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高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.4知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积

一、学习任务 了解平面向量数量积的含义及其物理意义;掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运 算;能利用数量积表示两个向量夹角的余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直. 二、知识清单
平面向量的坐标运算 平面向量的数量积与垂直

三、知识讲解
1.平面向量的坐标运算 描述: 向量的直角坐标运算

设 a = (a1 , a2 ) , b = (b 1 , b 2 ) ,则





→ → a + b = ( a1 + b 1 , a2 + b 2 ) . → → a ? b = ( a1 ? b 1 , a2 ? b 2 ) . → λ a = λ(a1 , a2 ) = (λa1 , λa2 ) .
平面向量共线的坐标表示

设 a = (a1 , a2 ) , b = (b 1 , b 2 ) ,其中 b ≠ 0 . a 、 b 共线,则存在唯一的实数 λ,使







→ →



→ → a = λ b .用坐标表示,可写成 (a1 , a2 ) = λ(b 1 , b 2 ) ,即 { a1 = λb 1 , 消去 λ 后得 a2 = λb 2 . → →→ → a1 b 2 ? b 1 a2 = 0.当且仅当 a1 b 2 ? b 1 a2 = 0 时,向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) 共线.
平面向量数量积的坐标运算与度量公式

设 a = (a1 , a2 ) , b = (b 1 , b 2 ) ,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即





→ → → → → → → → → → a ? b = a1 b 1 + a2 b 2 .如果 a ⊥ b ,则 a ? b = 0 ,反之,如果 a ? b = 0 ,则 a ⊥ b . → → 所以 a ⊥ b ? a1 b 1 + a2 b 2 = 0 . ? ? ? ? ? ? → ∣→∣ ∣→∣2 = → ,所以 ∣ a ∣ = √a2 . + a2 a ? a = ( a1 , a2 ) ? ( a1 , a2 ) = a2 + a2 ∣ 1 2 1 2 ∣ ∣ ∣a ∣ ∣ → 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标为 (x 1 , y 1 )、(x2 , y 2 ),那么 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → ∣→∣ = √? 2 2 . a = (x2 ? x1 , y 2 ? y 1 ) ,∣ a ∣ ( ? + ( ? x x ) y y ) 2 1 2 1 ∣ ∣ → → → → 设 a 、 b 都是非零向量,θ 是 a 与 b 的夹角,则

→ → a ? b a1 b 1 + a2 b 2 cos θ = = ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? ? ? 2 + a2 √b 2 + b 2 ∣→∣ ∣→∣ √ a ∣ b∣ 1 2 1 2 ∣a ∣ ∣∣ ∣ ∣
例题: 已知 a = (3, 2), b = (?2, 1),求 a + b , a ? b , a + 2 b ,2 a ? 3 b . 解: a + b = (3, 2) + (?2, 1) = (3 ? 2, 2 + 1) = (1, 3);







→ →

→ →











→ → a ? b = (3, 2) ? (?2, 1) = (3 + 2, 2 ? 1) = (5, 1); → → a + 2 b = (3, 2) + 2(?2, 1) = (3, 2) + (?4, 2) = (3 ? 4, 2 + 2) = (?1, 4); → → 2 a ? 3 b = 2(3, 2) ? 3(?2, 1) = (6, 4) ? (?6, 3) = (6 + 6, 4 ? 3) = (12, 1). OC = (9, 16),求证:点 A ,B ,C 共线. ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ? ?→ ? 3 ?→ 证明:因为 AB = OB ? OA = (4, 8) ,AC = OC ? OA = (6, 12),所以 AC = AB ,即 2 ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? AB 与AC 共线,又因为 AB 与 AC 有公共点 A ,所以点 A ,B ,C 共线.
已知向量 a = (1, 2), b = (3, 4),求| a | , a ? b ,( a ? b ) ? (2 a + 3 b ). 解:| a | = √1 2 + 2 2 = √5 ; 已知 OA = (3, 4) ,OB = (7, 12),

?→ ?

?→ ?











