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数学模型与分类讨论


数学模型思想

一、数学模型思想在初中数学中的意义
所谓数学模型,是指通过抽象和模拟,利用数学语言和方 法对所要解决的实际问题进行的一种刻画 。一般地,通过建立 数学模型来解决实际问题的过程称为数学建模。 数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并 进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时, 在思维能力、情感态度与价值观等多

方面得到进步和发展。 教学中加强数学建模的教学,引领学生寻找解题的途径。 针对一类问题,给学生一个模式,让学生有据可依,以不变应 万变,触类旁通,这样较为符合学生的心理特征,也有利于提 高学生解决问题的能力。

近几年,中考加强了应用题的考察,这些应用题以数学 建模为中心,考察学生应用数学的能力。但是学生在应用题 中的得分率远低于其它题,原因之一就是学生缺乏数学建模 能力和应用数学意识。因此,教师应加强数学建模的教学, 提高学生数学建模能力,培养学生应用数学意识和创新意识。

二、解答数学模型问题的一般步骤
(1)明确实际问题,并熟悉问题的背景; (2)构建数学模型(例如:方程模型、不等式模型、函数模 型、几何模型、概率模型、统计模型等); (3)求解数学问题,获得数学模型的解答; (4)回到实际问题,检验模型,解释结果。

应用数学模型解决问题的过程,大致可用如下框 图来表示:
实际问题 现实原型 获得解决 原始问题 的解答 检验 回到实际问题 假设、概括、抽象 数学模型

数学化
用数学知识和方法 解决数学问题 数学模型 的解答

三、初中数学建模的过程
1. 审题

建立数学模型,首先要认真审题。实际问题 的题目一般都比较长,涉及的名词、概念较多, 因此要耐心细致地读题,深刻分解实际问题的背 景,明确建模的目的;弄清问题中的主要已知事 项,尽量掌握建模对象的各种信息;挖掘实际问 题的内在规律,明确所求结论和对所求结论的限 制条件。

2. 简化

根据实际问题的特征和建模的目的,对问题 进行必要简化。抓住主要因素,抛弃次要因素, 根据数量关系,联系数学知识和方法,用精确的 语言作出假设。

3. 抽象

将已知条件与所求问题联系起来,恰当引入 参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻译成 数学语言,将数量关系用数学式子、图形或表格 等形式表达出来,从而建立数学模型。按上述方 法建立起来的数学模型,是不是符合实际,理论 上、方法上是否达到了优化,在对模型求解、分 析以后,通常还要用实际现象、数据等检验模型 的合理性。

四、几种常见的几何模型
(一)拉水管模型 (二)测古塔和测河宽模型 (三)平行线+角平分线 等腰三角形

(四)等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高

(一)拉水管模型

【例题】 要在河边上修建一个水泵站,分别向张庄、李 村送水,修在什么地方,才能使它到两村距离之和最短。
思路分析:
可以把这个实际问题归结为一个
数学模型:“已知直线l和在l 的同一 侧的两点A、B,求作点P,使点P在直

通过“作点A关于直线l的对称点A1, 连接BA1与直线l相交于点P,则点P就 是所求作的点”使问题得到解决。

A1.



线l上并且PA+PB最小.”该问题可以

A.

.B

.
P

.
P1

河l

1.在几何作图中的应用 如图,L是一面镜子,光源A通过镜面反射经过 点B,请画出光路图。 .B A. A1. P

.

L

上图中,L是台球桌案一边,台球A撞击L后,反 弹撞击B球,请画出路线图。

2.在平面直角坐标系中的应用 如图,在x轴上有一动点P,使点P到点A(2,1)、 B(5,3)的距离之和最小,求(1)点P的坐标(2)求 这个最小值。
思路分析: 在此问题中,可以把 、B当作两村, A (2)在Rt?A1 BC中 x轴当作河,再利用“拉 水管”模型 ? A1CP的位置。容易求得直线 B的 , 找到点 ? 3 BC ? 4 A ? A1 B ? 5 4 x - 11 解析式为y ? 3 3 ? 这个最小值是5 11
1

y

A(2,1) O

当y ? 0时,x ?

.. .P
A1(2,-1)


.B(5,3)
x

4

C

11 从而求得点P坐标为( ,0 ) 4

3.在等边三角形中的应用

如图,等边△ABC的边长是2,D是BC的中点,在AC上 有一动点P使PB+PD最小,求这个最小值。
法1:作出点D关于AC的对称点D1,连接AD、AD1 A 由等腰三角形“三线合一”性质可 23 1 知,AD ? BC,且∠1=∠2=∠3=300, 2 AD=AD1= 3 3 P 所以,∠BAD=900 在Rt△ABD1中 1 D B 2 2 BD1= 2 ? ( 3) ? 7

3

.
C

.D

1

.



