koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考第春季专题——函数与方程、不等式1






高三

学科

数学

内容标题 编稿老师

函数与方程、不等式 1 黄国强

一、学习目标
1. 熟练掌握一元一次不等式(组) 、一元二次不等式、可化为一元二次不等式的分式不 等式、高次不等式、简单的绝对值不等式的解法

.通过对不等式解法的复习,提高学生分析 问题、解决问题,以及计算的能力. 2. 掌握基本不等式及其简单的应用,并能利用综合法、分析法、数学归纳法、反证法 等证明简单的不等式. 3. 能画出二元一次不等式组表示的平面区域,会利用平面区域求目标函数的最值. 4. 通过不等式的基本知识、基本方法在函数、三角函数、数列、复数、立体几何、解 析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融会贯通,从而提高分析问题、解决问题 的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,学会利用函数与方程的 思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想解决不等式问题.提高学生的 数学素质及创新意识.

二、重点、难点
重点: 1. 一元一次不等式(组)、一元二次不等式、可化为一元二次不等式的分式不等式、高 次不等式、简单的绝对值不等式的解法. 2. 基本不等式的应用,利用综合法、分析法、数学归纳法、反证法等证明简单的不等 式. 3. 能画出二元一次不等式组表示的平面区域,会利用平面区域求目标函数的最值. 难点: 1. 不等式与函数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等知识的综合应用. 2. 利用函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想解 决不等式问题.

三、考点分析
新课标高考对不等式这部分知识的考查, 渗透在各种题型中, 考查的题型主要是选择题、 填空题、 及某些综合问题中的某一问.选择题、 填空题以考查基础知识为主.一元一次不等式 (组)、一元二次不等式、可化为一元二次不等式的分式不等式、高次不等式、简单的绝对值 不等式的解法及基本不等式的简单应用、 利用平面区域求目标函数的最值等知识点是考查的 重点.综合性问题常与数列、函数、三角函数、复数、立体几何、解析几何等知识综合在一

第 1 页 版权所有

不得复制

起进行考查.因此,不等式应用问题体现了一定的综合性及灵活多样性,这对同学们将数学 中所学的各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.

一、不等式的性质
1. 若 a>b,b>c,则 a>c; 2. 若 a>b,则 a+c>b+c; 3. 若 a>b,c>0 则 ac>bc; 4. a>b,c>d ? a+c>b+d; 5. a>b>0,c>d>0 ? ac ? bd ? 0 ; 6. a>b>0,n ? N , n ? 1 ? a n ? b n , n a ? n b .

二、不等式的解法
1. 一元一次不等式(组)解法:形如 ax ? b 解的讨论: 当 a>0 时,解集是 ( ,?? ) ;当 a<0 时,解集是 (?? , ) ;当 a=0 且 b<0 时,解集是 R; 当 a=0 且 b ? 0 时,解集是空集. 2. 一元二次不等式的解法: (见下表) (ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0) ( a ? 0)

b a

b a

3. 恒成立、能成立、恰好成立的问题: (1)恒成立的问题:
2 ① ax ? bx ? c ? 0 , ( a ? 0) 在 x ? (??,??) 上恒成立 ? ?

?a ? 0 ?? ? 0

第 2 页 版权所有

不得复制

② ax2 ? bx ? c ? 0, (a ? 0) 在 x ? (??,??) 上恒成立 ? ?

?a ? 0 ?? ? 0

③ f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0, (a ? 0) 在区间[m,n]上恒成立满足的条件是:

? b ?m ?? ? 2a ? ? f ( m) ? 0

b ? m?? ?n ? ? 2a 或? ? f (? b ) ? 0 ? 2a ?

