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抛物线及其几何性质


龙文教育一对一个性化辅导教案
学生 科目 数学 课题
教学 重点 教学 难点 教学 目标
1、抛物线定义;抛物线的标准方程 2、抛物线的几何性质 3、抛物线的焦点弦和焦点三角形 1、抛物线的几何性质及其应用 2、直线和双曲线的位置关系、焦点弦、焦点三角形 1、掌握理解抛物线的两种定义、标准方程、离心率、焦点三角形面积 2、掌握求解焦点弦相关问题、掌握

求解直线和双曲线问题的解题思路和方法 一、教学衔接: 1、以交流的形式了解学生对知识点的理解程度

学校 教师

年级 日期

高三
2016/4/15

次数 时段





10:00-12:00

抛物线及其几何性质

教 学 步 骤 及 教 学 内 容

2、梳理抛物线及几何性质该考点的题型,并复习抛物线定义、标准方程

二、内容讲解: 1、抛物线的两种定义;标准方程;焦点;通径;点到焦点距离、焦点弦、焦点三角形的几个结论 2、直线与抛物线的位置关系:韦达定理;点差法 3、与抛物线有关的最值问题

三、课堂总结与反思: 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结

四、作业布置: 安排了与本节课相关的练习,难度由简单到中等,且题型主要是以往年模拟考部分地区的高考题为 主

管理人员签字:

日期:







作 业 布 置

1、学生上次作业评价: 备注: 2、本次课后作业:

○ 好

○ 较好

○ 一般

○ 差

课 堂 小 结

家长签字:

日期:







抛物线及其几何性质

【知识点归纳】 1、抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线的焦点,
王新敞
奎屯 新疆

y

y

y
l

y O F

图 形
l

x

O

F

x

F

O

x

F O l

x

l

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0 ) 2 p x?? 2
王新敞
奎屯 新疆

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
(? p ,0) 2 p x? 2

x 2 ? 2 py( p ? 0)
p (0, ) 2 p y?? 2

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2 p y? 2

定直线 l 叫做抛物线的准线 2、抛物线的标准方程: 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关 于原点对称
王新敞
奎屯 新疆

它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

1 2p p ? 。 ,即 4 4 2
2

不同点:(1)图形关于 X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为 ? 2 px 、左端为 y ;图形关于
2 Y 轴对称时, X 为二次项, Y 为一次项, 方程右端为 ? 2 py ,左端为 x

王新敞
奎屯

新疆

(2) 开口方向在 X 轴(或 Y 轴)

正向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在 X 轴(或 Y 轴)负向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)负半轴时,方程右端取负号。 3、抛物线的几何性质: (1) 范围: 因为 p>0, 由方程 y ? 2 px? p ? 0? 可知, 这条抛物线上的点 M 的坐标(x, y)满足不等式 x≥0,
2

所以这条抛物线在 y 轴的右侧; 当 x 的值增大时, |y|也增大, 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 (2)对称性:以-y 代 y,方程 y ? 2 px? p ? 0? 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线
2

的对称轴叫做抛物线的轴。 (3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。在方程 y ? 2 px? p ? 0? 中,当 y=0 时,x=0,
2

因此抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 的顶点就是坐标原点。
2

(4)离心率:抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 e 表示. 由抛物线的定义可知,e=1。 4、焦点弦的性质:
2 设 AB 是 过 抛 物 线 y ? 2 px? p ? 0? 的 焦 点 F 的 弦 , 若 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

p2 , 4

y1 ? y2 ? ? p2 ,弦长 AB ? x1 ? x2 ? p ?
直径的圆与准线相切。

1 1 2 2p ? ? ,以弦 AB 为 ( ? 为弦 AB 的倾斜角) , 2 sin ? FA FB p

[典型例析]
2 1、过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,那么

| AB | =(
(A)10

) 。 (B)8 (C)6 (D)4

2 2、已知 M 为抛物线 y ? 4 x 上一动点, F 为抛物线的焦点,定点 P?3 , 1? ,则 | MP | ? | MF | 的最小

值为( (A)3

) (B)4
2

(C)5

(D)6

3、 过抛物线 y ? ax

?a ? 0? 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 、Q 两点, 若线段 PF 、QF 的长分别是


p、

q ,则

1 1 ? =( p q

(A) 2 a

(B)

1 2a

(C) 4 a

(D)

4 a

2 4、过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点的轨迹方程是 ____________ 2 5、定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y ? x 上移动,求 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值,

并求出此时 AB 中点 M 的坐标。 6、以椭圆 弦长。

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆在准线所得的 5

7、有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 4 米时,水面宽 40 米,当水面下降 1 米时,水面宽是多少米?

[真题演练] 1、 曲线 C 由上半椭圆 C1 :

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和部分抛物线 C2 : y ? ?x2 ? 1( y ? 0) 连接而 2 a b
3 。 (1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 2

成,C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为 分别交于 P, Q (均异于点 A, B ) ,若 AP

? AQ ,求直线 l 的方程。

2、已知两条抛物线 E1 : y 2 ? 2 p1 x ( p1 ? 0 )和 E 2 : y 2 ? 2 p2 x ( p 2 ? 0 ) ,过原点 O 的两条直线 l1 和 l 2 ,l1 与 E1 ,E 2 分别交于 A1 ,A2 两点,l 2 与 E1 ,E 2 分别交于 B1 ,B2 两点。 (1) 证明:A1 B1 ∥ A2 B2 ; (2)过 O 作直线 l (异于 l1 , l 2 )与 E1 , E 2 分别交于 C1 , C 2 两点.记 ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 的面积分 别为 S1 与 S 2 ,求

S1 的值。 S2

3、 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点, 过点 A 的直线 l 交 C 于 另一点 B , 交 x 轴的正半轴于点 D , 且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时,?ADF 为正三角形。 (1) 求 C 的方程; (2)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E ,①证明直线 AE 过定点,并求出定点 坐标;② ?ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由。

4、在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1,0 ? 的距离比它到 y 轴的距离多 1. 记点 M 的轨迹为 C。 (1) 求轨迹为 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ? ?2,1? .求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围。

5、 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直 2

线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点。(1) 求抛物线 C 的方程;(2) 当 点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;(3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最 小值。

6、已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8。(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点。

2 2 7、 抛物线 C1 : x ? 4 y, C2 : x ? ?2 py ? p ? 0? ,点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为

1 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为 - 。(I)求 p 的值;(II)当 M 2
在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程. A, B重合于O时,中点为O .

?

?


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