法2:作出点D关于AC的对称点D1,过D1作D1E ? BC交 BC延长线于E,连接CD1 可证∠1=∠2=∠3=600,CD=CD1=1,

A
2

在Rt△CED1中 1 3 CE= 2 , D1E= 2
在Rt△BED1中

P
1

.

.D
300

1

B

. D

1

1 12 3

3 2

C

BD1=

1 3 (2 ? ) 2 ? ( ) 2 ? 7 2 2

1 2

E

4.在梯形中的应用

如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=900,P是AD上一动点, 使PB+PC值最小,那么点P应满足的条件是( ) B A.PA=PD B.∠CPD =∠APB C.PC⊥PB D.以上都不对
C1

.

D 12 P 3

.
A

C

B

5.在正方形中的应用

正方形ABCD的边长为8,点E是BC上一点,CE=2,在BD 上有一动点P,使PC+PE最小,求这个最小值。
D C . 2 . E 6 B

. A

. P
8

6.在菱形中的应用

已知边长为2的菱形ABCD中,∠DAB=600 ,E是AB的中 点,P为AC上一动点,使PE+PB最小,求这个最小值。
D . . C

2 P

600 A 1

. E

B

7.在矩形中的应用

矩形ABCD中,AB=2,∠BAC=300 ,E是AB的中点,P为 AC上一动点,使PE+PB最小,求这个最小值。
问题:如果把条件改为“E是AB 上 一点”应该这样思考?

B .
D

1

C

2
300 300

P 1

A



. . E

B

8.在圆中的应用

半径为2的⊙O中,AB是直径,C、D为半圆上两点,若 AC为960,BD为360,动点P在AB上,求PC+PD的最小值。 C .

A

E D 0 960 841 P B 360 O 2 D1
2
600

. . . .
300

9.在二次根式中的应用
y ? x 2 ? 1 ? (9 - x) 2 ? 4 若

,当x=______ 时,y有最 B

小值为 ______。
思路分析:
此题乍一看让人无处下手,通过仔细观 察发现,两个被开方数均为“a2+b2”的形 A 法一:利用相似 式,这很容易让人联想到勾股定理。此题 1 若采用数形结合的思想方法既有助于找到 解答思路,也常使解答简捷.数形结合的关 C 法二:利用勾股定理 键在于能将代数问题蕴含的几何图形,几 2 何知识抽取,转化出来,再进行解决。

x


. P
9

2 9-x

E

. B

D 2
1

10.在二次函数中的应用
y? 1 2 x ? x?4 2

二次函数 与x轴交于A、B两点(A在B的 左侧),与y轴交于点C,在抛物线对称轴上有一动点P, 使PA+PC最小,求点P的坐标。 y

法一:利用一次函数
法二:利用相似

-2 A O -4 C

D

.
4 B

.
P
x=1

x

拓展1 若把问题“使PA+PB最小”改为“使△PAB周长最 小”,应怎样思考?

A.

.B

.
P

A1.



L

拓展2 若把直线L改为一个角,在直线L和L 1上分别找一 点P、Q使四边形APQB周长最小。 L1 B A A1

.

.. Q P

. .

L

.B

1

拓展3 如图,∠MON=450,OA=10,在OM、ON上分别找点P、 Q,使△APQ周长最小,求这个最小周长。
M

. 10 P .
A1
1

O

2 4503 4

10

.A .A Q.

2

N

拓展4

如果A、B两村庄在河L两侧,河的宽度为a,试设 计一条连接A、B两村庄的道路,使工程造价最低。
河宽a A

. A.
1

a

. . C
D

.B

拓展5

如图,试在直线L上确定一点P,使 PB ? PA 的值最大。

.B
P

.

A.

.
P1

L

拓展6 如图,如果点A、B在直线L两侧,试在直线L上 确定一点P,使PB ? PA 的值最大。

A1

.
P

.

.B

.
P1

L

A.

小 结
解决线段之和最短的问题,就是利用轴对称的有关性 质,将线段之和最短转化为线段最短的问题。让学生记住 这个数学模型,从而轻松解决“最短”问题。 由于角、等腰三角形、菱形、矩形、正方形、圆、抛 物线等图形都具有轴对称性,因而,此数学模型通常建立 在与这些图形有关的问题背景下,考察内容多与作图题、 计算题有关。

(二)测古塔模型
【例题】如图,小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶, 测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600, 小明的身高为1.5m,那么该塔有多高?(精确到0.1m) B
在Rt?BCD中 BD 0 tan60 ? 50 BD ? 50 3

.