? b ?n ?? 或 ? 2a ? ? f ( n) ? 0

④ f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 , (a ? 0) 在区间[m,n]上恒成立 ? ? 一般情形:

? f (m) ? 0 ? f ( n) ? 0

f ( x) ? g ( x)恒成立 ? [ f ( x)]min ? g ( x), f ( x) ? g ( x)恒成立 ? [ f ( x)]max ? g ( x)

(2)能成立的问题(有解、解集非空等) ① f ( x) ? A , ( x ? [m, n]) 能成立 ? f ( x) max ? A , ② f ( x) ? A , ( x ? [m, n]) 能成立 ? f ( x) min ? A (3)恰好成立的问题(一般情形)

f ( x) ? A, ( f ( x) ? A) 在区间[m,n]上恰好成立 ? f ( x) ? A ( f ( x) ? A) 的解集是
[m,n]. 4. 一元高次不等式的解法:穿针引线法 5. 将分式不等式转化为整式不等式的解法: (1)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ? 0(? 0) ? f ( x) g ( x) ? 0(? 0) ? ? 或? g ( x) g ( x ) ? 0 ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ?0?? ?? 或? g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0
f ( x) f ( x) ?0或 ? 0 ,有类似于上面的讨论) g ( x) g ( x)

(2)

(对于

6. 绝对值不等式的解法: (1) | f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x), (2) | f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或 f ( x) ? ? g ( x)

三、基本不等式及其简单的应用
1. 两个基本不等式
第 3 页 版权所有 不得复制

(1) a 2 ? b 2 ? 2ab, (a, b ? R ? ) , (当且仅当 a=b 时等号成立). (2)

a?b ? ab , (a, b ? R ? ) ,(当且仅当 a=b 时等号成立). 2

由上述的两个基本不等式得:

? a2 ? b2 ab ? ? ? 2 a 2 ? b 2 ? 2ab, (a, b ? R ? ) ? ? , 2 2 ?( a ? b ) 2 ? a ? b ? 2 ? 2 a?b 2 a ? b ? 2 ab ? ab ? ( ) 2
2 a?b 不等式链: ? ab ? ? 1 1 2 ? a b
2. 基本不等式的应用: (1)若 x+y=P(P 为定值,x,y ? R ? ) ? xy ? ( 和定积大) (2)若 xy=S(S 为定值,x,y ? R ? ) ? x ? y ? 2 xy ? 2 S , (当 x=y 时取等号, 积定和小) 3. 利用基本不等式 等

a2 ? b2 2

x ? y 2 P2 ) ? , (当 x=y 时取等号, 2 4

a?b ? 2 ab , (a, b ? R ? ) 求最值应注意三点:一正、二定、三相 2

四、简单不等式证明的常用方法
1. 综合法;2. 分析法;3. 反证法;4. 数学归纳法(理)

五、二元一次不等式组的平面区域及其简单的应用

例 1. (不等式的概念及性质) 1. 下列四个不等式: (1) a ? 0 ? b , (2)b ? a ? 0 , (3)b ? 0 ? a , (4) 0 ? b ? a 其中能使

1 1 ? 成立的充分条件是____________. a b
) B. | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c | D.

2. 设 a,b,c 是互不相等的正数,下列不等式不恒成立的是(

1 1 ?a? 2 a a 1 ?2 C. | a ? b | ? a?b
2 A. a ?

a ? 3 ? a ?1 ? a ? 2 ? a

第 4 页 版权所有

不得复制

3. 已知 a,b,c,d 是实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( A. 充分不必要 思路分析: B. 必要不充分 C. 充要

)条件

D. 既不充要也不必要

1. 本题主要考查不等式的概念与性质:解答此小题时,逐一验证由(1) (2) (3) (4) 能否推出

1 1 ? 即可. a b

2. 对四个选项逐一进行验证.可采用“特值法”判断. 3. 在 c>d 的前提下, 验证 a ? c ? a ? c ? b ? d,或a - c ? b - d ? a ? c 是否成立即 可. 解题过程: 1. 显然 b ? 0 ? a ,即 a>0,b<0 时,
2

