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2013高二理科数学下期期末复习试题(一)


高二数学期末复习试题(一)
一、选择题:

? 3 ) 处的切线的斜率为( D ) 1.函数 y ? sin x 的图象上一点 ( , 3 2 3 2 1 A.1 B. C. D. 2 2 2 2.若从 6 名志愿者中选出 4 人分别赶赴四川从事医疗、教育、心理辅导、勘察四项不同的 工作,则选派方案共有( B ) (A) 180 种 (B) 360 种 (C) 15 种 (D) 30 种
3.若 (3x ?

1 x

) n 的展开式中各项系数之和为 1024,则展开式中含 x 的整数次幂的项共有
( A )

A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 4.为了研究变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙 2 人分别作了研究,并利用线性回归方程得 到直线 l1 和 l2 ,2 人计算知 x 相同, y 也相同,则下列说法正确的是 A l1 与 l2 重合 B l1 与 l2 平行 C l1 与 l2 有公共点 ( x, y ) 5.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 A 70 B 58 C 66 D 62 6.设函数 f ( x) ? ( C )

D 无法判断 l1 与 l2 是否相交 ( B )

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1,当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立, 3

则 a 的取值范围是 ( A ) A(1,6) B (2,5 ) C (3,6) D( 4,8) 7. 抛掷两枚骰子,当至少有一枚 5 点或 6 点出现时,就说这次试验成功,则在 30 次试验 中成功次数 X 的均值为 ( B ) A 6 B 10 C 18 D 20 8.在 6 道题中,有 4 道理科题和 2 道文科题,如果不放回地依次抽取 2 道题,在第 1 次抽 到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率为 ( D ) A

3 10

B

1 2

C

2 3

D

3 5

x2 ( B ) x ?1 A.在 (0, 2) 上单调递减 B.在 ( ??,0) 和 (2, ??) 上单调递增 C.在 (0, 2) 上单调递增 D.在 ( ??,0) 和 (2, ??) 上单调递减 10. 平面上有 n 个圆, 其中每两个都相交于两点, 每三个都无公共点, 它们将平面分成 f ( n) 块区域,有 f (1) ? 2, f (2) ? 4, f (3) ? 8 ,则 f ( n) 的表达式为 (C )
9.函数 f ( x) ?
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A.2n

B. 2n

C. n 2 ? n ? 2

D. 2n ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)

11.有一排 7 只发光二级管,每只二级管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有 3 只二级 管点亮,但相邻的两只二级管不能同时点亮,根据这三只点亮的二级管的不同位置或 不同颜色来表示不同的信息,则这排二级管能表示的信息种数共有 ( D ) A.10 B.48 C.60 D.80 12.有 A.B.C.D.E.F6 个集装箱,准备用甲.乙.丙三辆卡车运送,每台卡车一次 运两个.若卡车甲不能运 A 箱,卡车乙不能运 B 箱,此外无其它任何限制;要把这 6 个 集装箱分配给这 3 台卡车运送,则不同的分配方案的种数为 ( D ) A.168 B.84 C.56 D.42 二、填空题 13. 乙两个野生动物保护区有相同的自然环境, 甲、 且野生动物的种类和数量也大致相同. 而 两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为: 甲保护区: X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区: X 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平______________. [解析] 甲保护区的违规次数 X 的均值和方差为 E(ξ)=0× 0.3+1× 0.3+2× 0.2+3× 0.2=1.3, 2 2 2 2 D(ξ)=(0-1.3) × 0.3+(1-1.3) × 0.3+(2-1.3) × 0.2+(3-1.3) × 0.2=1.21; 乙保护区的违规次数 η 的均值和方差为 E(η)=0× 0.1+1× 0.5+2× 0.4=1.3, D(η)=(0-1.3)2× 0.1+(1-1.3)2× 0.5+(2-1.3)2× 0.4=0.41. 因为 E(ξ)=E(η),D(ξ)>D(η),所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的,但 乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动.
2 14.直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,则 k ?

1?

3

4 2

15 观察以下不等式

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?????? 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 可归纳出对大于 1 的正整数 n 成立的一个不等式 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? f (n) ,则不等式右端 2 3 n 1?
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f (n) 的表达式应为 f (n) ?

