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必修四 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)


必修四 1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
一、选择题
π π? 1、设函数 f(x)=2sin? ?2x+5?,若对于任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为( A.4 B.2 C.1 1 D. 2 )

2、函数 y=sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,0≤φ<2

π)的部分图象如图所示,则(

)

π π A.ω= ,φ= 2 4 π π B.ω= ,φ= 3 6 π π C.ω= ,φ= 4 4 π 5π D.ω= ,φ= 4 4

3、已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的部分图象如图所示,则(

π

)

π A.ω=1,φ= 6 π B.ω=1,φ=- 6 π C.ω=2,φ= 6 π D.ω=2,φ=- 6

4、下列函数中,图象的一部分如下图所示的是(

)

π? A.y=sin? ?x+6? π 2x- ? B.y=sin? 6? ? π? C.y=cos? ?4x-3? π? D.y=cos? ?2x-6?

π π ? 5、已知简谐运动 f(x)=2sin? ?3x+φ?(|φ|<2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别 为( ) π B.T=6,φ= 3 π D.T=6π,φ= 3 π A.T=6,φ= 6 π C.T=6π,φ= 6

6、函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)为偶函数的条件是(
π A.φ= +2kπ (k∈Z) 2 C.φ=2kπ (k∈Z) π B.φ= +kπ (k∈Z) 2 D.φ=kπ(k∈Z)

)

7、如果函数 y=sin 2x+acos 2x 的图象关于直线 x=-8对称,那么 a 等于(
A. 2 B.- 2 C.1 D.-1

π

)

8、右图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间[-6, 6 ]上的图象.为了得到这个函数的图象,只要将 y=sin
x(x∈R)的图象上所有的点( )

π 5π

π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6

二、填空题
π? 9、关于 f(x)=4sin? ?2x+3? (x∈R),有下列命题 ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 是 π 的整数倍; π 2x- ?; ②y=f(x)的表达式可改写成 y=4cos? 6? ? π ? ③y=f(x)图象关于? ?-6,0?对称; π ④y=f(x)图象关于 x=- 对称. 6 其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上).

10、 函数 y=sin 2x 的图象向右平移 φ 个单位(φ>0)得到的图象恰好关于 x= 对称, 则 φ 的最小值是________. 6

π

11、已知函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,-π≤φ<π)的图象如下图所示,则 φ=________.

π? 1 12、函数 y=2sin? ?2x-6?与 y 轴最近的对称轴方程是__________.

三、解答题
π ? 13、已知曲线 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为? ?8, 2?,此点到相邻最低点间的曲线 3 ? ? π π? 与 x 轴交于点? ?8π,0?,若 φ∈?-2,2?. (1)试求这条曲线的函数表达式; (2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.

3π ? 14、已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M? ? 4 ,0?对称,且在区间

?0,π?上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. ? 2?

以下是答案 一、选择题 1、B [对任意 x∈R,f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立.
∴f(x1)=f(x)min=-2,f(x2)=f(x)max=2. T 1 2π ∴|x1-x2|min= = × =2.] 2 2 π 2 π ? ?ω=4 ?ω×1+φ=2 2、C [由? ,解得? π ? ?ω×3+φ=π ?φ=4 T 7π π π π .]

3、D [由图象知4=12-3=4,∴T=π,ω=2.且 2×12+φ=kπ+π(k∈Z),φ=kπ-6(k∈Z).
π π 又|φ|< ,∴φ=- .] 2 6 π π? 2π π 4、D [由图知 T=4×? ?12+6?=π,∴ω= T =2.又 x=12时,y=1.]