1 1 1 1 ? 不成立,故(1) (2) (4)都能推出 ? . a b a b

1 1 1 1 (a ? 1) 2 (a 2 ? a ? 1) 2 ? 0 恒成立 2. A: a ? 2 ? (a ? ) ? (a ? ) ? ( 2 ? a) ? a a a a a2 B: | a ? b |?| (a ? c) ? (b ? c) |?| a ? c | ? | b ? c | 恒成立.
C:当 a-b<0 时,不等式不恒成立,注意基本不等式成立的条件: a ? b ? 2 ab 成立 时 a,b 均为正数. D 是恒成立的,可用分析法证明.故选 C. 3. 在 c>d 的 前 提 下 , a>b 不 能 推 出 a - c>b - d , 但 由 a - c>b - d 可 以 推 出 a>b. c ? d ? ?c ? ?d , a ? b 由同向不等式相加得: a ? c ? b ? d ,故选 B. 解题后的思考: 新课标高考对不等式的概念和性质的考查以基础知识为主, 考查的题型多为 选择与填空题.掌握不等式的概念和性质是解决此类问题的关键 .在解决问题的过程中应注 意数学方法的应用,如可用不等式的性质直接解决,也可用特值法、比较法等通过否定加以 解决.注意不等式: | a | ? | b |?| a ? b |? | a | ? | b | 对 a, b ? R 是恒成立的.特别要注意等号成 立的条件. 例 2. (不等式的解法) 已知三个不等式:① 2x ? 4 ? 5 ? x ②

x?2 ?1 x ? 3x ? 2
2

2 ③ 2x ? m x?1 ? 0

(1)若同时满足①、②的 x 值也满足③,求 m 的取值范围; (2)若满足③的 x 值至少满足①和②中的一个,求 m 的取值范围 思路分析: 本题主要综合考查整式、 分式不等式和含绝对值不等式的解法, 以及数形结合思想的运 用,解答本题的关键是弄清同时满足①、②的 x 值也满足③的充要条件是:③对应的方程的 两个根分别在区间 ?? ?,0? 和 ?3,??) 内.不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分 的内在联系,在解决问题的过程中,要适时地联系它们之间的内在关系. 解题过程: 记①的解集为 A,②的解集为 B,③的解集为 C.

, ? A ? B ? ?0,1? ? ?2,3? 解①得 A=(-1,3) ;解②得 B= ?0,1? ? ?2,4?
第 5 页 版权所有 不得复制

(1)因同时满足①、②的 x 值也满足③,∴A ? B ? C 设 f ( x) ? 2x 2 ? mx ? 1 ,由 f ( x) 的图象可知:方程的小根小于 0,大根大于或等于 3 时,即可满足 A ? B ? C ? ?

(2)因满足③的 x 值至少满足①和②中的一个,?C ? A ? B, 而A ? B ? (?1,4 ? 因 此 C ? ?? 1,4? ∴方程 2 x ? mx ? 1 ? 0 的小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,因而有
2

? f (0) ? 0 ?? 1 ? 0 17 即? ?m ? ? . 3 ? f (3) ? 0 ?3m ? 17 ? 0

? ? f (?1) ? 1 ? m ? 0 ? 31 ? ? f (4) ? 4m ? 31 ? 0,解之得 ? ? m ? 1 4 ? m ? ?1 ? ? ? 4 ? 4 ?
解题后的思考: 对于整式、 分式不等式和含绝对值不等式的解法要熟练地掌握其基本思想, 在运算过程 中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解 其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 例 3. (线性规划、基本不等式及其应用) 1. 若不等式 x ? 则 a 的最小值是___________. y ? a x ? y , ( x ? 0, y ? 0) 恒成立,

2 2. 已知方程 x ? ax ? 2b ? 0 的两个根分别在(0,1)和(1,2)内,则 a 2 ? (b ? 4) 2 的

取值范围是__________________. 思路分析: 1. 分离参数 a ?

x? y x? y

,利用基本不等式的性质求

x? y x? y

的最大值.

2. 根据已知探求 a,b 的不等关系表示的平面区域.再求目标函数 a 2 ? (b ? 4) 2 的取值 范围. 解题过程: 1.

x ? y ? a x ? y , ( x ? 0, y ? 0) 恒成立 ? a ?
x? y x? y ) max.

x? y x? y

恒成立 ? a ? (

u?

x? y x? y

? (

x? y x? y

)2 ?

x ? y ? 2 xy 2 xy ? 1? x? y x? y
2 xy 2 xy ? 1 ? 1? ? 2 x? y x? y

等号成立,? ? x ? 0, y ? 0,? x ? y ? 2 xy , ( x ? y) 故u ?

