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阶段性测试题三 导数及其应用


阶段性测试题三 导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时 间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2012· 九江调

研)甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是 s1=t3-2t2+t 和 s2=3t2-t-1,则在 t=2 秒时两个物体运动的瞬时速度关系是( A.甲大 C.相等 [答案] B [解析] v1=s1′=3t2-4t+1,v2=s2′=6t-1, 所以在 t=2 秒时两个物体运动的瞬时速度分别是 5 和 11,故乙的瞬时速度 大. 2.(2011· 山东文)曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标 是( ) A.-9 C.9 [答案] C [解析] 本题考查导数几何意义,求导公式等知识.导数最基本运算及应用 是每年必考内容. 由 y=x3+11 知 y′=3x2,所以 y′|x=1=3,所以过点 P(1,12)的切线方程为 y-12=3(x-1),即 3x-y+9=0,令 x=0 易知选 C. 3. (2012· 安阳模拟)已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3, f(x)的解析式可能 则 为( ) A.f(x)=(x-1)3+3(x-1) B.f(x)=2(x-1) B.-3 D.15 B.乙大 D.无法比较 )

C.f(x)=2(x-1)2 [答案] A

D.f(x)=x-1

[解析] 先求 f(x)的导函数, 再代入验证. f(x)=(x-1)3+3(x-1)时, 当 f′(x) =3(x-1)2+3 且 f′(1)=3(1-1)2+3=3. 4.(2012· 许昌调研)如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图像,则下列判 断正确的是( )

A.在区间(-3,1)上 y=f(x)是增函数 B.在(1,3)上 y=f(x)是减函数 C.在(4,5)上 y=f(x)是增函数 D.在 x=2 时 y=f(x)取到极小值 [答案] C 3 [解析] 由导函数图像与原函数的关系可知函数 y=f(x)在(-3,-2)上是减 3 函数, 在(-2, 1)上是增函数, A 错; 知 由函数 y=f(x)在(1,2)上是增函数, 在(2,3) 上是减函数, B 错; 知 由函数 y=f(x)在(4,5)上是增函数知 C 正确; 由函数 y=f(x) 在 x=2 时取极大值,知 D 错. 5.(2012· 汕头一模)如果函数 f(x)=x4-x2,那么 f′(i)=( A.-2i C.6i [答案] D B.2i D.-6i )

[解析] 因为 f′(x)=4x3-2x, 所以 f′(i)=4i3-2i=-6i. 6.(2012· 黄山调研)若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 3x-y+1 =0,则( ) B.f′(x0)>0 D.f′(x0)不存在

A.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0 [答案] B

[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0, 0))处的导数等于曲线在该点处 f(x 的切线的斜率,故 f′(x0)=3.故选 B. 7.(2012· 海口质检)函数 f(x)=excosx 的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角 为( ) A.0 C.1 [答案] B [解析] f′(x)=(excosx)′=(ex)′cosx+ex(cosx)′=excosx+ex(-sinx)= π B.4 π D.2

ex(cosx-sinx),则函数 f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率 k=f′(x)|x=0=ex(cosx- sinx)|x=0=e0=1, π 故切线的倾斜角为4,故选 B. 8.(文)(2012· 九江模拟)已知 f(x)=x3-ax 在(-∞,-1]上递增,则 a 的取值 范围是( A.a>3 C.a<3 [答案] D [解析] 由 f(x)=x3-ax,得 f′(x)=3x2-a, 由 3x2-a≥0 对一切 x∈(-∞,-1]恒成立, ) B.a≥3 D.a≤3

3x2≥a,∴a≤3. 若 a<3,则 f′(x)>0 对于一切 x∈(-∞,-1]恒成立. 若 a=3,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0 恒成立, x=-1 时,f′(-1)=0,∴a≤3. (理)(2011· 新课标理)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面 积为( 10 A. 3 16 C. 3 [答案] C [解析] 本题考查了定积分的应用.
?y= x ? 依题意,如图所示,由? 得其交点坐标为(4,2). ?y=x-2 ?

) B.4 D.6

因此 y= x与 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为
4 4 ? [ x-(x-2)]dx=? ( x-x+2)dx ?0 ?0

2 1 2 1 16 4 =(3x2 -2x2+2x)|0=3×8-2×16+2×4= 3 . 故选 C.

