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(3)2010级高二数学组1.1.2《导数的概念》课件(新人教A版选修2-2)


1.1.2 导数的概念
栾川一高理数 制作人:赵海军

一.创设情景 (一)平均变化率 (二)探究:

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态,需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?

二.新课讲授
1.瞬时速度

在高台跳水运动中 运动员在不同时刻的速 , 度 是不同的. 我们把物体在某一时刻 的速度称为 瞬时速度(ins tan eous velociy ).运动员的平均速 度不一定能反映他 ?她 ? 在某时刻的瞬时速度. 那么, 如何求运动员的瞬时速 度呢 ? 比如 , t ? 2 时的瞬时速度是多少 ? 我们先考察t ? 2 附近的情况. 在 t ? 2 之前或之后, 任意取一个时刻 ? ?t , ?t是时间的改变量 可以是 2 , 正值, 也可以是负值 但不为0.当?t ? 0时,2 ? ?t在2 , 之前;当?t ? 0时,2 ? ?t在2之后.计算区间?2 ? ?t ,2?
和区间?2,2 ? ?t ?内平均速度v, 可以得到如下表格 .

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t 当Δt趋近于0时,平均 ? 10
2

速度有什么变化趋势?

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时,

v ? ?13.149

当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

v ? ?13.099951

△t = 0.00001,

v ? ?13.100049

……

v ? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

我们发现,当?t趋近于0 时, 即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一 个确定的值? 13.1. 从物理的角度看时间间隔| ?t | 无限变小时, 平均 ,

h?2 ? ?t ? ? h?2? 我们称确定值? 13.1是 当?t趋近于0时的极限. ?t

速度v就无限趋近于 ? 2时的瞬时速度因此, 运动 t . 员在t ? 2时的瞬时速度是? 13.1m / s. h?2 ? ?t ? ? h?2? 为了表述方便 我们用lim , ? ?13.1 ?t ? 0 ?t 表示"当t ? 2, ?t 趋势近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值 ? 13.1".

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

或 y? | x ? x , 即
0

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:

1.求函数的改变量

?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 2. 求平均变化率 ? ; ?x ?y ?x 3. 求值 f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

一差、二比、三极限

三.典例分析 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率,并求出在该点处的导数. (3)质点运动规律为s=t2+3,求 质点在t=3的瞬时速度.

例 2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原 油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f ? x ? ? x 2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

?

?

解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f ' ?2?
?y f ?2 ? ?x ? ? f ?2 ? ? , 和 f ?6?. 根据导数的定义 ?x ?x ?2 ? ?x ?2 ? 7?2 ? ?x ? ? 15 ? 22 ? 7 ? 2 ? 15 ? ?x
'

?

?

4 ?x ? ?x 2 ? 7?x ? ? ?x ? 3, ?x ?y ' 所以, f ?2 ? ? lim ? lim ??x ? 3? ? ?3, ?x ?0 ?x ?x ?0

同理可得 f ' ?6? ? 5.

请同学们自己完成具体 运算过程 .
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为? 3 与5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以 C / h的速 3 率下降; 在6h附近, 原油温度大约以 0 C / h的速率上升 5 . 一般地, f ' ? x0 ?反映了原油温度在时刻 0附近的变化 x 情况.
0

1 2 s 例3 物体作自由落体运动,运动方程为: ? 2 gt

其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求: (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度; (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度; (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
分析:

1 ?s ? s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) ? 2 g ?t ? g (?t ) 2 2
__

?s s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) 1 v? ? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t ?t 2

解:

?s 1 v? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t 2 (1)将 Δ t=0.1代入上式,得: __ v ? 2.05g ? 20.5m / s.
__

O s(2) s(2+?t)

(2)将 Δ t=0.01代入上式,得:
__

?s

v ? 2.005g ? 20.05m / s.
从而平均速度 的极限为: v
__
__

( 3)当?t ? 0,2 ? ?t ? 2,

?s v ? lim v ? lim ? 2 g ? 20m / s. ?t ? 0 ?t ? 0 ? t

s

小结
1求物体运动的瞬时速度:

(1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

(2)求平均速度 ?s s(t ? ?t ) ? s (t ) ? lim . (3)求极限 lim ?t ?x?0 ?t ?x ?0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

?s v? ; ?t

(2) 求平均变化率 ?y ' (3)求极限 f ( x0 ) ? lim
?x ? 0

?y ?x

?x


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