2 ,? a ? 2 ,即 a 的最小值是 2
第 6 页 版权所有 不得复制

? f ( 0) ? 0 ?b ? 0 ? ? 2. 由题意: ? f (1) ? 0 ? ?a ? 2b ? ?1 ,以 a 为横坐标,b 为纵坐标,画出不等式组 ? f ( 2) ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ? ?
表示的平面区域(如图).A(-3,1) ,B(-2,0) ,C(-1,0).

a 2 ? (b ? 4) 2 的几何意义是定点 P(0,4)到区域内点的距离的平方.定点 P 到直线 AC
的距离最小,到 B 点的距离最大.定点 P 到直线 AC 的距离 d ? B 点的距离的平方为 20.? 解题后的思考: 对于基本不等式的使用要注意应用的条件(一正、二定、三相等) ,利用平面区域求目 标函数最值问题时,要准确画出平面区域(如:要分清区域的边界是实线还是虚线) ,非线 性目标函数的最值问题在新课标高考试题中出现较多.要会将其转化为距离问题、斜率问题 等. 例 4. (恒成立、能成立、恰好成立的问题) 已知两个函数 f ( x) ? 8x ? 16x ? k , g ( x) ? 2 x ? 5x ? 4 x ,其中 k 为实数.
2 3 2

9 5

? d2 ?

81 ,定点 P 到 5

81 ? a 2 ? (b ? 4) 2 ? 20 . 5

(I)若对任意的 x1 , x2 ? [?3,3] 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 k 的取值范围. (II)若对任意的 x1 ? [?3,3] ,总存在 x0 ? [?3,3] 使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) ,求 k 的取值 范围. 思路分析: ( I)对任意的 x1 , x2 ? [?3,3] 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立 ? f ( x) max ? g ( x) min 恒成立. 由此建立关于 k 的不等式. (II)设函数 f(x)的值域是 A,g(x)的值域是 B,则由已知 ? A ? B . 解题过程: (I) f ( x) ? 16( x ? 1) ? 0 ? x ? ?1 ,函数 f(x)的最值必在 x=-1 或 x=3 或 x=-3 处
'

取得.由于 f(-1)= -8-k

f(-3)=24-k

f(3)=120-k

? f ( x) max ? max{f (?1), f (3), f (?3)}= 120 ? k
' 2 由 g ( x) ? 6 x ? 10 x ? 4 ? 0 ? x ? ?1, x ? ?

2 , 3

第 7 页 版权所有

不得复制

2 28 ? g (?1) ? ?1, g (? ) ? ? , g (?3) ? ?21, g (3) ? 111 3 27 2 ? g ( x) min ? min{g (?1), g (? ), g (?3), g (3)} ? ?21 3 ∴ 120 ? k ? ?21 ? k ? 141 ,故 k 的取值范围是 [141 ,??)
(II)设函数 f(x)的值域是 A,g(x)的值域是 B,由第(I)问知:A=[-k-8,-k+120] B=[-21,111] 由 A ? B 得: ? 解题后的思考: 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各 自的区别. 能成立是指部分成立的问题, 要注意处理的方法 (如本题的第二问, 不能误认为 B ? A ) . 在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法:先求出函数在导数为零的点、不可导点、 闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就 是函数的最小值.也可简化运算(如本题的解题方法) 例 5. (不等式与函数的综合问题)

?? k ? 8 ? ?21 ? 9 ? k ? 13 ,故 k 的取值范围是[9,13] ?? k ? 120 ? 111

a ? b, ( x ? 0, a, b ? R) x (I)讨论函数 f ( x) 的单调性.
已知 f ( x) ? x ? (II) 若对任意的 a ? [ , 2] 不等式 f ( x) ? 10 在区间 [ ,1] 上恒成立, 求 b 的取值范围. 思路分析: (I)求 f ' ( x) ,讨论参数 a,判断 f ' ( x) 的符号. (II)对任意的 a ? [ , 2] 不等式 f ( x) ? 10 在区间 [ ,1] 上恒成立 ? f ( x) max ? 10 , 由此建立关于 a,b 的不等式组,再根据 a 的取值范围求 b 的取值范围. 解题过程:
' (I) f ( x ) ? 1 ?

1 2

1 4

1 2

1 4

a , 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , 故此时函数的增区间是 (??,0), (0,??) 2 x

当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ?

