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甘肃省永昌县第一中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 文


永昌县第一高级中学 2014-2015-1 期末考试卷 高二数学(文科)
第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)。
? 1. “ sin A ? 1 ”是“ A ? 45 ”的(

) B.必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 2. 若

抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2 3. 若方程 C: x ?
2
?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
C. ?4 D.4 )



B. 2
2

y ? 1 ( a 是常数)则下列结论正确的是( a
?

A. ?a ? R ,方程 C 表示椭圆 w.w.w.5B. ?a ? R ,方程 C 表示双曲线 C. ?a ? R ,方程 C 表示椭圆
?

D. ?a ? R ,方程 C 表示抛物线 )

x2 y2 4 4. 已知双曲线 - =1的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( 3 a2 b2
A. 5 3 5 5 B. 或 3 4 ) C. ( ,0) C. 5 4 D. 3 2

5.抛物线: y ? x 2 的焦点坐标是( A. (0, )

1 2

B. (0, )

1 4

1 2

D. ( ,0)

1 4

x2 y2 ? ? 1 的焦距为( 6.双曲线 10 2
A. 2 2 B. 4 2



C. 2 3 )

D. 4 3

7. 设 f ( x) ? ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. 2 B.
3

1 2

C.

ln 2 2


D. ln 2

8. 函数 f ( x) ? 3x ? 4 x A.0

( x ??0,1? 的最大值是( C.1

B. -1

D.

1 2


9. 如果方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,那么实数 m 的取值范围是( | m | ?1 m ? 2

1

A m?2 C ?1 ? m ? 2

B D

m ? 1或 m ? 2 ? 1 ? m ? 1或 m ? 2


10. 函数 f ( x) ? e x ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是( A. y ? 2e( x ? 1) C. y ? e( x ? 1) 11.已知抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 和点 值是( A.3 ) B. 9 C. 12

B. y ? ex ? 1 D. y ? x ? e

A(?1 ,, 8) P 为抛物线上一点,则 PA ? PF
D. 6

的最小

12. F1 、 F2 是椭圆 Δ AF1F2 的面积为(

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF1 F2 ? 450 ,则 9 7


A

7 2

B

7 4

C

7

D

7 5 2

2

第Ⅱ卷 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 。 13. 已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1,则 ?p 是 _________________________

14.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? b 在 x ? 1 时取得极值,则实数 a ? _______. 15.焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上,且顶点在原点的抛物线标准方程为 16.对于函数 f ( x) ? ax3 , (a ? 0) 有以下说法: ① x ? 0 是 f ( x ) 的极值点. ②当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??,??) 上是减函数. ③ f ( x ) 的图像与 (1, f (1)) 处的切线必相交于另一点. ④若 a ? 0 且 x ? 0 则 f ( x ) ? f ( ) 有最小值是 2 a . 其中说法正确的序号是_______________. 三.解答题(17 题 10 分,18---22 题均 12 分,共 70 分) 17.求适合下列条件的标准方程: (1)实轴长为 12,离心率为 ____

1 x

2 ,焦点在 x 轴上的椭圆; 3

(2)抛物线的焦点是双曲线 16x 2 ? 9 y 2 ? 144的左顶点. 18.如图:是 y ? f ( x) = (1,0)和(3,0) (1)求 y ? f ( x) 的极小值点和单调减区间 (2)求实数 a 的值.

a 3 x ? 2 x 2 ? 3a 2 x 的导函数 y ? f ?( x ) 的简图,它与 x 轴的交点是 3

19. 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) , 右顶点为 D (2, 0) ,设点 A ?1, ? . (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程;
3

? 1? ? 2?

20. 点 M ( x, y ) 为抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点, A(a,0) 为定点,求 | MA | 的最小值。

21. 设

2 3 2 6 3 <a<1,函数 f(x)=x - ax +b (-1≤x≤1)的最大值为 1,最小值为- ,求 3 2 2

a, b 的值。
22. 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在区间 [0,1] 上是增函数 , 在区间 (??,0), (1,??) 上是减函 数,又 f ?( ) ?

1 2

3 . 2

(1)求 f ( x) 的解析式. (2)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ≤x 成立,求 m 的取值范围.

