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成才之路·北师大版数学必修1-第3章测试题


第三章测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1 1.给定函数①y=x2 ,②y=log1 (x+1),③y=|x-1|,

2

④y=2x 1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(


)

A.①② C.③④ [答案] B

B.②③ D.①④

1
+ [解析] y=log1 (x+1)和 y=|x-1|在区间(0,1)上单调递减, y=x2 和 y=2x 1 在区间(0,1) 2

上单调递增.
1 1 1 2.(2014· 辽宁文,3)已知 a=2 3 ,b=log2 ,c=log1 ,则(


3

2 3

)

A.a>b>c C.c>b>a [答案] D [解析]

B.a>c>b D.c>a>b

1 1 1 a=2 3 = ∈(0,1),b=log2 <0,


3

2

3

1 1 c=log1 >log1 =1,∴c>a>b. 3 2 2 2 3.下列各组函数,在同一直角坐标中,f(x)与 g(x)有相同图像的一组是(
1 1 2 2 A.f(x)=(x ) ,g(x)=(x )2
2

)

x2-9 B.f(x)= ,g(x)=x-3 x+3
1

C.f(x)=(x2 )2,g(x)=2log2x D.f(x)=x,g(x)=lg10x [答案] D [解析] 选项 A 中,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为[0,+∞);选项 B 中,f(x)的定

1 义域为(-∞,-3)∪(-3,+∞),g(x)的定义域为 R;选项 C 中,f(x)=(x )2=x,x∈[0, 2 +∞), g(x)=2log2x, x∈(0, +∞), 定义域和对应关系都不同; 选项 D 中, g(x)=lg10x=xlg10 =x,故选 D. 4.(2013· 山东高考)函数 f(x)= 1-2x+ A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] [答案] A
?1-2x≥0, ?2x≤1, ?x≤0, ? ? ? [解析] 由题意知? 即? 即? ?x+3>0, ?x>-3, ? ? ? ?x>-3,

1 的定义域为( x+3 B.(-3,1]

)

D.(-∞,-3)∪(-3,1]

∴f(x)定义域为(-3,0]. 5.若 xlog23=1,则 3x+9x 的值为( A.3 C.6 [答案] C [解析] ∵x· log23=1, 1 ∴x= =log32. log23 ∴3x+9x=3x+(3x)2=3log32+(3 log32)2=2+22=6. 6.(2014· 陕西文,7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( A.f(x)=x3
1 C.f(x)=x2

) 5 B. 2 1 D. 2

)

B.f(x)=3x 1 D.f(x)=( )x 2

[答案] B [解析] 当 f(x)=3x 时,f(x+y)=3x y,


f(x)f(y)=3x· 3y=3x y,


∴f(x+y)=f(x)+f(y); 1 1 + 当 f(x)=( )x 时,f(x+y)=( )x y, 2 2 1 1 y 1 x+y f(x)f(y)=( )x· ( ) =( ) , 2 2 2 ∴f(x+y)=f(x)f(y), 1 又 f(x)=( )x 为单调递减函数,f(x)=3x 为单调递增函数,故选 B. 2

1 7.(2013· 安徽高考)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-1 或 x> },则 f(10x)>0 2 的解集为( ) B.{x|-1<x<-lg2} D.{x|x<-lg2}

A.{x|x<-1 或 x>-lg2} C.{x|x>-lg2} [答案] D

1 [解析] 由条件知 f(x)>0 的解集为{x|-1<x< }, 2 又已知 f(10x)>0, 1 ∴-1<10x< ,∴x<-lg2. 2 8.方程 log2(x+4)=3x 解的个数是( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.3 个

[分析] 此类方程是超越方程,只能借助函数图像解决. [答案] C [解析] 在同一坐标系中画出函数 y=log2(x+4)及 y=3x 的图像,如图所示.由图像可 知,它们的图像有两个交点,故选 C.