( x ? a )(x ? a ) ? 0 ? x ? a, x ? ? a ; x2
'

当 x ? (??,? a )时,f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? (? a ,0) 或 x ? (0, a ) 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? ( a ,??) 时, f ( x) ? 0
'

故函数 f ( x) 在区间 (??,? a ), ( a ,??) 上递增,在区间 (? a ,0), (0, a ) 上递减. (注意:函数的定义域,x=0 是不可导点) (II)由(I)知: f ( x) 在闭区间 [ ,1] 上的最大值是 f ( ), f (1) 中的较大者对任意的
第 8 页 版权所有 不得复制

1 4

1 4

? 1 1 1 ? f ( ) ? 10 a ? [ ,2] 不等式 f ( x) ? 10 在区间 [ ,1] 上恒成立 ? f ( x) max ? 10 ? ? 4 2 4 ? ? f (1) ? 10
39 ? ? 4a 1 ?b ? 对任意的 a ? [ , 2] 恒成立 ?? 4 2 ? ?b ? 9 ? a

39 39 ? ? ? 4? 2 7 ?b ? ( ? 4a) min ?b ? ?b? , ?? ?? 4 4 4 ? ? ?b ? 9 ? 2 ?b ? (9 ? a) min
故 b 的取值范围是 (?? , ] 解题后的思考: 不等式与函数的综合问题是新课标高考常见的题型,常与求导数、最值、参数的取值范 围等内容联系在一起考查, 解答恒成立的问题可转化为利用导数求函数的最值问题, 求参数 的取值范围问题可采用分离参数法或利用恒成立问题来解决. 例 6. (不等式与数列的综合问题) 数列 {an } 满足 a1=1,且 a n ?1 ? (1 ? (Ⅰ)证明: an ? 2(n ? 2) ; (Ⅱ)已知不等式 ln ( 1 ? x) ? x 对于 x ? 0 成立 . 证明: an ? e 2 (n ? 1) . 其中无理数 e=2.71828?. 思路分析: (I)利用数学归纳法证明即可. (II)根据 an ? 2 ,采用“放缩法”得:

7 4

1 1 )a n ? n (n ? 1) . n ?n 2
2

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? 2 ? n )a n (n ? 1) 取自然对数, 由已知不等 n ?n 2 n ?n 2 式 ln(1 ? x) ? x 对于 x ? 0 成立进行证明. 0 ? a n ?1 ? (1 ?
2

解题过程: (Ⅰ) (1)当 n=2 时, a n ? a 2 ? (1 ? )a1 ?

1 2

1 ? 2; 2

(2)假设 n ? k ? 2 时,不等式成立,即 ak ? 2 ,则

a k ?1 ? (1 ?

1 1 )a k ? k ? a k ? 2 ,即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. k ?k 2
2

综合(1) (2) ,得 an ? 2(n ? 2) . (Ⅱ)∵ an ? 2(n ? 2)? ,? a
1

? 1,

第 9 页 版权所有

不得复制

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? 2 ? n )a n (n ? 1) , n ?n 2 n ?n 2 取自然对数,得:当 n ? 1 时,
∴ 0 ? a n ?1 ? (1 ?
2

ln a n ?1 ? ln a n ? ln(1 ?
n ?1

1 1 1 1 1 ? n)?( ? )? n , n n ?1 2 n ?n 2
2



n ?1 1 1 1 (ln a ? ln a ) ? [( ? ) ? ( )i ] ? ? i ?1 i i i ?1 2 i ?1 i ?1

即 ln a n ? ln a1 ? 1 ?

1 1 1 ? 2( ? n ) ? 2 , n 2 2

∵ ln a1 ? ln 1 ? 0 ,∴ an ? e 2 (n ? 1) 成立. 解题后的思考: 新课标高考考查不等式的证明问题常出现在函数、 数列等大题的某一问中, 要根据已知 条件选择适宜的方法加以证明, 比较法、 综合法、 分析法、 反证法、 放缩法、 数学归纳法 (理 科) 是证明不等式常用的方法, 特别是关于正整数 n 的不等式的证明要首先考虑利用数学归 纳法证明.