π

5、A [T= ω = π =6,代入(0,1)点得 sin φ=2.∵-2<φ<2,∴φ=6.]
3

2π 2π

1

π

π

π

6、B 7、D [方法一 ∵函数 y=sin 2x+acos 2x 的图象关于 x=-8对称,
π? 设 f(x)=sin 2x+acos 2x,则 f? ?-4?=f(0) π? ? π? ∴sin? ?-2?+acos?-2?=sin 0+acos 0.∴a=-1. π ? ? π ? 方法二 由题意得 f? ?-8-x?=f?-8+x?, π? π 令 x= ,有 f? ?-4?=f(0),即-1=a.] 8 π

8、A [由图象可知 A=1,T= 6 -(-6)=π,∴ω= T =2.
π 2π 2π ∵图象过点( ,0),∴sin( +φ)=0,∴ +φ=π+2kπ,k∈Z, 3 3 3 π π π ∴φ= +2kπ,k∈Z.∴y=sin(2x+ +2kπ)=sin(2x+ ). 3 3 3 π 1 故将函数 y=sin x 先向左平移 个单位长度后,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍, 3 2 纵坐标不变,可得原函数的图象.]



π



二、填空题 9、②③
π 解析 对于①,由 f(x)=0,可得 2x+ =kπ (k∈Z). 3 k π π ∴x= π- ,∴x1-x2 是 的整数倍,∴①错; 2 6 2 π ? 对于②,f(x)=4sin? ?2x+3?利用公式得: π π π 2x+ ??=4cos?2x- ?. f(x)=4cos?2-? 3 ? ? 6? ? ? ? ∴②对; π? π 对于③,f(x)=4sin? ?2x+3?的对称中心满足 2x+3=kπ, k π ∴x= π- , 2 6 π ? ∴? ?-6,0?是函数 y=f(x)的一个对称中心.∴③对; π π 对于④,函数 y=f(x)的对称轴满足 2x+ = +kπ, 3 2 π kπ ∴x= + .∴④错. 12 2

10、12



解析 y=sin 2x 向右平移 φ 个单位得 f(x)=sin 2(x-φ)=sin(2x-2φ). π? ?π ? 1, 由 f? ?6?=sin?3-2φ?=± π π ∴ -2φ=kπ+ (k∈Z), 3 2

π 5 ∴2φ=-kπ- ,令 k=-1,得 2φ= π, 6 6 π 5 π 5 - ?= π. ∴φ= π 或作出 y=sin 2x 的图象观察易知 φ= -? 4 ? ? 12 6 12

11、10



解析 由图象知函数 y=sin(ωx+φ)的周期为 3π? 5π 2π 5π 4 2? ?2π- 4 ?= 2 ,∴ ω = 2 ,∴ω=5. 3 ∵当 x= π 时,y 有最小值-1, 4 4 3π π ∴ × +φ=2kπ- (k∈Z). 5 4 2 9π ∵-π≤φ<π,∴φ= . 10

12、x=-6

π

π π kπ π π π 解析 令 2x- =kπ+ (k∈Z),∴x= + (k∈Z).由 k=0,得 x= ;由 k=-1,得 x=- . 6 2 2 3 3 6

三、解答题
3 π? 13、解 (1)由题意知 A= 2,T=4×? ?8π-8?=π, 2π ω= =2,∴y= 2sin(2x+φ). T π π π ? 又∵sin? ?8×2+φ?=1,∴4+φ=2kπ+2,k∈Z, π ∴φ=2kπ+ ,k∈Z, 4 π π? π 又∵φ∈? ?-2,2?,∴φ=4. π? ∴y= 2sin? ?2x+4? (2)列出 x、y 的对应值表: π π x - 8 8 π π 0 2x+ 4 2 y 0 2 描点,连线,如图所示:

3 π 8 π 0

5 π 8 3 π 2 - 2

7 π 8 2π 0

14、解 ∵f(x)在 R 上是偶函数,
∴当 x=0 时,f(x)取得最大值或最小值. π π 即 sin φ=± 1,得 φ=kπ+ ,k∈Z,又 0≤φ≤π,∴φ= . 2 2

3 π? 4 2 ? ?3 由图象关于 M? ?4π,0?对称可知,sin?4πω+2?=0,解得 ω=3k-3,k∈Z. π 2π 0, ?上单调函数,所以 T≥π,即 ≥π, 又 f(x)在? ? 2? ω ∴ω≤2,又 ω>0, 2 ∴当 k=1 时,ω= ;当 k=2 时,ω=2. 3


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