9.已知 f(x)=log1 (x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 2 ( ) A.(-4,4) C.(-4,4] [答案] C [解析] 要使 f(x)在[2,+∞)上是减函数,则需 g(x)=x2-ax+3a 在[2,+∞)上递增且 恒大于零. a ? ?2≤2 ∴? ?-4<a≤4. ?g?2?=22-2a+3a>0 ?
? ??3-a?x-4a?x<1? 10.已知 f(x)=? 是(-∞,+∞)上的增函数,那么 a 的取值范围是 ?logax ?x≥1? ?

B.[-4,4) D.[-4,4]

(

)

A.(1,+∞) 3 C.[ ,3) 5 [答案] D

B.(-∞,3) D.(1,3)

[解析] 由 y=(3-a)x-4a 在(-∞,1)上为增函数知 3-a>0,∴a<3; 由 y=logax 在[1,+∞)上为增函数知 a>1, ∴1<a<3,排除 A、B、C,选 D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.(2013· 四川高考)lg 5+lg 20的值是________. [答案] 1 [解析]
1 1 2 lg 5+lg 20=lg5 +lg202

1 1 = lg5+ lg20 2 2 1 1 = (lg5+lg20)= lg100=1. 2 2
1 2 12.设 a=log32,b=ln2,c=5 ,则 a,b,c 大小关系为______.


[答案] c<a<b 1 1 [解析] a=log32= ,b=ln2= , log23 log2e 而 log23>log2e>1,所以 a<b,
1 1 c=5 2 = ,而 5>2=log24>log23,所以 c<a,


5

综上 c<a<b. 13.函数 y=log1 (x2-3x)的单调递减区间是________. 3 [答案] (3,+∞) [解析] 先求定义域,∵x2-3x>0,∴x>3 或 x<0, 1 又∵y=log u 是减函数,且 u=x2-3x. 3 即求 u 的增区间.∴所求区间为(3,+∞). 14.关于函数 y=2x
2-2x-3

有以下 4 个结论:

①定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞); ②递增区间为[1,+∞); ③是非奇非偶函数;

1 ④值域是( ,+∞). 16 则正确的结论是________.(填序号即可) [答案] ②③ [解析] ①不正确,因为 y=2 x
2-2x-3

的定义域为 R;

④不正确,因为 x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, ∴2 x
2-2x-3

1 1 - ≥2 4= ,即值域为[ ,+∞); 16 16

②正确,因为 y=2u 为增函数,u=x2-2x-3 在(-∞,1]上为减函数,在[1,+∞)上为 增函数,所以 y=2 x
2-2x-3

的递增区间为[1,+∞);

③正确,因为 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x). 15.将函数 y=log2x 的图像上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 m(m>0)倍,得 到图像 C,若将 y=log2x 的图像向上平移 2 个单位,也得到图像 C,则 m=________. [答案] 1 4

[解析] 函数 y=log2x 的图像上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 m(m>0)倍, x 得到函数 y=log2 的图像,将 y=log2x 的图像向上平移 2 个单位,得到函数 y=log2x+2, m x 1 依题意有 2+log2x=log2 ,所以 m= . m 4 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 16.(本小题满分 12 分)计算下列各式的值: (1)log2.56.25+lg0.01+ln e+21
- +log

23;

a2+a 2-2 - (2)已知 a 1-a=1,求 4 的值. - a -a 4 1 1 - [解析] (1)原式=log2.52.52+lg10 2+lne2 +2×2log23=2-2+ +6=6 . 2 2 ?a-a 1?2 (2)原式= 2 - - ?a +a 2??a2-a 2?


1



a-a 1 - - ?a2+a 2??a+a 1?
- - -

由 a 1-a=1 有 a 2+a2=3, 而(a 1+a)2=a 2+2+a2=5,
- -

∴a 1+a=± 5,


-1 5 则原式= =± . 15 3· ?± 5?

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2x 的定义域是[0,3],设 g(x)=f(2x)-f(x+2). (1)求 g(x)的解析式及定义域; (2)求函数 g(x)的最大值和最小值. [解析] (1)∵f(x)=2x, ∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x 2.