新课标高考对不等式知识的考查比大纲版高考考查的难度降低很多, 主要考查基础知识 及其灵活运用, 更多的体现在对处理不等式问题时运用的数学思想和方法的考查, 因此在第 二轮复习时, 同学们除了不能忽视基础知识外, 更重要的是加强数学思想和数学方法在解决 不等式问题中的应用方面的训练.不等式这部分知识,渗透在中学数学的各个分支中,有着 十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性及灵活多样性.在解决问题时, 诸 如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、 复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许 多问题最终都可归结为不等式的求解或证明.

(答题时间:60 分钟)
一、选择题 1. 方程 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ? 0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 ( ) A. m ? ?

1 4

B. m ? ?

1 4

C. m ?

1 4

D. m ? ? )

1 且m ? 0 4

2. 若 0 ? a ? 1 ,则不等式 (a ? x)( x ? A. a ? x ?

1 a

B.

1 ?x?a a

1 ) ? 0 的解是( a 1 C. x ? 或 x ? a a

D. x ?

1 或x?a a


a b 3. 设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则

1 1 ? 的最小值为( a b

第 10 页 版权所有

不得复制

A. 8

B. 4

C. 1

D.

1 4


4. 已知非负实数 x ,y 满足 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 且 3x ? 2 y ? 7 ? 0 , 则 x ? y 的最大值是 ( A.

7 3

B.

8 3

C. 2

D. 3

5. 已知 D 是由不等式组 ? 的弧长为( A. ) B.

?x ? 2 y ? 0 所确定的平面区域,则圆 x2 ? y 2 ? 4 在区域 D 内 ?x ? 3y ? 0
C.

? 4

? 2

3? 4

D.

3? 2
) )

6. 已知命题 p: 函数 y ? log0.5 ( x 2 ? 2x ? a) 的值域为 R, 命题 q: 函数 y ? ?(5 ? 2a) x 是减函数.若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,则实数 a 的取值范围是( A. a≤1 B. a<2 C. 1<a<2
2

D. a≤1 或 a≥2

7. 不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 ( A. (??, ?1] [4, ??) C. [1, 2] 二、填空题 B. (??, ?2] [5, ??) D. (??,1] [2, ??)

1 2 ② b ? 0 ;③ c ? 0 ;④ a ? b ? c ? 0 ;⑤ a ? b ? c ? 0 .其中正确的有_______.
9. 不等式 2x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 10. 若关于 x 的不等式 .

8. 已知不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 (? , 2) ,对于 a, b, c 有以下结论:① a ? 0 ;

x?a ? 0 的解集为 ( ? ?, ?1) ( 4, ?? ) ,则实数 a ? x ?1 3 11. 若不等式 x ? ax ? 的解集为 (4, b) ,则实数 b 的值为______. 2
三、计算题 12. 设 a ? 0 ,若 ax 2 ? 2 x ? 2a ? 0 的解集为 A, B ? ?x |1 ? x ? 3? , A 的取值范围.



B ? ? ,求实数 a

第 11 页 版权所有

不得复制

13. 已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意 x1、x2 都满足 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 当 x>0 时 f(x)>0 且 f(2)=3. (1)判断 f(x)的奇偶性和单调性; (2)当 ? ? [0,

?
2

] , f (cos2? ? 3) ? f (4m ? 2m cos? ) ? 0 对所有 ? 均成立,求实

数 m 的取值范围.

14. 已知数列 ?an ? ?bn ?中, 的通项为an , 前n项和为S n , 且an 是S n与2的等差中项,数列 b1=1,点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上. (Ⅰ)求数列 ?an ?? 、 bn ? 的通项公式 an , bn (Ⅱ)设 ?bn ?的前 n 项和为 Bn, 试比较 (Ⅲ)设 Tn=

1 1 1 ? ? ... ? 与2的大小 . B1 B2 Bn

b b1 b2 ? ? ... ? n , 若对一切正整数 n, Tn ? c(c ? Z )恒成立, 求c的最小值 a1 a2 an

第 12 页 版权所有

不得复制

一、选择题
2 2 1. D 解析:由已知得 m 不等于零,且 ? ? (2m ? 1) ? 4m ? 0 ? m ? ?