300 50m

? BE ? 50 3 ? 1.5 ? 88.1 ? 该塔高约为88.1米。
1.5m

A 300
50m

C 600

. .
D E

拓展1
如果把条件中的“仰角600”改为“仰角450”,应该怎样思考?
解:设BD为x米,则CD为x米,AD为(50+x)米
在Rt ABD中 在Rt??ABD中 3 50 x 0 t an30? ? ? x ?? 3 tan60 xx 50 ? 3 3 x ? 3 x ? 50 3 3 x ? 50 ? x
0

B .

( 3 ? 1) x ? 50
x?

(3 ? 3 ) x ? 50 3

50 3 (3 ? 3) 50 3 ? x ? 25(? 33 1) (3 ? 3 )(3 ? 3 ) ? 3

x
A 300
1.5m

?? 150 25(? 150 1) ? 1(5 3 ? 1).8 BE ? 3 3 ? ? 25 . ? 69
6 ? 该塔高约为69.8米。 ? BE ? 69.8

C 450 600
50m

x

. .
D E

拓展2
如果把条件中的“仰角600”改为“仰角750”,应该怎样思考?
在Rt?ABD中 ? ?BAD ? 30 0 ? BD ? 1 AB 2 25 3 ? 25 ? 2

B . 25 E

450

25 3
A 300
1.5m

25

C 600 0

75

50m

.
D

应用举例
如果P是一所学校,某拖拉机在公路上以4米/秒的速度由A正 海中有一个小岛P,它的周围20海里内有暗礁,渔船跟踪鱼 群由西向东航行,在点A测得小岛P在北偏东60°方向上,航行 东方向行驶,已知拖拉机周围20米以内会受到噪音影响,问: 12海里到达B点,这时测得小岛P在北偏东45°方向上.如果渔 (1)学校是否会受到噪音影响?说明理由。 船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由. (2)若受到噪音影响,那么学校受到影响的时间为多少秒?
解2 设PC为为圆心,以20为x海里, (: )以点P x海里,则BC米为 半径画弧交直线 于点 BC AC为(x ? 12)海里。 D、E. 在Rt ABD中 在Rt??PCD中 12 ? 16 CD ? 20 ? x ? 12 tan600 ? ? 3 x ? DE ? 2CD ? 24 20 0 0 x ? 6( 3 ? 1) ? 16 ? 20 60 45 0 24 45 ? 学校受到影响的时间为 ? 6秒。 300 4 ? 有触礁危险。 A 12 B D
2 2

P
16 12

x

C



.

x

E

测河宽模型
【例题】 如图,为了测量一条河的宽度,一位测量员在河的 南岸东西方向相距50m的A、B两点分别测量对岸河边点C的位置, C在A的北偏东600方向,在B的北偏西450方向,求河宽。
解:过点C作CD ? AB于D 设CD为x米,则BD为x米,AD为( - x )米 50 在Rt?ACD中 50 ? x t an600 ? ? 3 x 3 x ? 50 ? x ( 3 ? 1) x ? 50 x ? 25( 3 ? 1) ? 河宽是25 3 - 1)米。 (

.
C A

.

600

. 30

450 50-x D x 50m
0

x

450

.
B

应用举例
将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD重合.已知AB=AC=8 cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后 (图2),求两个三角形重叠(阴影)部分的面积?
解:过点F作FG ? AC于G 设FG为xcm,则CG为xcm,AG为( - x )cm 10 在Rt?AFG中 x t an600 ? ? 3 10 ? x 解得:x ? 15 ? 5 3 1 ? S ?ACF ? ? 10 ? (15 ? 5 3 ) ? 75 ? 25 3 2 B ? 重叠部分的面积为( - 25 3 )cm2。 75
E C
450

D

E
450

C

600
图1

D

F
B

600

G

10

A(M)

图2

A(M)

小 结
测古塔模型,实际上就是测量底部不可到达的建筑物等 的高度的问题。而测河宽模型模型,就是底部可以到达的问 题。由于给出的边长不属于任何一个直角三角形,因此不能 直接利用解直角三角形去解决,往往需要添加辅助线,假设 未知数,然后转化为解直角三角形的问题。
为了计算方便,考试时给出的两个角一般都是特殊角, 我们要根据不同的特殊角选择不同的解题技巧。