→ →









? ? ? ? ? ? →

因为 a = (1, 2), b = (3, 4),所以 a ? b = (1, 2) ? (3, 4) = 1 × 3 + 2 × 4 = 11 . 又因为 a ? b = (1, 2) ? (3, 4) = (?2, ?2),2 a + 3 b = 2(1, 2) + 3(3, 4) = (11, 16),所以



→ →









→ → → → ( a ? b ) ? (2 a + 3 b ) = (?2, ?2) ? (11, 16) = (?2) × 11 + (?2) × 16 = ?54. → → → → → → →

已知平面向量 a = (2, x), b = (2, y), c = (3, ?4),且 a ∥ c , b ⊥ c ,求 a 与 b 的 夹角.





→ → 8 .因为 b ⊥ c ,所以 6 ? 4y = 0,解 3 → → 3 → 8 3 → 得 y = .因为 a = (2, ? ) , b = (2, ) .设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 2 3 2 8 3 → → 2×2? × → a ? b 3 2 = 0 ,所以 θ = 90? ,即向量 → cos θ = = a 与 b 的夹角为 90? . → → → → |a |?| b | |a |?| b |
解:因为 a ∥ c ,所以 ?8 ? 3x = 0 ,解得 x = ?





2.平面向量的数量积与垂直 描述: 平面向量的数量积

→ → ∣→∣ ∣→∣ ∣ ∣∣ ∣ → → → → → → ∣→∣ ∣→∣ product)(或内积),记作 a ? b ,即 a ? b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ ,其中 θ 是 a 与 b 的夹 ∣ ∣∣ ∣ ∣→∣ → → → → ∣→∣ 角,∣ a ∣ cos θ (∣ b ∣ cos θ )叫做向量 a 在 b ( b 在 a )方向上的投影.一个向量在另一个向量 ∣ ∣ ∣ ∣
已知两个非零向量 a 与 b ,我们把数量 ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(inner





方向上的投影,可正,可负,可为零. 零向量与任一向量的数量积为 0 .

向量数量积的运算律

→ → →→ a ? b = b ? a (交换律); → → → → → → → ( a + b ) ? c = a ? c + b ? c (分配律); → → → → → → (λ a ) ? b = a (λ b ) = λ( a ? b ) (数乘结合律).
例题: 在 △ABC 中,AB ? BC > 0 ,则三角形的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 解:B

?→ ? ?→ ?

D.不确定

因为 AB ? BC = |AB| ? |BC | ? cos(π ? B) > 0 ,所以 cos(π ? B) > 0,所以 cos B < 0 ,所以 B > 90? ,所以三角形是钝角三角形. 已知 | a | = 4 ,| b | = 5 ,向量 a 与 b 的夹角为 求: ① a ? b ;② ( a + b ) ? ( a + b );

?→ ? ?→ ?

?→ ?

?→ ?









→ →









π . 3

③ a ? a ? b ? b ;④ (2 a + 3 b ) ? (3 a ? 2 b ); 解:① a ? b = | a | ? | b | ? cos

→ → → → → →









π 1 = 4 × 5 × = 10 . 3 2 → → → → →2 → → →2 ② ( a + b ) ? ( a + b ) = | a | + 2 a ? b + | b | = 61 . → → → → → → ③ a ? a ? b ? b = | a | 2 ? | b | 2 = ?9 . → → → → → → → → ④ (2 a + 3 b ) ? (3 a ? 2 b ) = 6| a | 2 + 5 a ? b ? 6| b | 2 = ?4 .
设向量 a , b 满足 | a | = | b | = 1 及 |3 a ? 2 b | = √7 . 求: ① a , b 所成的角的大小;② |3 a + b | 的值.

