1 4

2. A 解析: (a ? x)( x ? (A).

1 1 1 ) ? 0 ? ( x ? a )( x ? ) ? 0 ,由 0<a<1 知: ? a ,故选 a a a

3. B 解析:因为 3a ? 3b ? 3 ,所以 a ? b ? 1 ,

1 1 1 1 b a b a ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 , a b a b a b a b
b a 1 ? 即 a ? b ? 时“=”成立,故选 B a b 2 4. D 解析:由已知的不等式相加得: x ? y ? 3 或利用线性规划知识加以解决.
当且仅当 5. B 解析:图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求,由题目易知图中两直线的斜

1 1 | ? (? ) | 1 1 3 率分别是 , ? ,所以圆心角 ? 即为两直线所成的夹角,所以 tan ? ? 2 ?1, 1 1 2 3 1? | ( ? ? ) | 2 3 ? ? 所以 ? ? ,而圆的半径是 2,所以弧长是 ,故选 B. 4 2

6. C

解析:命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数

x 2 ? 2 x ? a 的判别式 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,从而 a ? 1 ;命题 q 为真时, 5 ? 2a ? 1 ? a ? 2 .
若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,故 p 和 q 中只有一个是真命题,另一 个是假命题. 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选 C. 7. A 解析: 因为 ?4 ?| x ? 3| ? | x ?1|? 4 对|x ? 3| ? | x ?1|? a ? 3 a 对任意 x 恒成立,
2

所以 a ? 3a ? 4,即a ? 3a ? 0,解得a ? 4或a ? ?1
2 2

二、填空题 8. ③⑤ 9. {x | ?1 ? x ? 1}
第 13 页 版权所有 不得复制

?1 ?x ? 2 ? ?x?2 解析:原不等式等价于不等式组① ? 或② ? 2 (x ? 2)<0 ?2 x ? 1 ? ? (x ? 2)<0 ?2 x ? 1 ? 1 ? 1 ?x ? 或③ ? ,解得不等式组①无解,由②得 ? x ?1 ,由③得 2 2 ? )( ? x? ) 2 <0 ??( 2x ? 1 1 ?1 ? x ? ,综上得 ?1 ? x ? 1 ,所以原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 1} . 2
10. 4 解析:原不等式等价于 ( x ? 1)( x ? a) ? 0 ,因其解集为 ( ? ?, ?1) 程 ( x ? 1)( x ? a) ? 0 的两根为-1 和 4,故 a ? 4 . 11. 36
2 解析:令 x ? t ,因为 x ? (4, b) ,所以, t ? (2, b ) ,原不等式可以化为 at ? t ?

( 4, ?? ) ,所以,方

3 ? 0 ,其 2

1 ? 2? b ? ? 3 ? a 2 解 集 为 (2, b ), 所 以 , 2 和 b 是 方 程 at ? t ? ? 0 的 两 个 根 , 故 ? ,解得 2 ?2 ? b ? 3 ? 2a ?
b ? 36
三、计算题 12. 解:由 ax 2 ? 2 x ? 2a ? 0 解得其两根为 x1 ? 由此可知 x1 ? 0, x2 ? 0 (ⅰ)当 a ? 0 时, A ? {x | x ? x1} ? {x | x ? x2 } , A ? B ? ? 的充要条件是 x2 ? 3 . 即

1 1 1 1 ? 2 ? 2 , x2 ? ? 2 ? 2 , a a a a

6 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ,解得 a ? ; a a 7
1 1 ? 2 ? 2 ? 1,解得 a ? ?2 .综上, a a

(ⅱ)当 a ? 0 时, A ? {x | x1 ? x ? x2 } , A ? B ? ? 的充要条件是 x2 ? 1 , 即

使 A ? B ? ? 成立的 a 的取值范围为 (??, ?2) ? ( , ??) . 13. 解: (1)令 x1 ? x2 ? 0 ,f(0)=f(0)+f(0) ,∴f(0)=0, 令 x1 ? ? x, x2 ? x ,∴f(0)=f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x) , 又 f(x)的定义域为 R,∴f(x)是奇函数. 令 x1<x2,∴x1-x2>0,∴ f ( x2 ? x1 ) ? 0 ,而

6 7

f ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0,? f ( x2 ) ? f ( x1 )
∴f(x)是增函数. (2)∵f(x)在 R 上是增函数,且为奇函数,
第 14 页 版权所有 不得复制

由 f (cos2? ? 3) ? f (4m ? 2m cos? ) ? 0 得: f (cos2? ? 3) ? f (2m cos? ? 4m) ∴cos2 ? -3>2mcos ? –4m, ? ? [0, 整理得 : m ?