(三)平行线 + 角平分线

等腰三角形

【例题】 如图,已知AD∥BC,BD是∠ABC的平分线,那 么△ABD是等腰三角形吗?为什么?(初二上册第11页)
解:△ABD是等腰三角 形∵ AD∥BC ∴∠1=∠2 ∵ ∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴AB=AD ∴△ABD是等腰三角形

A
1 3 2

D

B

C

应用1:
如图,在△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,过点O作 直线EF∥BC交AB于E,交AC于F.猜想EF与BE、CF之间的关系。

A
A A

E
E B O F

F

O

B

C

C

B

C
EF ? BE ? CF

E

EF ? BE ? CF

EF ? BE ? CF

O

F

应用2:
△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆 心I作DE∥BC,分别与AB、AC 相交于点D,E,则DE的长 为 .(2008年全国初中数学竞赛试题)
参考答案:

易证得BD ? 1 , CE ? EI DI 1 r a 则 aha ? S ?ABC ? (a ? b ? c)r , 所以 ? 2 2 所以?ADE的周长 ? AB ? ACha a ? b ? c
h 因为?ADE与?ABC相似,r DE 因为?ADE与?ABC相似,所以 a ? ha BC

解:连接BI、CI, 解:设?ABC的三边长为a, b, c, ?I的半径为r,BC边上的高为ha ,

A D

B

G F



?ADE周长 DE 所以 ha - r ? r a a (b ? c) 所以DE ?ABC周长- BC (1 ? ? a ? (1 )a ? )a ? ha ha a?b?c a?b?c 7?9 DE 16 即 ? 8 ? (7 ? 9) ? 16 ,故DE ? ? 故DE7 ? 8 ? 9 3 8?7?9 8 3

I.ha E
r

C

应用3: 矩形ABCD中,AB=3,BC=4,把△BCD沿BD折叠, 交AD于点E,求重叠部分的面积.
在Rt?ABE中 3 ? 4 - x) ? x ( 25 x? 8 1 25 25 ? S ?BD E ? ? ? 4 ? 2 8 4
2 2 2

C1 A 4-xE 3 B

x
3
2

D

x

1

4

C

应用4: △ABC中,O是AC边上一动点,过点O作MN∥BC交 ∠BCA平分线于E,交∠BCA外角平分线于F,当点O运 动到何处时,四边形AECF是矩形。
思路分析: 显然,OE=OC,OC=OF,所 以OE=OF,如果O是AC的中点, 那么四边形AECF就是平行四 边形。再根据OE=OC=OF,可证 得∠ECF=900,从而证得四边 形AECF是矩形.

A M E O F

B

C

小 结
角平分线、平行线、等腰三角形关系密切,在 题设中知其二,便可发现其三,这种解题思想方法 往往能得到打开第一道大门的金钥匙,突破解题的 一个难点,使学生一看就会做题成为可能。

(四)等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高

【例题】已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,P是BC上任 意一点,PD⊥AB,PE⊥AC,BF⊥AC,求证:PD+PE=BF
证法一:面积法 连结AD ? S ?ABP ? S ?ACP ? S ?ABC 1 1 1 AB ? PD ? AC ? PE ? AC ? BF 2 2 2 ? AB ? AC ? ? PD ? PE ? BF

A

D B

. . P

F E C

证法三:过B作BH ? EP交EP延长线于H ? 四边形BHEF是矩形 ?四边形PEFG 是矩形 ? BF PE ? FG ? ? HE
证法二:过 作PG ? BF于G P 又 ? PE ? AC, BF ? AC 又 ? PE ? AC, BF ? AC

A

? AB AB ? AC ? ? AC

? ?DBP ? ?C ?C ? ?DBP ? ? AC平行BH PG ? AC平行 ? ?C?C ? ?GPB ? ? ?HBP
? ?DBP ? ? ? ?DBP ? ?HBPGPB 又 ? ? BP 又 ? BP BP ? BP ? ?DBP ? ?GPB ? ?DBP ? ?HBP ? ? PH ? PDPD ? BG

D G B P H

. .