∵f(x)的定义域是[0,3],
? ?0≤2x≤3, ∴? 解得 0≤x≤1. ? ?0≤x+2≤3,

∴g(x)的定义域是[0,1]. (2)g(x)=(2x)2-4×2x =(2x-2)2-4. ∵x∈[0,1], ∴2x∈[1,2]. ∴当 2x=1,即 x=0 时,g(x)取得最大值-3; 当 2x=2,即 x=1 时,g(x)取得最小值-4. 1 18.(本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f( ) 2 =0,求不等式 f(log4x)>0 的解集. [解析] 因为 f(x)是偶函数, 1 1 所以 f(- )=f( )=0, 2 2 又 f(x)在[0,+∞)上是增函数, 所以 f(x)在(-∞,0)上是减函数. 1 1 所以 f(log4x)>0?log4x> 或 log4x<- , 2 2 1 解得:x>2 或 0<x< , 2 则不等式 f(log4x)>0 的解集是 1 {x|x>2,或 0<x< }. 2 19.(本小题满分 12 分)某商品的市场日需求量 Q1 和日产量 Q2 均为价格 P 的函数,且 1 Q1=144· ( )P+12,Q2=6×2P,日总成本 C 关于日产量 Q2 的关系式为: 2 1 C=10+ Q2. 3 (1)Q1=Q2 时的价格为均衡价格,求此均衡价格 P0; (2)当 P=P0 时,求日利润 L 的大小.

[解析] 均衡价格即供需相等时所对应的价格, 利润=收益-成本, 列出方程即可求解. (1)根据题意有 Q1=Q2, 1 144· ( )P+12=6×2P, 2 即(2P)2-2· 2P-24=0. 解得 2P=6,2P=-4(舍去). ∴P=log26,故 P0=P=log26. 即均衡价格为 log26 元. (2)由于利润=收益-成本,故 1 L=Q1P-C=36log26-(10+ ×36)=36log26-22, 3 故 P=P0 时,利润为(36log26-22)元. 3x-2 x 20.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)= x - . 3 +2 x


(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (3)写出 f(x)的值域. 3x-2 x 2x· 3x-1 6x-1 [解析] (1)f(x)= x = , -x= x x 3 +2 2· 3 +1 6x+1


6 x-1 1-6x 所以 f(-x)= -x = =-f(x),x∈R, 6 +1 1+6x


则 f(x)是奇函数. 6x-1 ?6x+1?-2 2 (2)f(x)= x = =1- x 在 R 上是增函数. 6 +1 6x+1 6 +1 证明如下:任意取 x1,x2,使得 x1>x2, ∵6x1>6x2>0, 则 f(x1)-f(x2)= = 2 2 - 6x2+1 6x1+1

2?6x1-6x2? >0, ?6x1+1??6x2+1?

所以 f(x1)>f(x2),则 f(x)在 R 上是增函数. (3)∵0< 2 <2, 6x + 1 2 ∈(-1,1), 6x+1

∴f(x)=1-

则 f(x)的值域为(-1,1). 21.(本小题满分 14 分)已知 a>1,f(logax)= a 1 · (x- ). x a2-1

(1)求 f(x); (2)判断并证明 f(x)的单调性; (3)若 f(1-m)+f(2m)<0,求 m 的取值范围. [解析] (1)设 t=logax,则 x=at, 则 f(t)= a 1 (at- t), a a -1
2

a - ∴f(x)= 2 (ax-a x)(x∈R). a -1 (2)设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= = =
2

a a (ax -a-x1)- 2 (ax2-a-x2) a2-1 1 a -1

a [(ax1-ax2)+(a-x2-a-x1)] a -1 a 1 (ax -ax2)(1+ ). ax1ax2 a2-1 1

∵a>1,∴ax1<ax2,则有 ax1-ax2<0. 而 a 1 >0,1+ >0, ax a -1 1ax2
2

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)为 R 上的增函数. a - (3)∵f(-x)= 2 (a x-ax) a -1 a - =- 2 (ax-a x)=-f(x), a -1 ∴f(x)为奇函数. ∵f(1-m)+f(2m)<0, ∴f(1-m)<-f(2m)=f(-2m). ∵f(x)在 R 上是增函数, ∴1-m<-2m. 解得 m<-1. 故 m 的取值范围是(-∞,-1).


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