3

9. (2012· 东北师大附中模拟)已知函数 f(x)在 R 上可导, f(x)=x2+2xf′(2), 且 则 f(-1)与 f(1)的大小关系为( A.f(-1)=f(1) C.f(-1)<f(1) [答案] B [解析] ∵f(x)=x2+2xf′(2), ∴f′(x)=2x+2f′(2), ∴f′(2)=4+2f′(2),即 f′(2)=-4, ∴f(x)=x2-8x=(x-4)2-16,且在(-∞,4]上为减函数, ∵-1<1<4,∴f(-1)>f(1). 1 10.(文)(2012· 新乡一模)若 a>2,则方程3x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰好有 ( ) A.0 个根 C.2 个根 [答案] B 1 [解析] 设 f(x)=3x3-ax2+1,则 f′(x)=x2-2ax, 而 a>2,所以 f′(x)≤0?0≤x≤2a.又(0,2)? (0,2 a), 故 f(x)在区间(0,2)上递减, 11 f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)= 3 -4a<0. 故 f(x)的图像在(0,2)上与 x 轴有一个交点. (理)(2011· 辽宁理)函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2, 对任意 x∈R, f′(x)>2, 则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) [答案] B ) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) B.1 个根 D.3 个根 ) B.f(-1)>f(1) D.以上答案都不对

[解析]

本小题考查内容为导数的应用及数形结合思想. 解法一:令 g(x)=2x+4,∴g′(x)=2,∴f′(x)>g′(x), 如图,f(x)>2x+4, 解为 x>-1. 解法二:设 m(x)=f(x)-(2x+4),则 m′(x)=f′(x)-2>0, ∴m(x)在 R 上是增函数. ∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0.∴m(x)>0 的解集为{x|x>-1}, 即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞). [点评] 本题考查导数与单调函数之间的关系,以及解不等式的相关知识, 难度较大.

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题 中横线上) 11.(文)(2012· 萍乡一模)已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大 值与最小值分别为 M、m,则 M-m=________. [答案] 32 [解析] ∵f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),

由 f(-3)=17,f(3)=-1, f(-2)=24,f(2)=-8, 可知 M-m=24-(-8)=32. (理)(2012· 萍乡一模)已知 t>0,若?t (2x-1)dx=6,则 t=________.
?0

[答案] 3 [解析] ?t (2x-1)dx=(x2-x)|t0=t2-t=6,
?0

∴t=3 或 t=-2(舍去). 12.(2012· 合肥一模)已知曲线 C:y=lnx-4x 与直线 x=1 交于一点 P,那 么曲线 C 在点 P 处的切线方程是________. [答案] 3x+y-1=0 1 [解析] 由已知得 y′=x-4,所以当 x=1 时有 y′=-3,即过点 P 的切 线的斜率 k=-3,又 y=ln1-4=-4,故切点 P(1,-4),所以点 P 处的切线方 程为 y+4=-3(x-1),即 3x+y+1=0. 13.已知函数 f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围是________. [答案] ?
? 2 ? ,+∞? ? 2 ?

[解析] f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a), 由 f′(x)<0,得-a<x<a, ∴f(x)在区间(-∞,-a)内递增,在区间[-a,a]内递减,在区间(a,+∞) 内递增, 极大值为 f(-a)=2a3+a=a(2a2+1)>0, 极小值为 f(a)=a(1-2a2)<0, 由①②得 a∈?
? 2 ? ,+∞?. ? 2 ?

① ②

14. (2012· 商丘调研)若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点, 则点 P 到直线 y

=x-2 的最小距离为________. [答案] 2

[解析] 过点 P 作 y=x-2 的平行直线,且与曲线 y=x2-lnx 相切, 设 P(x0,x2-lnx0),则 k=y′ 0

|x=x

0

1 =2x0-x ,
0

1 1 ∴2x0-x =1,∴x0=1 或 x0=-2(舍去),
0

|1-1-2| ∴P(1,1),∴d= = 2. 1+1 15.(2012· 广州一模)设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点 的横坐标为 xn,令 an=lgxn,则 a1+a2+…+a99 的值为________. [答案] -2 [解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质. k=y′|x=1=n+1, ∴切线 l:y-1=(n+1)(x-1), n n 令 y=0,xn= ,∴an=lg , n+1 n+1 1 2 99 ∴原式=lg2+lg3+…+lg100 1 2 99 1 =lg(2×3×…×100)=lg100=-2. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)(2012· 镇江一模)已知函数 f(x)=x3-3x+1.试判断函 数 f(x)的单调性,并求其单调区间. [解析] 因为 f(x)=x3-3x+1, 所以 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 由 f′(x)<0,解得 x∈(-1,1); 由 f′(x)>0,解得 x∈(-∞,-1)或 x∈(1,+∞).

所以 f(x)在[-1,1]上单调递减, 在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增, 所以函数 f(x)的单调减区间是[-1,1], 单调增区间是(-∞,-1]与[1,+∞). 17. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图像与直线 12x+y-1 =0 相切于点(1,-11). (1)求 a、b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [解析] (1)f′(x)=3x2-6ax+3b, f(1)=1-3a+3b=-11, f′(1)=3-6a+3b=k=-12. ① ②

解由①、②组成的关于 a,b 的方程组,得 a=1,b=-3. (2)f(x)=x3-3x2-9x, f′(x)=3x2-6x-9. 由 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. ∴f(x)在(-∞,-1],[3,+∞)上是增函数,在(-1,3)上是减函数. ex 18.(本小题满分 12 分)(2011· 安徽理)设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a=3时,求 f(x)的极值点; (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. [解析] 对 f(x)求导得 f′(x)=e
x1+ax

-2ax . ?1+ax2?2

2



4 (1)当 a=3时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 1 解得 x1=2,x2=2. 结合①,可知

x f′(x) f(x)

1? ? ?-∞, ? 2? ? + ?↗

1 2 0 极大值

?1 3? ? , ? ?2 2?