F E

C

? ? PE PE ? BG ? HE ? BF ? PDPD ? ? PH ? PE? GF ? BF

证法四: ? AB ? AC ? ?DBP ? ?C 在Rt?BDP中 PD ? BP ? Sin?DBP 在Rt?PCE中 PE ? PC ? SinC ? PD ? PE ? BP ? Sin?DBP ? PC ? SinC ? BP ? SinC ? PC ? SinC ? ( BP ? PC) SinC ? BC ? SinC ? BF

A

D B

. . P

F E C

应用1:
如图,矩形ABCD中,P为CD中点,点Q为AB上的动点(不与A, B重合).过Q作QM⊥PA于M,QN⊥PB于N.设AQ的长度为x,QM与QN 的长度和为y.则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是( D ) (2012年烟台市中考题)

A

B

C

D

应用2: 如图,在梯形ABCD中,AB=12,BC=5,P为CD上一动 60 点,过点P作PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF=_______
13

D F G

P O E

C

A

B

应用3: 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C=600,BC=2,P为BC上 一动点,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥CD于F,求PE+PF的值。
G A E B P D H

F
C

拓展1:
如果P是BC延长线上一点,那么PD,PE和CF满足什么等量关系?
PD ? PE ? CF 证明:连接AP ? S ?ABP ? S ?ACP ? S ?ABC 1 1 1 ? AB ? PD ? AC ? PE ? AB ? CF 2 2 2 ? AB ? AC ? PD ? PE ? CF

A

D
F B C E P

拓展2:
等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于一边上的高。 已知: 点P是等边△ABC内一点,过点P作PD⊥BC于D,PE⊥AB于E, PF⊥AC于F,求证:PD+PE+PF=AG A 证明:连接AP, BP, CP
? S ?BCP ? S ?ABP ? S ?ACP ? S ?ABC 1 1 1 1 ? BC ? PD ? AB ? PE ? AC ? PF ? BC ? AG E 2 2 2 2 ? AB ? BC ? AC ? PD ? PE ? PF ? AG

F

. P
D G C

B

拓展3:

如果点P在等边△ABC外部,那么PD,PE,PF与AG又满 足怎样的等量关系?
PE ? PF ? PD ? AG 法一: 证明:连接AP, BP, CP ? S ?ABP ? S ?ACP ? S ?BCP ? S ?ABC 1 1 1 1 ? AB ? PE ? AC ? PF ? BC ? PD ? BC ? AG B 2 2 2 2 ? AB ? BC ? AC ? PE ? PF ? PD ? AG

A

E G

D

. P

F C

证法二: 过点P作BC的平行线分别交 AB、AC的延长线于M、N , 延长AG交MN于点Q. 先证明PE ? PF ? AQ 而PD ? GQ ? PE ? PF ? AQ ? AG ? GQ ? AG ? PD ? PE ? PF ? PD ? AG
E B M

A

D G Q P

F

.

C

N

小 结
“等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于 一腰上的高”是真命题,但不是定理。考试时一般 会出现在填空题或选择题中,学生可以直接利用这 个结论,从而达到一招制胜。但如果出现在计算题 中,就需要先证明这个结论的正确性,然后再利用 这个结论。

以上习题都是课本例题、习题的再延伸,由于有 了数学模型,也就有了一套成熟有效的解题策略, 从而降低了思考的难度,学生解决起问题来也就显 得得心应手。 总之,在平时的教学中,教师要对一些有代表 性的例题进行训练,多角度引入背景,使学生熟练 地运用数学模型分析问题,从而拓展思维的广度。

分类讨论思想

分类讨论型问题常与开放探究型问题综合 在一起,不论是在分类中探究,还是在探究中 分类,都需要具备扎实的基础知识和灵活的思 维方式,对问题进行全面衡量、统筹兼顾,切 忌以偏概全。分类讨论是中学数学中常用的一 种数学思想方法,它能考查学生的综合的数学 知识和灵活的应用能力,因此,分类讨论型问 题也是中考命题的热点之一,常出现在中考数 学的压轴题中。

一、分类讨论思想定义与特点
? 分类讨论思想,就是把要研究的数学对象按照一定的 标准划分为若干不同的类别,然后逐类进行研究、求 解的一种数学解题思想。 ? 实质:“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略。 ? 作用:克服思维的片面性,防止漏解。 ? 关键:要有分类讨论的意识,克服想当然的错误习惯, 注意分类可能导致问题发生质的变化的各种情况。

二、解答分类讨论问题的一般步骤
(1)确定分类对象;

(2)进行合理分类(理清分类的界限,选择分类标 准,并做到不重复、补遗漏); (3)逐类进行讨论
(4)归纳出结论

三、分类讨论思想的常见题型
1.实数化简 2.等腰三角形 6.三角形相似 7.平行四边形

3.直角三角形 4.分式和不等式
5.方程

8.函数 9.圆
10.动态问题

1.分类讨论在实数化简中的应用
在实数中带有绝对值号,二次根式的化简中,应注意讨 论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性,在保证各 式有意义的前提下进行化简求解。 【例1】已知x是实数,请化简|x-1|+ x 2 思路分析: 根据|a|的化简法则,当a≥0时,|a|=a,当a<0时,|a|= -a, a 2的化简与|a|相同,同样要讨论a的正负性才能得到 化简结果,因此要分别讨论,x,x-1的正负性进行化简.