2n ? 1 (n≥2) n

16.下列是关于复数的类比推理: ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则; ②由实数绝对值的性质 | x |2 ? x2 类比得到复数 z 的性质 | z |2 ? z 2 ; ③已知 a , b ? R ,若 a ? b ? 0 ,则 a ? b 类比得已知 z1 , z2 ?C ,若 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z2 ; ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. ① ④ 17.给定函数 f ( x) ? 其中推理结论正确的是 ..

x3 a2 ? ax2 ? (a 2 ? 1) x 和 g ( x) ? x ? 3 x

(I)求证: f (x ) 总有两个极值点; (II)若 f (x) 和 g (x) 有相同的极值点,求 a 的值. 17 证明: (I)因为 f ' ( x) ? x2 ? 2ax ? (a2 ? 1) ? [ x ? (a ? 1)][(x ? (a ? 1)] , 令 f ' ( x) ? 0 ,则 x1 ? a ? 1, x2 ? a ? 1, 则当 x ? a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,当 a ? 1 ? x ? a ? 1 , f'( x) ? 0 所以 x ? a ? 1 为 f (x ) 的一个极大值点, 同理可证 x ? a ? 1 为 f (x ) 的一个极小值点 另解:(I)因为 f ' ( x) ? x 2 ? 2ax ? (a 2 ? 1) 是一个二次函数, 且 ? ? (?2a)2 ? 4(a2 ? 1) ? 4 ? 0 , 所以导函数有两个不同的零点, 又因为导函数是一个二次函数,所以函数 f ( x) 有两个不同的极值点.

a 2 ( x ? a)(x ? a) (II) 因为 g ' ( x) ? 1 ? 2 ? , 令 g ' ( x) ? 0 ,则 x1 ? a, x2 ? ?a x x2
因为 f (x) 和 g (x) 有相同的极值点, 且 x1 ? a 和 a ? 1, a ? 1 不可能相等,

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所以当 ? a ? a ? 1 时, a ? ? 经检验, a ? ?

1 , 2

当 ? a ? a ? 1 时, a ?

1 , 2

1 1 和 a ? 时, x1 ? a, x2 ? ?a 都是 g (x) 的极值点. 2 2

18.已知(

4 1 3 n + x2) 展开式中的倒数第三项的系数为 45,求: x
3

(1)含 x 的项;

(2)系数最大的项.

n 2 解: (1)由题设知 Cn ?2 ? 45,即Cn ? 45,?n ? 10.

Tr ?1 ? C ( x )
r 10

?

1 4 10 ? r

? (x ) ? C x
r 10

2 3 r

11r ?30 12

,令

11r ? 30 6 ? 3, 得r ? 6, 含x3的项为T7 ? C10 x3 12
55?30 12 25

4 ? C10 x3 ? 210 x3 .

5 (2)系数最大的项为中间项,即 T6 ? C10 x

? 252x 12 .

19.设有关于 x

的方程 x 2 ? ?x ? 1 ? 0 ,其中系数 ? 是随机变量,其分布列为: 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

?
P

(1) 求方程有实数根的概率. (2) 令随机变量? 表示方程的实数根的个数.(重根按一个计算).求? 的分布列. (3) 求 ? 的数学期望. 解: (1) 当 ? ? 0 时,方程 x ? 1 ? 0 没有实根;
2

当 ? ? 1 时,方程 x ? x ? 1 ? 0 没有实根
2

当 ? ? 2 时,方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 有一实根
2

当 ? ? 3 时,方程 x ? 3x ? 1 ? 0 有两个不相等的实根
2

当 ? ? 4 时,方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实根
2

∴方程有实根的概率为 P=0.4+0.2+0.1=0.7 (2) 随机变量? 的可能取值为 0,1,2
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?
P

0 0.3

1 0.4

2 0.3

(3)

E? =0.4+0.6=1

20. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样的方法从该地区调查 了 500 位老年人,结果如下:
是否需要志愿者 者

性别

男 40 160

女 30 270

需要 不需要

P(K ≥k) k

2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

K2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(1)估计该地区老人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者 提供帮助的老年人的比例?说明理由。 解析:(1)调查的 500 位老人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要 帮助的老年人的比例的估算值为 (2) K ?
2

70 =14%. 500

500? (40 ? 270 ? 30 ? 160) 2 =9.967,由于 93967>6.635,所以有 99%的把握认为 200? 300? 70 ? 430

该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (3)由(2)得结论知,该地区的老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据中能看出 该地区男性老年人比女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该 地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单 随机抽样的方法更好。

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* 21. 对于任意 n ? N ,比较 (1 ? 1)(1 ? ) ? (1 ?