3 2 0 极小值

?3 ? ? ,+∞? ?2 ?

- ?↘

+ ?↗

3 1 所以,x1=2是极小值点,x2=2是极大值点. (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0, 知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. 19.(本小题满分 12 分)(2011· 陕西理)

如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y=ex 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处 的切线与 x 轴交于点 P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2,依次重复上述过 程得到一系列点: 1, 1; 2, 2; Pn, n, Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2, P Q P Q …, Q 记 …, n). (1)试求 xk 与 xk-1 的关系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|. [解析] (1)设 Pk-1(xk-1,0),由 y′=ex 得 Qk-1(xk-1,exk-1)点处切线方程为 y -exk-1=exk-1(x-xk-1). 由 y=0 得 xk=xk-1-1 (2≤k≤n).

(2)由 x1=0,xk-xk-1=-1,得 xk=-(k-1),

所以|PkQk|=exk=e-(k-1),于是 Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn| =1+e-1+e-2+…+e-(n-1) 1-e-n e-e1-n = = . 1-e-1 e-1 20. (本小题满分 13 分)(2011· 江苏卷)请你设计一个包装盒. 如图所示, ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角 形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一 个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜 边的两个端点,设 AE=FB=x(cm). (1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装 盒的高与底面边长的比值.

[解析] 设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm),由已知得 60-2x a= 2x,h= = 2(30-x),0<x<30. 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0 得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0.

所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时a=2.即包装盒的高与底面边长的比值为2. 21.(本小题满分 14 分)(文)(2012· 北京朝阳一模)已知函数 f(x)=mx3+3x2- 3x,m∈R. (1)若函数 f(x)在 x=-1 处取得极值,试求 m 的值,并求 f(x)在点 M(1,f(1)) 处的切线方程; (2)设 m<0,若函数 f(x)在(2,+∞)上存在单调递增区间,求 m 的取值范围. [解析] (1)f′(x)=3mx2+6x-3. 因为函数 f(x)在 x=-1 处取得极值, 所以 f′(-1)=0,即 3m-9=0,解得 m=3. 于是函数 f(x)=3x3+3x2-3x, f(1)=3,f′(x)=9x2+6x-3. 函数 f(x)在点 M (1,3)处的切线的斜率 k=f′(1)=12, 则 f(x)在点 M 处的切线方程为 12x-y-9=0. (2)当 m<0 时,f′(x)=3mx2+6x-3 是开口向下的抛物线,要使 f′(x)在(2, +∞)上存在子区间使 f′(x)>0,

?m<0, ?- 1 ≥2, 应满足? m 1 ?f′?-m?>0, ?

?m<0, 1 或?-m<2, ?f′?2?>0.

1 3 1 解得-2≤m<0,或-4<m<-2, 3 所以 m 的取值范围是(-4,0). (理)(2012· 洛阳一模)设函数 f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)的图像 2 关于原点对称,且 x=1 时,f(x)取极小值-3.

(1)求 a,b,c,d 的值; (2)当 x∈[-1,1]时,图像上是否存在两点,使得过这两点处的切线互相垂 直?试证明你的结论; 4 (3)若 x1,x2∈[-1,1],求证:|f(x1)-f(x2)|≤3. [解析] (1)∵函数 f(x)的图像关于原点对称, ∴对任意实数 x 有 f(-x)=-f(x), ∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d, 即 bx2-2d=0 恒成立,∴b=0,d=0, ∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c, 2 ∵当 x=1 时,f(x)取极小值-3, 2 ∴3a+c=0 且 a+c=-3. 1 解得 a=3,c=-1. (2)当 x∈[-1,1]时,图像上不存在这样的两点使结论成立. 假设图像上存在两点 A(x1, 1), 2, 2), y B(x y 使得过此两点处的切线互相垂直,
2 则由 f′(x)=x2-1 知两点处的切线斜率分别为 k1=x1-1,k2=x2-1, 2

且(x2-1)· 2-1)=-1.(*) (x2 1 ∵x1,x2∈[-1,1], ∴x2-1≤0,x2-1≤0. 1 2 ∴(x2-1)(x2-1)≥0. 1 2 此与(*)相矛盾,故假设不成立. (3)证明:f′(x)=x2-1,令 f′(x)=0,得 x=± 1, 当 x∈(-∞,-1)或 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0, ∴f(x)在[-1,1]上是减函数,

2 2 且 f(x)max=f(-1)=3,f(x)min=f(1)=-3. 2 ∴在[-1,1]上,|f(x)|≤3, 于是 x1,x2∈[-1,1]时, |f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)| 2 2 4 ≤3+3=3.


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