解:当 x≥1 时,x-1≥0 ∵|x-1|=x-1, x2=x ∴|x-1|+ x2=x-1+x=2x-1 当 0<x<1 时,|x-1|+ x2=1-x+x=1; 当 x≤0 时,|x-1|+ x2=1-x-x=1-2x

2.分类讨论在等腰三角形中的应用

在等腰三角形中,无论边还是顶角、底角不确定的 情况下,要分情况求解,有时要分钝角三角形、直角三 角形、锐角三角形分别讨论解决.
(1)在等腰三角形中求边: 【例2】已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周 16或17 长等于_________。 思路分析: 等腰三角形中,给出的边可能是腰,也可能是底边,所以 我们要进行分类讨论,三边可能是5,5,6,也可能是6,6,5。

【例3】在等腰三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别 为a,b,c.已知a=3,b和c是关于x的方程 x ? mx ? 2 ? 1 m ? 0 2 的两个实数根,求△ABC的周长。
2

思路分析:
△ABC的周长取决于b+c的值,因为b,c是原方程的根,所以b+c=-m,由 此可知关键是求m的取值,在△ABC中,腰与底不能确定,因此应分两种情 况讨论。 (1)当a=3是腰时,有b=3或c=3,即原方程必有一根为3,把x=3代入原 方程,可求得m=-4.4,所以 △ABC的周长为a+b+c=7.4 (2)当a=3是底边时,b=c,所以△=0,解得m=-4或m=2.又因为b+c=-m>0, 所以m=2舍去,所以m=-4,b+c=4,所以△ABC周长为7. 综上所述:△ABC的周长为7.4或7

(2)在等腰三角形中求角

【例4】△ABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在的直线相交所 得的锐角为400,则底角B的度数为 65°或 25° 。
思路分析:
由于不确定等腰三角形 的顶角是锐角还是钝角,三 角形的腰上的高在该三角形 内部或外部,因此应分两种 B 情况讨论,如图所示:

A A

C

B

C

【例5】已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为( D ) A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 思路分析:
等腰三角形的一个内角可能指底角,也可能指顶角,所以必须分 两种情况讨论。

(3)由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类
【例6】如图,已知二次函数y ? x ? bx ? c(c ? 0)
2

的图象经过点

A(-2,m)(m<0),与 y 轴交于点 B,AB∥x 轴,且B(0,-3). (1)求二次函数的解析式; (2)如果二次函数的图象与x轴交于C、 D两点(点C在左侧).问线段BC上是否 存在点P,使△POC为等腰三角形;如果 存在,求出点P的坐标;如果不存在, 请说明理由.

y
C
O

D

x
B

A

y
当O为顶点时

OC=OP
C -3 D
O

P2 (0, 3) ?

x

A

-3 P2 B

y
当C为顶点时

CP=CO
C -3
3 2 2

3 2 3 2 P ( ?3 ? , ? ) 2 2

45

0

EO

D

x

3 P3

A

-3 B

y
当P为顶点

PC=PO
C -3
E
O

3 3 P ( ? ,? ) 2 2
1

D

x
-3 B

P1

A

【例7】在直角坐标系中,O为坐标原点,已知 A(1,1),在 x轴上确定点P,使得△AOP为等腰三角形,则符合条件的P点共 y 有 4 个 当A为顶点时

OA=AP
1

P1(2,0)
当O为顶点时 当P为顶点时

OA=OP
2

2
P2 -1

.A (1,1)
P1 P4 P3 1

P2( ? 2 ,0), P3(
P4( 1, 0 )

,0),

o
-1

x

AP=OP

3.分类讨论在直角三角形中的应用
(1)在直角三角形中找斜边:

【例8】 在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径 是( D ) A. 5 B. 10 C. 5或4 D. 10或8
思路分析: 直角三角形的边BC可能是直角边也可能是斜边,所以 必须分情况讨论。

(2)在直角三角形中找直角: 【例9】如图,在直角梯形OBCD中,OB=8,BC=1,CD=10,点 P在x轴上,若△PDC是直角三角形,求过D、P、C三点的抛 y 物线解析式。
8

