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矩阵论试题2005


武汉大学数学与统计学院 武汉大学数学与统计学院
2005 2006 学年工科 工科硕士研究生学位课程期末考试 2005-2006 学年工科硕士研究生学位课程期末考试
《矩阵论》 试题 矩阵论》
专业 班号 姓名

(A 卷,150 分钟 分钟)
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注:所有的答题内容必须写在答题纸上,凡写在其它地方的一律无效;交卷时将试 所有的答题内容必须写在答题纸上,凡写在其它地方的一律无效; 卷连同答题纸、草稿纸一并上交。 卷连同答题纸、草稿纸一并上交。 是非题(满分 请在正确命题前的括号内打“√” 否则打“×” “√”, “×”) 一、 是非题 满分 12 分,每小题 3 分.请在正确命题前的括号内打“√”,否则打“×” ( ( ( ( ) 1.设 A 是 m × n 的实矩阵, x 为 n 维向量,则 AT Ax = 0 ? Ax = 0 ; 的实矩阵, 维向量, 设 ) 2.设 n 阶方阵 A 满足 A 2 = E ,则 A 的特征值只能是 1; 设 ) 3.欧氏空间 R n 上的任意两种向量范数都是等价的; 上的任意两种向量范数都是等价的; ) 4.设 A 为 m × n 矩阵, B 为 n 阶可逆方阵,则 ( AB) ? = B ?1 A ? . 矩阵, 阶可逆方阵,

二、 填空题(本题满分 12 分,每空 3 分). 填空题 本题满分 三个四维 四维向量 设有三个四维向量 X = (1,1, ? 1,1) T , Y = (1, ? 1, ? 1,1) T , Z = (2,1,1, 3) T .则它们的 2-范数 则它们的 范数 分别为 X
2

=

; Y

2

=

; Z .

2

=

; 且与 X , Y , Z 都正交

的所有向量为

三、(本题满分 12 分, 每小题 6 分)设 n 阶方阵 A 满足 A 2 = A . ( 1.试利用滿秩分解证明 1.试利用滿秩分解证明 rank ( A) + rank ( A ? E ) ≥ n ; 2.进而证明 2.进而证明 rank ( A) + rank ( A ? E ) = n . 常见的矩阵分解有哪些?试求矩阵 四、(本题满分 12 分)常见的矩阵分解有哪些 试求矩阵

?1 4 2? ? ? A = ? 0 ? 3 4? ? 0 4 3? ? ?
的谱分解. 分解 五、(本题满分 12 分, 每小题 4 分)给定 R 3 的两个基

?ξ1 = (?1, 0, 2 ) , ? ?ξ 2 = ( 0 , 1 , 1 ) , ? ξ = (3, ? 1, 0) . ? 3



?η1 = (?5, 0, 3), ? ?η2 = (0, ? 1, 3) , ?η = (?3, ? 1, 4). ? 3

内积: 试求: 若定义线性变换 Τ 为: Τ(ξ i ) = η i , (i = 1, 2, 3) ,且有内积: (α , β ) = αβ T ,试求: 1.求两基间的过渡矩阵; 1.求两基间的过渡矩阵; 求两基间的过渡矩阵 2.求 下的矩阵; 2.求 Τ 在基 η1 , η 2 , η 3 下的矩阵; 3.求基 3.求基 η1 , η 2 , η 3 的度量矩阵 A = (aij )3×3 其中 a ij = (η i , η j ) . 设有三阶方阵 六、(本题满分 12 分, 每小题 6 分)设有三阶方阵

1 0 ? ? 3 ? ? A = ?? 4 ?1 0 ? , ? 4 ? 8 ? 2? ? ?
1.试证明矩阵 不能相似于对角矩阵; 1.试证明矩阵 A 不能相似于对角矩阵; 2.试 2.试求 A 的 Jordan 标准形 J ; 七、(本题满分 12 分, 每小题 6 分) 设 A 为 n 阶方阵, ? (λ ) 为一个多项式, 阶方阵, 为一个多项式, 1.试证明矩阵 的特征向量; 1.试证明矩阵 A 的特征向量皆为 ? ( A) 的特征向量; 2.试估计矩阵 估计矩阵
1 ? i 0 .3 0 .2 ? ? 2 ? ? 0 .3 ? 3 0 .2 1 + i ? ? A=? ?1+ i 0 .1 5 0 .4 ? ? ? ? 0 .1 ? 0 .2 1 ? i ? 4 ?

的特征值的分布范围. 的特征值的分布范围. 值的分布范围 八、(本题满分 16 分,每小题 8 分) 矩阵, 是否惟一? 1. 设 A 为实 m × n 矩阵,什么叫做 A 的广义逆 A ? ? A 的广义逆 A ? 是否惟一?并给 出其证明。 出其证明。 2.设有线性方程组 2.设有线性方程组 AX = b ,其中 ?1 1 ? ?2 1 A=? 3 2 ? ?1 ?1 ? 的减逆; (1)求系数矩阵 A 的减逆; (2)求该方程组的通解. 求该方程组的通解.
?2

3? ? 0 ? ? ? ? ?6 4 ? ? ?1? ? , b = ? ?1? ?8 7 ? ? ? ? ? 2? ? 6 ? 1? ? ? ?


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