?
2

]

3 ? (2 cos2 ? ? 1) 3 ? cos 2? ? 4 ? 2 cos ? 4 ? 2 cos?

?m ?

2 ? cos2 ? , 2 ? cos?

2 ? cos2 ? 2 ? ?[(2 ? cos? ) ? ] +4 ? 4 ? 2 2 2 ? cos? 2 ? cos? 2 ? cos ? ? 2 ? 2 时等号成立.) (当且仅当 2 ? cos ? ? 2 ? cos ?
设 g (? ) ?

?m ? 4 ? 2 2
14. 解: (Ⅰ) an ? 2n , bn ? 2n ? 1 (Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 B 1 B2 Bn 1 2 3 n

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 2 3 n ?1 n 1 1 1 1 ? 2 ? ? 2. ? ? ? ... ? ?2 n B 1 B2 Bn
1 3 5 2n ?1 ? 2 ? 2 ? ... ? n ① 2 2 2 2

(Ⅲ)Tn=

1 1 3 5 2 n ?1 T n ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 ② 2 2 2 2 2
①-②得 Tn ?

1 2

1 1 1 2 2 2 n ?1 ? 2 ? 3 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2

2 n ?1 ?3 2 n?2 2n 1 3 4 7 37 ?2 又 T4 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 16 2 2 ? Tn ? 3 ? 1 ?
? 满足条件Tn ? c的最小整数值 c ? 3.

第 15 页 版权所有

不得复制


推荐相关:

春季高考二轮复习--《方程与不等式》

春季高考二轮复习--《方程与不等式》_数学_高中教育_教育专区。第二章《方程与不等式》单元测试题 一、选择题: 1、集合 {x | ?2 ? x ? 3} 用区间表示...


高考专题解读——函数、导数、方程与不等式

、本专题高考试题的特点分析 1.以“三个二次”为纽带,在函数、导数、方程不等式、数列、圆锥曲线等知识 交汇处命题,考查分析问题、解决问题的能力. 2.函数...


高考春季专题——函数问题题型与方法1

高考春季专题——函数问题题型与方法1_数学_高中教育...nx ? r 为关于 x 的一元二次方程,利用 ? ? ...要注意:函数的定义域。 不等式法:利用基本不等式 ...


高考春季专题——函数问题题型与方法1

高考春季专题——函数问题题型与方法1_数学_高中教育...nx ? r 为关于 x 的一元二次方程,利用 ? ? ...要注意:函数的定义域。 不等式法:利用基本不等式 ...


2015高考数学专题-不等式1

2015高考数学专题-不等式1_高考_高中教育_教育专区。...50 【答案】B 【命题立意】本题考查函数的简单...(1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的...


高三理科数学专题复习 函数方程不等式

高三理科数学专题复习 函数方程不等式_理化生_高中教育_教育专区。高中数学总复习...高中数学总复习 第二讲 函数部分 第一部分 函数、基本初等函数的图像与性质 1...


【2015高考三模数学汇编】专题2 不等式、函数与导数第3讲 函数与方程及函数的应用(理卷B)

专题 2 不等式、函数与导数 第3讲 函数与方程及函数的应用(B 卷) 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) ?2 x , x ? 0, 1. (2015· 青岛市高三自主...


沪教版高三数学分类讨论专题复习——函数、方程与不等式的分类情形

沪教版高三数学分类讨论专题复习——函数方程与不等式的分类情形_高三数学_...0 和 q ? 1 两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型. (3)解含有参数的...


高考第二轮专题复习——3函数与方程及函数的实际应用

高考第二轮专题复习——3函数与方程及函数的实际应用_数学_高中教育_教育专区。...?a=0 -z 取得最大值,即-zmax=1,即 z≥-1.又不等式组的区域不包括边界...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com