4.1.1圆的标准方程

高二数学必修 2 sx-16-02-026 不良的习惯会随时阻碍你走向成名、获利和享乐的路上去。--莎士比亚

《4.1.1 圆的标准方程》
编写：赵刚 审稿人：高二数学组 班级 【学习目标】: 组别 组名

导学案

编写时间：2016 年 8 月 4 日 姓名

1. 能理解圆的标准方程相关概念，能根据圆心、半径写出圆的标准方程； 2. 会用待定系数法求圆的标准方程. 【学习重、难点】 学习重点: 掌握圆的标准方程 学习难点：会求圆的标准方程 【学法指导及要求】: 1、认真研读教材 P118---P120 页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道 习题，不会的先绕过，做好记号； 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理到解错题 本上，多复习记忆。 【知识链接】 1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素 又是什么呢？

2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是 否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

【学习过程】

※ 学习探究
新知：圆心为 A(a, b) ，半径为 r 的圆的方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 叫做圆的标准方程. 特殊： 若圆心为坐标原点， 这时 a ? b ? 0 ， 则圆的方程就是 x2 ? y 2 ? r 2
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成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成

探究：确定圆的标准方程的基本要素？

※ 典型例题
例 写出圆心为 A(2, ?3) ， 半径长为 5 的圆的方程， 并判断点 M1 (5, ?7), M 2 (? 5, ?1) 是否在这个圆 上.

小结：点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法： ⑴ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ，点在圆外； ⑵ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ，点在圆上； ⑶ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ，点在圆内. 变式: ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3) C (2, ?8) ，求它的外接圆的方程

反思： 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法， 即列出关于 a , b, r 的方程组， 求 a , b, r 或直接求出圆心 (a, b) 和半径 r . 2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ；（2） 根据已知条件，建立关于 a , b, r 的方程组； （3）解方程组，求出 a , b, r 的值，并代入所设的方程， 得到圆的方程. 第 2 页 共 4 页

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成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成

例 2 已知圆 C 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求此圆的标准方程.

※ 动手试试 练 1. 已知圆经过点 P(5,1) ，圆心在点 C (8, ?3) 的圆的标准方程.

练 2.求以 C (1,3) 为圆心，并且和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程

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※ 学习小结
一．方法规纳 ⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径. ⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系. ⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度. 二．圆的标准方程的两种求法： ⑴根据题设条件，列出关于 a、b、r 的方程组，解方程组得到 a、b、r 得值，写出圆的标准方 程. ⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方 程.

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※ 当堂检测
1. 已知 A(2, 4), B(?4,0) ，则以 AB 为直径的圆的方程（

）.

A． ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 52 B． ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 52
2 2 2 2

C． ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 52 D． ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 52
2. 点 P(m2 ,5) 与圆的 x2 ? y 2 ? 24 的位置关系是（

）. ）.

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
3. 圆心在直线 x ? 2 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) ，则圆 C 的方程为（

A． ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 B． ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 C． ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 D． ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25
4. 圆关于 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 关于原点 (0, 0) 对称的圆的方程 5. 过点 A(2, 4) 向圆 x2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程

.

课后作业
1. 已知圆的圆心在直线 2 x ? y ? 0 上，且与直线 x ? y ? 1 ? 0 切于点 (2, ?1) ，求圆的标准方程.

2. 已知圆 x2 ? y 2 ? 25 求：⑴过点 A(4, ?3) 的切线方程. ⑵过点 B(?5, 2) 的切线方程
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【学习反思】:

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