D

思路分析: △PDC是直角三角形 可能指D是直角顶点,也 可能指P是直角顶点,也 可能指C是直角顶点,所 以必须分情况讨论。

6

4

2

E
-5

C O
5

B

10

x

-2

当D为直角顶点
过点C作CE⊥OD于E, 利用△CDE~△DPO即可求 得点P坐标,再利用一般 式求出抛物线的解析式。

8

D
6

4

2

E
P-5
-2

C O
5

B

10

x

当P为直角顶点
点P在以CD为直径的 圆上,利用△DOP~△PBC 即可求得点P坐标,从而 求出抛物线的解析式。

y
8

D
6

4

2

C
-5

O P
-2

5

B

10

x

当C为直角顶点
过点C作CF⊥OD于F, 利用△CDF~△CPB即可求 得点P坐标,从而出抛物 线的解析式。

y
8

D
6

4

2

F
-5

C O
5

P B

10

x

-2

4.分类讨论在分式和不等式中的应用
3 4?x x ? 或x ?。 已知分式 的值为负数,则 x的取值范围是 ________ 4 【例10】 2 2x ? x

思路分析:

欲求x的取值范围,需要建立 关于x的不等式(组), 由“两数相除,异号得 负”知4 - x与2 x ? 3异号,因此 ?2 x ? 3 ? 0 ?2 x ? 3 ? 0 得? ;? .分别解这两个不等式组 即可。 ?4 ? x ? 0 ?4 ? x ? 0

a?b b?c a?c 已知 p ? ? ? , 则p ? __________ 【例11】 c a b 思路分析:
由于a ? b ? c的范围不确定,因而要 进行讨论。 当a ? b ? c ? 0时,由等比性质得 (a ? b) ? (b ? c) ? (a ? c) p? ?2 c?a?b 当a ? b ? c ? 0时, a ? b ? ?c a?b ?p? ? ?1 c ? p ? 2或 - 1

5.分类讨论在方程中的应用
2 mx 3 ? 2 ? ,当m取何值时无解? 【例12】关于 x的分式方程 x?2 x ?4 x?2 思路分析:
通过去分母得2( x ? 2) ? m x ? 3( x ? 2) 化简得到(m ? 1) x ? ?10,观察发现造成分式方 程无解的原因 有两种,一是方程有增 根,二是m ? 1 ? 0. 当m ? 1时,方程无解 . 当m ? 1时,由于分式方程增根 可能是2或 - 2 ()当x ? 2时, m ? 1) ? ?10, m ? ?4 1 2 ( (2)当x ? ?2时,2 m ? 1) ? ?10, m ? 6 -( 综上所述:当 ? 1 - 4 或6时,分式方程无解 m ,

【例13】 已知关于x的方程(k2-1)x2-2(k+1)x+1=0有实 数根,求k的取值范围。

思路分析:
此方程应该分一元一次 方程和一元二次方程两 种情况进行讨论。 1 当k ? 1 ? 0时,k ? ?1,当k ? 1时,4 x ? 1 ? 0,x ? ,当k ? -1时无解。 4 当k 2 ? 1 ? 0时,k ? ?1, 为一元二次方程,由题 意得
2

? ? 4 k ? 1) 2 ? 4 (k 2 ? 1) ? 8k ? 8 ? 0,得k ? ?1 ( ? k ? ?1,? k ? ?1, 且k ? 1 综上所述:k的取值范围是 ? ?1 k

6.分类讨论在三角形相似中的应用
【例14】如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,D为AC上一点且 AD=2,点E是AB上一点,连接DE,若以A、D、E为顶点的 3 8 三角形与△ABC相似,则AE的长是 _____. 或 2 3 思路分析: A
由于没有确定 点位置,所以两个三角 E 形对应顶点、 对应边不确定,只有 点为公共顶点确定,所 A 以要 分两种情况讨论: ()当?ABC ~ ?AED时,得 1 AB AC ? , 可求得AE; AE AD AB AC (2)当?ABC ~ ?ADE时,得 ? , 可求得另一个 。 B AE AD AE
·D

C

【例15】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=900,AB=7, AD=2,BC=3,若在AB上一点P,若以P、A、D为顶点的三角 形与以P、B、C为顶点的三角形相似,则PA的长是 _____. 思路分析: A 2 D
?PDC与?PAB都是直角三角形,只有 直角顶点对应, 两个直角边对应不确定 ,因而要分两种情况讨 论: 可以假设AP为x, 则BP为7 - x ()当 1

