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二面角的几种方法及例题


二面角大小的求法(例题)
二面角的类型和求法可用框图展现如下:

一、定义法: 直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个半平面内作 棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; 例、 如图,已知二面角α -а -β 等于 120°,PA⊥α ,A∈α ,PB⊥ β ,B∈β . 求∠APB 的大小.
做OB ? 交线,交

于点O,连接OA PB ? 平面? ? PB ? 交线 同理PA ? 交线 又 OB ? 交线 ? 交线 ? 面PAOB ? 交线 ? OA 即可得?AOB为面??的二面角,?AOB=120? 所以?APB=60?
O B A P

例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PA⊥ 平面 ABCD, PA=AB=a,求二面角 B-PC-D 的大小。 提示: PAB ? PCD ,而且是直角三角形

P

1

H A j

B

二、三垂线定理法: 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线, 用三垂线定理或 逆定理作出二面角的平面角; 例、 在四棱锥 P-ABCD 中, ABCD 是平行四边形, PA⊥ 平面 ABCD, PA=AB=a,∠ ABC=30° ,求二面角 P-BC-A 的 tag 大小。
过A做AH ? BC,交BC于H,连接PH PA ? 面ABCD ? PA ? AB,PA ? BC ? BC ? 面PHA ??PHA为二面角 在 ABH中 ?ABH=30?,AB=a ? AH=a/2 ? tag?PHA ? 2
L p

A

例:如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且 边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值. 提示:CO ? DE,而且是长方体! ! !
D1 C1 B1
D

B

H

C

A1

C O E B

A

2

例、Δ ABC 中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面 ABC 外一点 P 在平 面 ABC 内的射影是 AB 中点 M,二面角 P—AC—B 的大小为 45°。 求(1)二面角 P—BC—A 的大小; (2)二面角 C—PB—A 的大小
提示: 角 PAB 是二面角, 找到每个面的直角! ! ! 射影,那么 PM 为面ABC的垂线! P

B D

A M

C

例、如图 4,平面 ? ⊥平面 ? ,? ∩ ? =l,A∈ ? ,B∈ ? ,点 A 在 直线 l 上的射影为 A1,点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2,求:二面角 A1-AB-B1 的大小. 提示:AA1与BB1互相垂直 AF是辅助线且垂直AB,FE平行BB1
L
A1 A E F B1

?

?
图4

B

3

四、射影法: (面积法)

利用面积射影公式 S 射=S 原 cos ? ,其中 ? 为平面角的大小,此 方法不必在图形中画出平面角; 例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA =AB=a,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。

P

A

B

l C

例、如图,设 M 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求平面 BMD1 与底面 ABCD 所成的二面角的大小。
D1 C1

A1 D

B1 H

M C

A

B

4

五、平移或延长(展)线(面)法 对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交 出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法) 。 例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥ 平面 ABCD, PA=AB=a,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。
P C1

P

A1

B1

D

C

D

C

A

B

A

B

5


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