? ?

??? ?

??? ?

通项公式为 an=20+(n-1)(-2)=22-2n, 10?a1+a10? 所以 S10= =5(20+2)=110. 2 1 5.选 B 由题知表格中第三列中的数成首项为 4,公比为 的等比数列,故有 x=1.根 2 1 5 1 据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为 5, ,故第四列的公比为 ,所以 y=5×?2?3 ? ? 2 2 1 5 3 = ,同理 z=6×?2?4= ,故 x+y+z=2. ? ? 8 8 An+1 an+1an+2 an+2 A 2 a3 6.选 D ∵Ai=aiai+1,若{An}为等比数列,则 = = 为常数,即 = , An an A 1 a1 anan+1 A3 a4 = ,?. A2 a2 ∴a1,a3,a5,?,a2n-1,?和 a2,a4,?,a2n,?成等比数列,且公比相等.反之, An+1 an+2 若奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相等,设为 q,则 = =q,从而{An}为等 An an 比数列. 7. 解析: a2=t, 1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3, 设 则 由于 t≥1, 所以 q≥max{t, t+1, 3 3 t+2},故 q 的最小值是 3. 3 答案: 3 8.解析:当放在最左侧坑时,路程和为 2×(0+10+20+?+190);当放在左侧第 2 个 坑时,路程和为 2×(10+0+10+20+?+180)(减少了 360 米);当放在左侧第 3 个坑时, 路程和为 2×(20+10+0+10+20+?+170)(减少了 680 米);依次进行,显然当放在中间 的第 10、11 个坑时,路程和最小,为 2×(90+80+?+0+10+20+?+100)=2 000 米. 答案:2 000 9. 解析: 对于①, 由等方差数列的定义可知, n}是公差为 p 的等差数列, {a2 故①正确. 对 于②,取 an= n,则数列{an}是等方差数列,但数列{a2}不是等方差数列,故②错.对于③, n 因为[(-1)n]2-[(-1)n 1]2=0(n≥2, n∈N+)为常数, 所以{(-1)n}是等方差数列, 故③正确. 对


于④, a2-a2-1=p(n≥2, 若 n n n∈N+), a2 -ak?n-1?=(a2 -a2 -1)+(a2 -1-a2 -2)+?+(a2 -k+1 则 kn 2 kn kn kn kn kn -a2 -1?)=kp 为常数,故④正确. k?n 答案:①③④ 10.解:(1)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=n2, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. 当 n=1 时,a1=S1=1 亦满足上式,

故 an=2n-1(n∈N+). 又数列{bn}为等比数列,设公比为 q, ∵b1=1,b4=b1q3=8,∴q=2. ∴bn=2n 1(n∈N+). (2)cn=abn=2bn-1=2n-1. Tn =c1 +c2 +c3 +?+cn =(21 -1)+(22 -1)+?+(2n -1)=(21 +22 +?+2n)-n= 2?1-2n? -n. 1-2 所以 Tn=2n 1-2-n. 11.解:(1)∵对任意正整数 n,都有 bn, an,bn+1 成等比数列,且{an},{bn}均为正项 数列, ∴an=bnbn+1.
?a1=b1b2=3, ? 由 a1=3,a2=6 得? ? ?a2=b2b3=6,
+ -

又{bn}为等差数列,即有 b1+b3=2b2, 3 2 解得 b1= 2,b2= , 2 ∴数列{bn}是首项为 2,公差为 故数列{bn}的通项公式为 bn= 2?n+1? (n∈N+). 2 2 的等差数列. 2

(2)由(1)得对任意 ?n+1??n+2? n∈N+,an=bnbn+1= . 2 1 2 从而有 = an ?n+1??n+2? 1 1 =2?n+1-n+2?, ? ? 1 1 1 1 1 1 2 则 Sn=2?2-3?+?3-4?+?+?n+1-n+2?=1- , ? ? ? ? ? ? n+2 故 Sn<1. a 12.解:(1)因为 S1= (a -1)=a1,所以 a1=a. a-1 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= a 为公比的等比数列. a an (a -an-1),整理得 =a,即数列{an}是以 a 为首项, a-1 n an-1

所以 an=a· n 1=an. a (2)由(1)知, a 2× ?a -1? a-1 n ?3a-1?an-2a bn= +1= ,(*) an ?a-1?an 由数列{bn}是等比数列,则 b2=b1·3,故? b 2 1 解得 a= , 3 1 1 再将 a= 代入(*)式得 bn=3n,故数列{bn}为等比数列,所以 a= . 3 3 1 1 1 1 + + 2 bn bn+2 3n 3n+2 由于 = > 2 2 1 1 · 3n 3n+2 1 1 1 1 1 = n+1= ,满足条件①;由于 = n≤ ,故存 2 bn 3 3 3 bn+1 3a2+2a+2 3a+2?2 =3· , a2 ? a ?



1 ?1? 在 M≥ 满足条件②.故数列?b ?为“嘉文”数列. 3 ? n? B级 1 1 1.选 B ∵ ln x, ,ln y 成等比数列, 4 4 1 ∴ =ln xln y, 4 ∵x>1,y>1,∴ln x>0,ln y>0. ∴ln x+ln y≥2 ln xln y=1(当且仅当 ln x=ln y 时等号成立). 即 ln x+ln y=ln xy 的最小值为 1,故 xy 的最小值为 e. 2.解析:由题意知, 1 1 - =d, 1 1 xn+1 xn

即 xn+1-xn=d,{xn}是等差数列, 又 x1+x2+?+x20=200, 所以 x5+x16=x1+x20=20. 答案:20 3.解:由题意知,每年的经费是以 12 为首项,4 为公差的等差数列. n?n-1? ? 则 f(n)=50n-?12n+ ×4 -72=-2n2+40n-72. 2 ? ? (1)获取纯利润就是要求 f(n)>0, 故有-2n2+40n-72>0,解得 2<n<18. 又 n∈N+,故从第三年开始获利. 36 f?n? (2)①平均利润为 =40-2?n+ n ?≤16,当且仅当 n=6 时取等号. ? ? n

故此方案获利 6×16+48=144 万美元,此时 n=6. ②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,当 n=10 时,f(n)max=128. 故此方案共获利 128+16=144 万美元. 比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需 6 年,第②种方案需要 10 年, 故选择第①种方案.


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