1 3

1 ) 与 2n ? 1 的大小,并用数学归纳法 2n ? 1

证明你的结论. 18 解: 取

1 n ? 1, (1 ? 1) ? 2 ? 1 ? 1 取 n ? 2, (1 ? 1)(1 ? ) ? 2 ? 2 ? 1 3 1 1 ) ? 2n ? 1 … 由此推测 (1 ? 1)(1 ? ) ? (1 ? 3 2n ? 1
2> 3

下面用数学归纳法证明: (1) 当 n ? 1 时, 左边=2,右边= 3

? 不等式成立.
1 3 1 ) ? 2k ? 1 2k ? 1

(2) 假设 n ? k 时,不等式成立,有 (1 ? 1)(1 ? ) ? (1 ? 那么, n ? k ? 1 时, (1 ? 1)(1 ? ) ? (1 ?

1 3

1 1 1 )[1 ? ] ? 2k ? 1(1 ? ) 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 2k ? 1

= 2k ? 1 ?

2k ? 2 2k ? 2 ? 2k ? 1 2k ? 1
2 2

4k 2 ? 8k ? 4 ? (4k 2 ? 8k ? 3) 1 ?( ) ? ( 2k ? 3 ) ? ? ?0 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 2 ? ? 2k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1 2k ? 1
1 1 1 )(1 ? ) ? 2(k ? 1) ? 1 3 2k ? 1 2k ? 1 就是说 当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 1 1 * ) ? 2n ? 1 由上可知,对于任意 n ? N , (1 ? 1)(1 ? ) ? (1 ? 3 2n ? 1
因而 (1 ? 1)(1 ? ) ? (1 ? 22.已知函数 f ( x) ? e ? ax , g ( x) ? e ln x .(其中 e 为自然对数的底数) ,
x x

2k ? 2

(Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与直线 x ? (e ? 1) y ? 1垂直,求 a 的值; (Ⅱ)若对于任意实数 x ≥0, f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 a 的取值 范围; (Ⅲ)当 a ? ?1 时,是否存在实数 处的切线与

x0 ??1, e?

x ? x0 ,使曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点

y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.
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? 22.解: (Ⅰ) f ( x) ? e ? a ,
x

?1, f (1)? 处的切线 l 的斜率为 e ? a , 因此 y ? f ( x) 在
1 ∴( e ? a ) 1 ? e =-1,∴ a =-1. ?

1 又直线 x ? (e ? 1) y ? 1的斜率为 1 ? e ,
x

(Ⅱ)∵当 x ≥0 时, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立, ∴ 先考虑 x =0,此时, f ( x) ? e , a 可为任意实数;
x

又当 x >0 时, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,
x

ex a?? x 恒成立, 则 ex (1 ? x )e x ? x2 设 h( x) = x ,则 h ( x) = , ?
当 x ∈(0,1)时, h ( x) >0, h( x) 在(0,1)上单调递增, 当 x ∈(1,+∞)时, h ( x) <0, h( x) 在(1,+∞)上单调递减, 故当 x =1 时, h( x) 取得极大值,

?

?

h( x)max ? h(1) ? ?e ,
∴ 要使 x ≥0, f ( x) ? 0 恒成立, a >- e , ∴ 实数 a 的取值范围为

? ?e, ??? .
x x

(Ⅲ)依题意,曲线 C 的方程为 y ? e ln x ? e ? x ,

令 u ( x) = e ln x ? e ? x ,则
x x

u?( x) ?

?1 ? x ex ? e x ln x ? e x ? 1 ? ? ln x ? 1? e ? 1 ? x =? x

v( x) ?
设 当

1 1 1 x ?1 ? ln x ? 1 v?( x) ? ? 2 ? ? 2 x x x x , ,则
, v ( x) ? 0 ,故 v( x) 在

x ??1, e?

?

?1,e? 上的最小值为 v(1) ? 0 ,
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?1 ? u?( x) ? ? ? ln x ? 1? e x ? 1 ?x ? 所以 v( x) ≥0,又 e ? 0 ,∴ >0,
x

x ? x0 处的切线与 y 轴垂直, 而若曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点


u?( x0 ) =0,矛盾。

所以, 不存在实数

x0 ??1, e?

x ? x0 处的切线与 y 轴垂直. , 使曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点

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