4

高二文科数学答案: 一 BDBAB DBCDC BA 15. y 2 ? 16x或x 2 ? ?12y

二 .13. ?x0 ? R, sin x0 ? 1

14.

-2

16. ②③

x2 y2 17. 解: (1)设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) a b
由已知, 2a ? 12 , e ?

c 2 ? a 3

? a ? 6, c ? 4, b2 ? a 2 ? c 2 ? 20
x2 y2 ? ? 1. 36 20

所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ,其左顶点为 ( ?3,0) (2)由已知,双曲线的标准方程为 9 16
设抛物线的标准方程为 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , 其焦点坐标为 ( ?

p ,0) , 2



p ?3 2

即p?6

所以抛物线的标准方程为 y ? ?12x .
2

18. (1) x ? 3 是极小值点-----3 分

?1,3? 是单调减区间-----6 分

' 2 2 (2)由图知 a ? 0 , f ( x) ? ax ? 4 x ? 3a
' ? ? f (1) ? 0 ? a ? 1 -------12 分 ? ' ? f ( 3 ) ? 0 ?

5

19. 解:(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), x= 由

x0 ? 1 2


x0=2x-1

1 y0 ? 2 y= 2

y0=2y-

1 2

由,点 P 在椭圆上,得

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 4 2
1 2 1 4

2 2 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1

20. 解:解: y ? 4 x
2

2p ? 4

p ?1 2

| MA |?

( x ? a)2 ? y 2

? x 2 ? 2ax ? 4x ? a 2
?

?x ? (a ? 2)?2 ? 4a ? 4
a?2

根号下可看作关于 x 的二次函数,这里 x ? 0

若a ? 2 ? 0

x ? a ? 2 时, | MA |min ? 4a ? 4
若 a ? 2 ? 0 , a ? 2 时, | MA | min ?| a | 21. 解析:f ’(x)=3x -3ax=3x(x-a),当 x 变化时,f ’(x), f(x)的变化情况列表 如下:
2

当 x=0 时, f(x)取极大值 b,而 f(0)>f(a),f(-1)<f(1), ∴ 需要比较 f(0)与 f(1)的大小,

6

3 a-1>0,∴ f(x)的最大值为 f(0)=b-1, 2 1 3 1 2 又 f(-1)-f(a)= (a -3a-2)= (a+1) (a-)<0, 2 2
∵ f(0)-f(1)= ∴ f(x)|min=f(-1),∴ -

3 3 6 6 a-1+b=- a=- , ∴ a= ,b=1. 2 2 2 3

22. (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,

?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2 ? 1 ? 3a 3a 3 ? a ? ?2 ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ? f ?? ? ? ? ? ?2? 4 2 2 ? f ( x) ? ?2x3 ? 3x2 .--------------6 分 (2)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x3 ? 3x 2 ? x ≤ 0 , 1 ? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤ 或 x ≥ 1 . 2 1 又 f ( x) ≤ x 在区间 ?0,m? 上恒成立,? 0 ? m ≤ --------12 分 2
另解:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ?2 x 3 ? 3x 2 ? x ? 0 在 ?0, m ? 上恒成立 即求在 ?0, m ? 上 ?g ( x)?max ? 0 满足的条件



g ' ( x) ? ?6x 2 ? 6x ? 1 ? 0 , x ?

3? 3 3? 3 或 6 6

?3? 3 3? 3? ? g ' ( x) ? 0 ? ? ? 6 , 6 ? 是单调增区间 ? ? ? ? 3? 3? ?3? 3 ?和? ? 是单调减区间 g ' ( x) ? 0 ? ? ? ? , , ?? ? ? ? 6 ? 6 ? ? ? ?
①若 0 ? m ?

? 3? 3 3? 3? , 则有?0, m? ? ? ? ?, ? ? 6 6 ? ?

g ( x) max ? g (0) ? 0, 成立
②若

3? 3 3? 3 ?m? , 有g (m) ? 0 6 6 3? 3 1 ?m? 6 2

综合得:

7

③m ?

3? 3 3? 3 3 , 有g ( )? ? 0, 矛盾 6 6 18
1 2

综上: 0 ? m ?

8


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