解:① 因为 (3 a ? 2 b ) ? (3 a ? 2 b ) = 7,即 9| a | 2 ? 12 a ? b + 4| b | 2 = 7 ,因为











→ →



→ → → → 1 → → →→ 1 → → | a | = | b | = 1 ,所以 a ? b = .所以 | a | ? | b | ? cos? a , b ? = ,所以, a , b 所成的 2 2 π 角为 . 3 → → → → → → → → ② (3 a + b ) ? (3 a + b ) = 9| a | 2 + 6 a ? b + | b | 2 = 9 + 3 + 1 = 13,所以 → → ?. |3 a + b | = √? 13
已知 | a | = 8 , e 是单位向量,当它们的夹角为 ) A.4√3 解:B B.?4 C.4√2





2π → → 时, a 在 e 方向上的投影是( 3
D.4

→ → → 2π = ?4 . a 在 e 方向上的投影为 | a | cos 3

→ ?→ ?→ ? ?→ ? ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ? ?→ ? ?→ ? ?→ NA +NB +NC = 0 ,P A ?P B = P B ?P C = P C ?P A ,则点 O 、N 、P 依次是
( ) A.重心、外心、垂心 C.外心、重心、垂心 B.重心、外心、内心 D.外心、垂心、内心

已知点 O 、N 、P 在 △ABC 所在平面内,且 |OA | = |OB | = |OC | ,

?→ ?

?→ ?

?→ ?

解:C

如图所示,由 |OA | = |OB | = |OC | ,知 O 为 △ABC 的外心.

?→ ?

?→ ? →

?→ ?

?→ ? ?→ ? |NA | = 2|NE | ,故 N 为重心. ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ?→ ? ?→ ?→ ? ?→ ? ? ?→ ? ?→ ? ? 因为 P A ?P B = P B ?P C ,所以 (P A ?P C ) ?P B = CA ?P B = 0.同理 BA ?P C = 0 , ?→ ? ?→ ? P A ?CB = 0 ,所以,点 P 为 △ABC 的垂心.

因为 NA +NB +NC = 0 ,所以 NB +NC = ?NA .依向量加法的平行四边形法则,知

?→ ? ?→ ? ? ?→

? ?→ ? ?→

?→ ?

四、课后作业


(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 设 a = (1, ?2) , b = (?3, 4) , c = (3, 2) ,则 ( a + 2 b ) ? c = (











)
D.?11

A.(?15, 12)
答案: C 解析: 【解析】 C.

B.0

C.?3

2. 已知向量 i = (1, 0) , j = (0, 1) ,与 2 i + j 垂直的向量是 ( A.2 i ? j
答案: B













B. i ? 2 j





C.2 i + j





)

D. i + 2 j





→ ∣→∣ →∣ → → → → → → 3. ∣ ∣ a ∣ = 1 ,∣ b ∣ = 2 , c = a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角为 ( ∣ ∣ ∣ ∣
A.30?
答案: C 解析:

)

B.60?

C.120 ?

D.150 ?

设所求两向量的夹角为 θ ,因为 c = a + b , c ⊥ a ,所以











→ → → → → →2 → → c ? a = ( a + b ) ? a = a + a ? b = 0,
2

→∣2 ?∣ ∣ → → ∣a ∣ ∣ → →∣ ∣ ∣ →∣ ∣ ∣ 所以 ∣ a ∣ = ? a ? b = ? ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ ,即 cos θ = =? ∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣→∣ ∣→∣ ∣ b∣ ∣a ∣ ∣∣ ∣ ∣ 所以 θ = 120 ? . ( ) →

∣→∣ ∣ ∣a ∣ ∣ 1 =? , 2 ∣→∣ ∣b∣ ∣ ∣

4. 已知向量 a = (x , x +



(

)

→ 2 ) 与向量 b = (2x , ?3) 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围是 3
B.(?

1 , 2) 2 1 C.(?∞, ? ) ∪ (2, +∞) 2
A.(?
答案: B 解析:

1 , 0) ∪ (0, 2) 2

D.(0, 2)

由题可知, a 与 b 满足 a ? b < 0 ,且两个向量不是共线反向的向量.所以





→ →

x × 2x ? 3 (x +

2 1 ) <0 ,∴ ? < x < 2 且 x ≠ 0. 3 2

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