P

.

x

AP AD x 2 14 ? 时,有?ADP ~ ?BCP, 得 ? ,x ? ; BP BC 7?x 3 5 AP AD x 2 (2)当 ? 时,有?ADP ~ ?BPC, 得 ? , x1 ? 1, x2 ? 6 BC BP 3 7?x 14 综上所述:AP的长为 ,1或6. 5

7-x
B

3

C

7.分类讨论在平行四边形中的应用
【例16】在平面直角坐标系中,三点坐标分别是(0,0)( 4,0)(3,2),以三点为顶点画平行四边形,则第四个顶 y 点不可能在( C ) A .第一象限
B .第二象限 (-1,2) (3,2) (7,2)

C .第三象限
D .第四象限

o

(4,0)

x

(1,-2)

8.分类讨论在函数中的应用
【例17】 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6,,相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ,则这个函数的

解析式

y?

1 1 x ? 4 或y ? ? x ? 3 3 3



思路分析: “两点确定一条直线”,根据自变量与函数的取值范围, 一次函数可能过(-3,-5)、(6,-2);也可能过(-3,-2)、 (6,-5),因此要分两种情况讨论。

【例18】:函数y=ax2-(a-3)x+1与x轴只有一个交点,求a的 值与交点坐标。
可能是二次函数,因而 要分两种情况讨论 思路分析:函数可能是一次函数也 1 当a ? 0时,为一次函数 ? 3 x ? 1 y ,交点为( ,0 - ) 3 2 当a ? 0时,为二次函数 ? ax ? (3 ? a ) x ? 1 y 由题意得? ? 3 - a) 2 ? 4 a ? a 2 ? 10a ? 9 ? 0 ( 1 解得:a ? 1或a ? 9, 交点为( 1,0 - )或( ,0 ) 3 1 综上所述:当 ? 0时,交点是( ,0 a - ) 3 当a ? 1时,交点是( 1,0 - ) 1 当a ? 9时,交点是( ,0 ) 3

9.分类讨论在圆中的应用
【例19】在Rt△ABC中,∠C=900, AC=3,BC=4。若以C为圆心,以R为半 径的圆与斜边只有一个公共点,则R的 取值范围为多少?

A

4
12 R? 5

D 3 B

C

或3<R≤4

【例20】半径为1的两个等圆外切,则半径为2且和这两个圆都 相切的圆有几个? 思路分析:

(1)和两圆都外切 (2)和两圆一内切一外切
(3)和两圆都内切

练习:
1、已知⊙O的半径为5cm,AB、CD是⊙O的弦,且AB=6cm, CD=8cm,AB∥CD, 7cm或1cm 则AB与CD之间的距离为 。 600或1200 2、△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形,若BC=2cm,则∠ A的度数是_______ 3、半径为3cm、5cm的两圆相切,则它们的圆心距为 8cm或2cm 。

4、已知两圆内切,一个圆的半径是3,圆心距是2,那么另一个圆的半径是 1或5 ________。

3cm或5cm 5、点P到圆上一点的最大距离是8cm,最小距离是2cm,则圆的半径是________。
0 0 6.若O为△ABC的外心,且 ∠BOC=600 ,则∠BAC= 30 或150 。

10.分类讨论在动态问题中的应用
【例22】如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,点P从点A开始 沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,点Q从点C开始沿CD以1 厘米/秒的速度移动,如果点P和Q分别从点A、C同时出发,当其中一 个点到达D点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t(秒). (1)当t为何值时,四边形APQD为矩形;

D

20-t

t QC

A

P

4t

B

(2)如果⊙P和⊙Q半径都是2厘米,那么当t为何值时, ⊙P和⊙Q相外切? 4t-24 t 20-t t 4t-24 C t Q D 4 24-4t 4 4 t
t ? (4t ? 24) ? 4 20 3 解得t ?

A

4t

P

( t ? ? 242 24)? 4 2 2 4t (4t ?) - t ? 4 在Rt△PCQ中,t +(24-4t) =4 20 20-t=4t,解得t=4 解得t ? 28 ? 因为△<0,所以无实数解 解得t 3 3

B

小 结

分类讨论的思想方法

实质:是根据数学对象的共同性和差异性,将其分为 不同种类的思想方法; 作用:能把较复杂的、陌生的问题转化成几个较简单的 问题,可考察学生思维的周密性,克服思维的片面性; 原则:(1)分类按同一个标准; (2)各部分之间相互独立; (3)分类讨论应逐级进行;

制作:晒网渔夫 QQ:4074832


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